Страница 12 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

20 Вычислите:

а) $-7 \cdot 1,25+10$;

$-7 \cdot (1,25+10)$;

б) $-5 \cdot (-3,6)-3,8$;

$-5 \cdot (-3,6-3,8)$;

в) $1,8-4 \cdot (-2,15)$;

$(1,8-4) \cdot (-2,15)$.

а)

Рассмотрим первое выражение: $-7 \cdot 1,25 + 10$.
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение: $-7 \cdot 1,25 = -8,75$.
Затем выполняем сложение: $-8,75 + 10 = 1,25$.
Ответ: $1,25$.

Теперь рассмотрим второе выражение: $-7 \cdot (1,25 + 10)$.
Сначала выполняем действие в скобках: $1,25 + 10 = 11,25$.
Затем выполняем умножение: $-7 \cdot 11,25 = -78,75$.
Ответ: $-78,75$.

б)

Рассмотрим первое выражение: $-5 \cdot (-3,6) - 3,8$.
Сначала выполняем умножение. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $-5 \cdot (-3,6) = 18$.
Затем выполняем вычитание: $18 - 3,8 = 14,2$.
Ответ: $14,2$.

Теперь рассмотрим второе выражение: $-5 \cdot (-3,6 - 3,8)$.
Сначала выполняем действие в скобках: $-3,6 - 3,8 = -7,4$.
Затем выполняем умножение: $-5 \cdot (-7,4) = 37$.
Ответ: $37$.

в)

Рассмотрим первое выражение: $1,8 - 4 \cdot (-2,15)$.
Сначала выполняем умножение: $4 \cdot (-2,15) = -8,6$.
Затем выполняем вычитание. Вычитание отрицательного числа равносильно сложению: $1,8 - (-8,6) = 1,8 + 8,6 = 10,4$.
Ответ: $10,4$.

Теперь рассмотрим второе выражение: $(1,8 - 4) \cdot (-2,15)$.
Сначала выполняем действие в скобках: $1,8 - 4 = -2,2$.
Затем выполняем умножение. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-2,2) \cdot (-2,15) = 4,73$.
Ответ: $4,73$.

21 Запишите выражение, используя в качестве знака деления дробную черту, и найдите его значение:

а) $\frac{0.3 \cdot 1.6}{0.84}$;

б) $\frac{6.3}{3.5 \cdot 2.7}$;

в) $\frac{0.05}{8.1} \cdot 45$;

г) $\frac{0.15 \cdot 2.4}{1.08}$;

д) $\frac{0.48}{0.044 \cdot 6}$;

е) $\frac{8 \cdot 0.39}{5.2 \cdot 9}$.

а) Запишем выражение $0,3 \cdot 1,6 : 0,84$ в виде дроби, используя дробную черту вместо знака деления: $ \frac{0,3 \cdot 1,6}{0,84} $. Чтобы упростить вычисления, избавимся от десятичных дробей. Для этого умножим числитель и знаменатель на 100 (так как в знаменателе два знака после запятой, а в числителе произведение $0,3 \cdot 1,6 = 0,48$ также дает два знака). $ \frac{0,3 \cdot 1,6 \cdot 100}{0,84 \cdot 100} = \frac{(0,3 \cdot 10) \cdot (1,6 \cdot 10)}{84} = \frac{3 \cdot 16}{84} $. Теперь сократим полученную дробь. Разложим знаменатель на множители: $84 = 3 \cdot 28$. $ \frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 28} = \frac{16}{28} $. Сократим дробь на 4: $ \frac{16}{28} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{4}{7} $.
Ответ: $ \frac{4}{7} $.

б) Запишем выражение $6,3 : (3,5 \cdot 2,7)$ в виде дроби: $ \frac{6,3}{3,5 \cdot 2,7} $. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100 (так как в знаменателе произведение чисел с одним знаком после запятой дает два знака). $ \frac{6,3 \cdot 100}{3,5 \cdot 2,7 \cdot 100} = \frac{630}{(3,5 \cdot 10) \cdot (2,7 \cdot 10)} = \frac{630}{35 \cdot 27} $. Сократим полученную дробь, разложив числа на простые множители: $630 = 10 \cdot 63 = 10 \cdot 7 \cdot 9$; $35 = 5 \cdot 7$; $27 = 3 \cdot 9$. $ \frac{10 \cdot 7 \cdot 9}{5 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 9} = \frac{10}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} $. Сократим дробь на 5: $ \frac{10}{15} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $.

в) Согласно порядку действий, сначала выполняется деление, а затем умножение: $(0,05 : 8,1) \cdot 45$. Запишем это выражение в виде дроби. Множитель 45 пойдет в числитель: $ \frac{0,05 \cdot 45}{8,1} $. Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей. $ \frac{0,05 \cdot 45 \cdot 100}{8,1 \cdot 100} = \frac{5 \cdot 45}{810} $. Сократим дробь. $810 = 81 \cdot 10 = 9 \cdot 9 \cdot 10$, а $45=5 \cdot 9$. $ \frac{5 \cdot (5 \cdot 9)}{9 \cdot 9 \cdot 10} = \frac{25 \cdot 9}{90 \cdot 9} = \frac{25}{90} $. Сократим дробь на 5: $ \frac{25}{90} = \frac{5 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{5}{18} $.
Ответ: $ \frac{5}{18} $.

г) Запишем выражение $0,15 \cdot 2,4 : 1,08$ в виде дроби: $ \frac{0,15 \cdot 2,4}{1,08} $. В числителе суммарно 3 знака после запятой, в знаменателе — 2. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 1000. $ \frac{0,15 \cdot 2,4 \cdot 1000}{1,08 \cdot 1000} = \frac{(0,15 \cdot 100) \cdot (2,4 \cdot 10)}{1080} = \frac{15 \cdot 24}{1080} $. Выполним умножение в числителе: $15 \cdot 24 = 360$. $ \frac{360}{1080} $. Сократим дробь на 360: $ \frac{360}{1080} = \frac{1 \cdot 360}{3 \cdot 360} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

д) Запишем выражение $0,48 : (0,044 \cdot 6)$ в виде дроби: $ \frac{0,48}{0,044 \cdot 6} $. Чтобы избавиться от десятичной дроби $0,044$, умножим числитель и знаменатель на 1000. $ \frac{0,48 \cdot 1000}{0,044 \cdot 6 \cdot 1000} = \frac{480}{44 \cdot 6} $. Сократим числитель 480 и множитель 6 в знаменателе на 6: $ \frac{480 : 6}{44 \cdot (6 : 6)} = \frac{80}{44} $. Сократим полученную дробь на 4: $ \frac{80}{44} = \frac{20 \cdot 4}{11 \cdot 4} = \frac{20}{11} $.
Ответ: $ \frac{20}{11} $.

е) Запишем выражение $(8 \cdot 0,39) : (5,2 \cdot 9)$ в виде дроби: $ \frac{8 \cdot 0,39}{5,2 \cdot 9} $. В числителе два знака после запятой, в знаменателе — один. Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от всех десятичных дробей. $ \frac{8 \cdot 0,39 \cdot 100}{5,2 \cdot 9 \cdot 100} = \frac{8 \cdot 39}{520 \cdot 9} $. Сократим полученную дробь. Заметим, что $39 = 3 \cdot 13$ и $520 = 52 \cdot 10 = 4 \cdot 13 \cdot 10$. $ \frac{8 \cdot (3 \cdot 13)}{(4 \cdot 13 \cdot 10) \cdot 9} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 13}{4 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 13} = \frac{8 \cdot 3}{4 \cdot 90} $. Сократим 8 и 4 на 4: $ \frac{2 \cdot 4 \cdot 3}{4 \cdot 90} = \frac{2 \cdot 3}{90} = \frac{6}{90} $. Сократим дробь на 6: $ \frac{6}{90} = \frac{1 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{1}{15} $.
Ответ: $ \frac{1}{15} $.

22 Вычислите:

а) $ \frac{0.02 \cdot 21}{2.8 \cdot 0.3} $

б) $ \frac{0.6 \cdot 2}{0.4 \cdot 0.9} $

в) $ \frac{4.2 \cdot 0.016}{0.4 \cdot 2.8} $

г) $ \frac{0.15 \cdot 0.8 \cdot 0.75}{12.5 \cdot 0.36} $

а) Вычислим значение выражения $ \frac{0,02 \cdot 21}{2,8 \cdot 0,3} $. Для того чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100. Это позволит работать с целыми числами: $ \frac{0,02 \cdot 21}{2,8 \cdot 0,3} = \frac{(0,02 \cdot 100) \cdot 21}{(2,8 \cdot 10) \cdot (0,3 \cdot 10)} = \frac{2 \cdot 21}{28 \cdot 3} $.
Теперь сократим полученную дробь, разложив числа 21 и 28 на множители: $ \frac{2 \cdot (3 \cdot 7)}{(4 \cdot 7) \cdot 3} = \frac{2 \cdot \sout{3} \cdot \sout{7}}{4 \cdot \sout{7} \cdot \sout{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5 $.
Ответ: 0,5

б) Рассмотрим выражение $ \frac{0,6 \cdot 2}{0,4 \cdot 0,9} $. Чтобы убрать десятичные дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100: $ \frac{(0,6 \cdot 2) \cdot 100}{(0,4 \cdot 0,9) \cdot 100} = \frac{(0,6 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 10)}{(0,4 \cdot 10) \cdot (0,9 \cdot 10)} = \frac{6 \cdot 20}{4 \cdot 9} = \frac{120}{36} $.
Сократим дробь $ \frac{120}{36} $. Наибольший общий делитель для 120 и 36 равен 12: $ \frac{120}{36} = \frac{120 \div 12}{36 \div 12} = \frac{10}{3} $.
Ответ: $ \frac{10}{3} $

в) Вычислим значение выражения $ \frac{4,2 \cdot 0,016}{0,4 \cdot 2,8} $. Для удобства вычислений перегруппируем множители: $ \frac{4,2 \cdot 0,016}{0,4 \cdot 2,8} = \frac{4,2}{2,8} \cdot \frac{0,016}{0,4} $.
Вычислим значение каждой дроби по отдельности.
$ \frac{4,2}{2,8} = \frac{42}{28} = \frac{3 \cdot \sout{14}}{2 \cdot \sout{14}} = \frac{3}{2} $.
$ \frac{0,016}{0,4} = \frac{16}{400} = \frac{\sout{16}}{\sout{16} \cdot 25} = \frac{1}{25} $.
Теперь перемножим полученные результаты: $ \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{3}{50} $.
Для получения окончательного ответа преобразуем результат в десятичную дробь: $ \frac{3}{50} = \frac{3 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{6}{100} = 0,06 $.
Ответ: 0,06

г) Для вычисления $ \frac{0,15 \cdot 0,8 \cdot 0,75}{12,5 \cdot 0,36} $ наиболее удобным способом является преобразование всех десятичных дробей в обыкновенные:
$ 0,15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} $
$ 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} $
$ 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} $
$ 12,5 = \frac{125}{10} = \frac{25}{2} $
$ 0,36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25} $
Подставим полученные обыкновенные дроби в исходное выражение: $ \frac{\frac{3}{20} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}}{\frac{25}{2} \cdot \frac{9}{25}} $.
Упростим числитель и знаменатель основной дроби по отдельности.
Числитель: $ \frac{3}{20} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot \sout{4} \cdot 3}{20 \cdot 5 \cdot \sout{4}} = \frac{9}{100} $.
Знаменатель: $ \frac{\sout{25}}{2} \cdot \frac{9}{\sout{25}} = \frac{9}{2} $.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $ \frac{\frac{9}{100}}{\frac{9}{2}} = \frac{\sout{9}}{100} \cdot \frac{2}{\sout{9}} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50} $.
Преобразуем полученную дробь в десятичную: $ \frac{1}{50} = \frac{2}{100} = 0,02 $.
Ответ: 0,02

23 Выполните действие:

а) $0,12 \cdot \frac{1}{15}$;

б) $\frac{5}{36} \cdot 0,8$;

в) $1\frac{1}{6} : 1,4$;

г) $4,8 : \frac{6}{7}$;

д) $-1,44 \cdot \frac{5}{12}$;

е) $0,28 : \left(-\frac{14}{17}\right)$;

ж) $-2,2 : \left(-1\frac{1}{3}\right)$;

з) $1\frac{1}{15} \cdot (-0,5)$.

а) $0,12 \cdot \frac{1}{15}$

Для выполнения умножения представим десятичную дробь $0,12$ в виде обыкновенной дроби: $0,12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$.

Теперь выполним умножение дробей, сократив числитель первой дроби и знаменатель второй на 3:

$\frac{3}{25} \cdot \frac{1}{15} = \frac{\cancel{3}^1}{25} \cdot \frac{1}{\cancel{15}_5} = \frac{1 \cdot 1}{25 \cdot 5} = \frac{1}{125}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби: $\frac{1}{125} = 0,008$.

Ответ: $\frac{1}{125}$

б) $\frac{5}{36} \cdot 0,8$

Представим десятичную дробь $0,8$ в виде обыкновенной дроби: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Выполним умножение, предварительно сократив дроби:

$\frac{5}{36} \cdot \frac{4}{5} = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{36}_9} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{5}_1} = \frac{1 \cdot 1}{9 \cdot 1} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

в) $1\frac{1}{6} : 1,4$

Переведем смешанное число в неправильную дробь, а десятичную дробь — в обыкновенную:

$1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$

$1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{7}{6} : \frac{7}{5} = \frac{7}{6} \cdot \frac{5}{7} = \frac{\cancel{7}^1 \cdot 5}{6 \cdot \cancel{7}_1} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

г) $4,8 : \frac{6}{7}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{24}{5} : \frac{6}{7} = \frac{24}{5} \cdot \frac{7}{6} = \frac{\cancel{24}^4 \cdot 7}{5 \cdot \cancel{6}_1} = \frac{4 \cdot 7}{5} = \frac{28}{5}$

Переведем результат в десятичную дробь:

$\frac{28}{5} = 5,6$

Ответ: $5,6$

д) $-1,44 \cdot \frac{5}{12}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-1,44 = -\frac{144}{100} = -\frac{36}{25}$.

Выполним умножение, сократив дроби:

$-\frac{36}{25} \cdot \frac{5}{12} = -\frac{\cancel{36}^3 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{25}_5 \cdot \cancel{12}_1} = -\frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 1} = -\frac{3}{5}$

Переведем результат в десятичную дробь:

$-\frac{3}{5} = -0,6$

Ответ: $-0,6$

е) $0,28 : (-\frac{14}{17})$

При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,28 = \frac{28}{100} = \frac{7}{25}$.

Выполним деление, умножив на обратную дробь:

$\frac{7}{25} : (-\frac{14}{17}) = -\left(\frac{7}{25} \cdot \frac{17}{14}\right) = -\frac{\cancel{7}^1 \cdot 17}{25 \cdot \cancel{14}_2} = -\frac{17}{50}$

Переведем результат в десятичную дробь:

$-\frac{17}{50} = -\frac{34}{100} = -0,34$

Ответ: $-0,34$

ж) $-2,2 : (-1\frac{1}{3})$

При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Переведем оба числа в неправильные дроби:

$2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$

$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

Выполним деление:

$\frac{11}{5} : \frac{4}{3} = \frac{11}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{11 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{33}{20}$

Переведем результат в десятичную дробь:

$\frac{33}{20} = \frac{165}{100} = 1,65$

Ответ: $1,65$

з) $1\frac{1}{15} \cdot (-0,5)$

Результат будет отрицательным. Переведем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби:

$1\frac{1}{15} = \frac{16}{15}$

$-0,5 = -\frac{1}{2}$

Выполним умножение:

$\frac{16}{15} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{16 \cdot 1}{15 \cdot 2} = -\frac{\cancel{16}^8}{15 \cdot \cancel{2}_1} = -\frac{8}{15}$

Ответ: $-\frac{8}{15}$

24 Вычислите произведение, воспользовавшись приведённым образцом:

a) $2.88 \cdot 0.5;$

б) $0.25 \cdot 16.64;$

в) $64 \cdot 0.125;$

г) $0.5 \cdot 0.098.$

Образец. $0.84 \cdot 0.25 = 0.84 \cdot \frac{1}{4} = 0.84 : 4 = 0.21.$

а) Для вычисления произведения $2,88 \cdot 0,5$ следуем образцу. Сначала представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби. Мы знаем, что $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Умножение на $\frac{1}{2}$ — это то же самое, что и деление на $2$.
Таким образом, вычисление сводится к делению: $2,88 \cdot 0,5 = 2,88 \cdot \frac{1}{2} = 2,88 : 2 = 1,44$.
Ответ: $1,44$.

б) Для вычисления произведения $0,25 \cdot 16,64$ воспользуемся тем, что $0,25$ равно $\frac{1}{4}$, как показано в образце. Умножение на $\frac{1}{4}$ эквивалентно делению на $4$.
Выполним вычисление: $0,25 \cdot 16,64 = 16,64 \cdot 0,25 = 16,64 \cdot \frac{1}{4} = 16,64 : 4 = 4,16$.
Ответ: $4,16$.

в) Для вычисления произведения $64 \cdot 0,125$ представим десятичную дробь $0,125$ в виде обыкновенной. $0,125 = \frac{125}{1000}$. Сократив эту дробь, получим $\frac{1}{8}$. Умножение на $\frac{1}{8}$ равносильно делению на $8$.
Теперь выполним вычисление: $64 \cdot 0,125 = 64 \cdot \frac{1}{8} = 64 : 8 = 8$.
Ответ: $8$.

г) Для вычисления произведения $0,5 \cdot 0,098$ заменим $0,5$ на обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$. Умножение на $\frac{1}{2}$ — это то же самое, что и деление на $2$.
Выполним вычисление: $0,5 \cdot 0,098 = 0,098 \cdot \frac{1}{2} = 0,098 : 2 = 0,049$.
Ответ: $0,049$.

25 Пусть $a = -5, b = 7, c = -2$. Подставьте вместо букв заданные числа и найдите значение выражения:

a) $ \frac{c}{a+b} $;

б) $ \frac{a}{bc} $;

в) $ \frac{ab}{c} $;

г) $ \frac{a}{b-c} $.

Даны значения переменных: $a = -5$, $b = 7$, $c = -2$. Для нахождения значения каждого выражения необходимо подставить эти числа вместо соответствующих букв и выполнить вычисления.

а) Подставим заданные значения в выражение $\frac{c}{a+b}$:
$\frac{c}{a+b} = \frac{-2}{-5 + 7} = \frac{-2}{2} = -1$
Сначала выполняем сложение в знаменателе: $-5 + 7 = 2$. Затем делим числитель на знаменатель: $-2 \div 2 = -1$.
Ответ: -1

б) Подставим заданные значения в выражение $\frac{a}{bc}$:
$\frac{a}{bc} = \frac{-5}{7 \cdot (-2)} = \frac{-5}{-14} = \frac{5}{14}$
Сначала выполняем умножение в знаменателе: $7 \cdot (-2) = -14$. Затем делим числитель на знаменатель. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число, поэтому $\frac{-5}{-14}$ превращается в $\frac{5}{14}$.
Ответ: $\frac{5}{14}$

в) Подставим заданные значения в выражение $\frac{ab}{c}$:
$\frac{ab}{c} = \frac{(-5) \cdot 7}{-2} = \frac{-35}{-2} = 17,5$
Сначала выполняем умножение в числителе: $(-5) \cdot 7 = -35$. Затем делим числитель на знаменатель: $-35 \div (-2) = 17,5$.
Ответ: 17,5

г) Подставим заданные значения в выражение $\frac{a}{b-c}$:
$\frac{a}{b-c} = \frac{-5}{7 - (-2)} = \frac{-5}{7 + 2} = \frac{-5}{9} = -\frac{5}{9}$
Сначала выполняем вычитание в знаменателе: $7 - (-2) = 7 + 2 = 9$. В результате получаем дробь $-\frac{5}{9}$.
Ответ: $-\frac{5}{9}$

26 Пусть $x = -\frac{1}{3}$ и $y = 0,5$. Найдите значение каждого из выражений:

$-(x + y)$

$-(x - y)$

$-(-x + y)$

$-(-x - y)$

Для решения задачи нам даны значения $x = -\frac{1}{3}$ и $y = 0,5$.

Чтобы упростить вычисления, представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $y = 0,5 = \frac{1}{2}$.

Теперь последовательно найдем значения для каждого из выражений.

-(x + y)

Подставим значения $x$ и $y$ в выражение:

$-(x + y) = -(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$

Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 6:

$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$-(\frac{1}{6}) = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

-(x - y)

Подставим значения $x$ и $y$ в выражение:

$-(x - y) = -(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2})$

Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{-2-3}{6} = -\frac{5}{6}$

Подставим результат в выражение:

$-(-\frac{5}{6}) = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

-(-x + y)

Сначала найдем значение $-x$:

$-x = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$

Теперь подставим значения $-x$ и $y$ в выражение:

$-(-x + y) = -(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$

Выполним сложение в скобках (общий знаменатель 6):

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$

Подставим результат в выражение:

$-(\frac{5}{6}) = -\frac{5}{6}$

Ответ: $-\frac{5}{6}$

-(-x - y)

Мы уже знаем, что $-x = \frac{1}{3}$. Подставим значения в выражение:

$-(-x - y) = -(\frac{1}{3} - \frac{1}{2})$

Выполним вычитание в скобках (общий знаменатель 6):

$\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$

Подставим результат в выражение:

$-(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

27 Найдите значение выражения:

а) $(a + c)(a - c)$ при $a = 0,2$, $c = -0,6$;

б) $\frac{a+c}{a-c}$ при $a = 2,5$, $c = -1$;

в) $ac(a - c)$ при $a = -2,4$, $c = 0,1$;

г) $\frac{a-c}{ac}$ при $a = -4,5$, $c = -3$.

а) Чтобы найти значение выражения $(a+c)(a-c)$ при $a = 0,2$ и $c = -0,6$, можно воспользоваться формулой разности квадратов: $a^2 - c^2$.

Подставим заданные значения в формулу:

$(a+c)(a-c) = a^2 - c^2 = (0,2)^2 - (-0,6)^2 = 0,04 - 0,36 = -0,32$.

Ответ: -0,32

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{a+c}{a-c}$ при $a = 2,5$ и $c = -1$, подставим значения переменных в выражение.

$\frac{a+c}{a-c} = \frac{2,5 + (-1)}{2,5 - (-1)} = \frac{2,5 - 1}{2,5 + 1} = \frac{1,5}{3,5}$.

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков, а затем сократим:

$\frac{1,5}{3,5} = \frac{15}{35} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$

в) Чтобы найти значение выражения $ac(a-c)$ при $a = -2,4$ и $c = 0,1$, подставим значения переменных в выражение.

Сначала вычислим значение в скобках:

$a-c = -2,4 - 0,1 = -2,5$.

Теперь вычислим произведение $ac$:

$ac = (-2,4) \cdot 0,1 = -0,24$.

Наконец, перемножим полученные результаты:

$ac(a-c) = (-0,24) \cdot (-2,5) = 0,6$.

Ответ: 0,6

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{a-c}{ac}$ при $a = -4,5$ и $c = -3$, подставим значения переменных в выражение.

Вычислим числитель:

$a-c = -4,5 - (-3) = -4,5 + 3 = -1,5$.

Вычислим знаменатель:

$ac = (-4,5) \cdot (-3) = 13,5$.

Получим дробь и упростим ее:

$\frac{-1,5}{13,5} = -\frac{15}{135} = -\frac{1 \cdot 15}{9 \cdot 15} = -\frac{1}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{9}$

28 1) Найдите значение выражения при $m=2$, $n=-\frac{2}{3}$:

а) $\frac{m-n}{m}$; б) $\frac{m+n}{n}$; в) $\frac{m}{m+n}$; г) $\frac{n}{m-n}$.

2) Назовите несколько пар значений $m$ и $n$, при которых не имеет смысла выражение: $\frac{n}{m-n}$; $\frac{m}{m+n}$.

1) Найдем значения выражений при $m=2$ и $n=-\frac{2}{3}$.

а) $\frac{m-n}{m}$
Подставим значения $m$ и $n$ в выражение:
$m-n = 2 - (-\frac{2}{3}) = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
$\frac{m-n}{m} = \frac{\frac{8}{3}}{2} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$.

б) $\frac{m+n}{n}$
Подставим значения $m$ и $n$ в выражение:
$m+n = 2 + (-\frac{2}{3}) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
$\frac{m+n}{n} = \frac{\frac{4}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = -\frac{12}{6} = -2$
Ответ: $-2$.

в) $\frac{m}{m+n}$
Из предыдущего пункта мы знаем, что $m+n = \frac{4}{3}$.
$\frac{m}{m+n} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) $\frac{n}{m-n}$
Из пункта а) мы знаем, что $m-n = \frac{8}{3}$.
$\frac{n}{m-n} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{8}{3}} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8} = -\frac{6}{24} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

2) Алгебраическая дробь не имеет смысла (не определена), когда ее знаменатель равен нулю.

Рассмотрим выражение $\frac{n}{m-n}$. Оно не будет иметь смысла, если его знаменатель $m-n$ равен нулю.
$m-n = 0 \implies m = n$.
Следовательно, любая пара одинаковых значений $m$ и $n$ делает это выражение бессмысленным. Например:

• $m=1, n=1$
• $m=5, n=5$
• $m=-10, n=-10$

Рассмотрим выражение $\frac{m}{m+n}$. Оно не будет иметь смысла, если его знаменатель $m+n$ равен нулю.
$m+n = 0 \implies m = -n$.
Следовательно, любая пара противоположных по знаку чисел $m$ и $n$ делает это выражение бессмысленным. Например:

• $m=2, n=-2$
• $m=-7, n=7$
• $m=1.5, n=-1.5$

Ответ: Выражение $\frac{n}{m-n}$ не имеет смысла при $m=n$ (например, $m=3, n=3$). Выражение $\frac{m}{m+n}$ не имеет смысла при $m=-n$ (например, $m=4, n=-4$).

29 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

На координатной прямой отмечены числа a и b (рис. 1.1). Какое из двух утверждений верно?

1) $a+b>0$ или $a+b<0$

2) $a-b>0$ или $a-b<0$

3) $ab>0$ или $ab<0$

4) $\frac{b}{a}>1$ или $\frac{b}{a}<1$

Рис. 1.1

Для решения задачи проанализируем информацию, представленную на координатной прямой (рис. 1.1).

• Число $a$ расположено левее нуля, следовательно, $a$ — отрицательное число: $a < 0$.
• Число $b$ расположено правее нуля, следовательно, $b$ — положительное число: $b > 0$.
• Расстояние от точки $a$ до нуля (модуль числа $a$) меньше, чем расстояние от точки $b$ до нуля (модуль числа $b$). Это можно записать как $|a| < |b|$.

Исходя из этих данных, выберем верное утверждение для каждой пары.

1) $a+b>0$ или $a+b<0$

Мы складываем отрицательное число $a$ и положительное число $b$. Знак суммы зависит от того, какой из модулей чисел больше. По условию, $|a| < |b|$. Это означает, что положительное число $b$ имеет больший модуль, чем отрицательное число $a$. Следовательно, их сумма будет положительной. Например, если $a=-2$ и $b=5$, то $|-2| < |5|$ и $a+b = 3 > 0$. Таким образом, верным является утверждение $a+b>0$.
Ответ: $a+b>0$.

2) $a-b>0$ или $a-b<0$

Мы вычитаем из отрицательного числа $a$ положительное число $b$. Операцию вычитания можно заменить сложением с противоположным числом: $a - b = a + (-b)$. Поскольку $b$ — положительное число ($b>0$), то $-b$ — отрицательное ($-b<0$). Мы складываем два отрицательных числа ($a$ и $-b$), результат всегда будет отрицательным. Следовательно, $a-b<0$.
Ответ: $a-b<0$.

3) $ab>0$ или $ab<0$

Мы перемножаем отрицательное число $a$ и положительное число $b$. Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно. Следовательно, $ab < 0$.
Ответ: $ab<0$.

4) $\frac{b}{a} > 1$ или $\frac{b}{a} < 1$

Мы делим положительное число $b$ на отрицательное число $a$. Частное от деления чисел с разными знаками всегда является отрицательным числом. То есть, $\frac{b}{a} < 0$. Любое отрицательное число меньше, чем 1. Следовательно, утверждение $\frac{b}{a} < 1$ является верным.
Ответ: $\frac{b}{a} < 1$.