Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Как называют выражение $a^n$? Число $a$ в этом выражении? Число $n$? Что означает выражение $a^n$, если $n$ – натуральное число, не равное 1? Если $n = 1$? Найдите значения выражений $6^3$; $(-3)^4$; $8^1$.

Как называют выражение $a^n$?

Выражение вида $a^n$ является математической операцией и называется степенью.

Ответ: Степень.

число $a$ в этом выражении?

В степени $a^n$ число $a$, которое возводится в степень, называется основанием степени.

Ответ: Основание степени.

число $n$?

В степени $a^n$ число $n$, которое показывает, сколько раз число умножается само на себя, называется показателем степени.

Ответ: Показатель степени.

Что означает выражение $a^n$, если $n$ — натуральное число, не равное 1?

Если $n$ — натуральное число и $n > 1$, то степень $a^n$ представляет собой произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Это можно записать так: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.

Ответ: Произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

если $n = 1$?

По определению, первая степень любого числа равна самому этому числу. Таким образом, если $n=1$, то $a^1=a$.

Ответ: $a^1 = a$.

Найдите значения выражений $6^3; (-3)^4; 8^1$.

Для нахождения значений выражений воспользуемся определением степени:
1) $6^3$ — это произведение трех множителей, равных 6: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
2) $(-3)^4$ — это произведение четырех множителей, равных -3: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$. Так как показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным.
3) $8^1$ — это первая степень числа 8, которая по определению равна самому числу: $8^1 = 8$.

Ответ: $6^3=216$; $(-3)^4=81$; $8^1=8$.

Разберите, как найдено значение степени $2^8$ во фрагменте 1. Используя равенства $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$, найдите сначала $3^5$, а затем $3^8$.

Разберите, как найдено значение степени $2^8$ во фрагменте 1.

Для нахождения значения степени с большим натуральным показателем, такой как $2^8$, можно использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Показатель степени 8 можно представить в виде суммы меньших чисел, для которых степени уже известны или их легче вычислить.

Например, представим 8 как $4 + 4$. Тогда:

$2^8 = 2^{4+4} = 2^4 \cdot 2^4$

Так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$, то:

$2^8 = 16 \cdot 16 = 256$

Таким образом, вычисление большой степени сводится к более простым операциям. Также можно использовать свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Поскольку $8 = 4 \cdot 2$, то $2^8 = (2^4)^2 = 16^2 = 256$.

Ответ: Значение степени $2^8$ найдено путем разложения показателя степени 8 на более простые компоненты (например, $8 = 4 + 4$) и использования свойства умножения степеней: $2^8 = 2^4 \cdot 2^4 = 16 \cdot 16 = 256$.

Используя равенства $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$, найдите сначала $3^5$, а затем $3^8$.

Для решения этой задачи мы будем последовательно вычислять значения степеней, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Сначала найдем значение $3^5$.

Представим показатель степени 5 в виде суммы известных нам показателей 2 и 3: $5 = 2 + 3$.

Тогда, согласно свойству степеней:

$3^5 = 3^{2+3} = 3^2 \cdot 3^3$

Подставим заданные значения $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$:

$3^5 = 9 \cdot 27 = 243$

Теперь, используя полученный результат, найдем значение $3^8$.

Представим показатель 8 в виде суммы $5$ и $3$: $8 = 5 + 3$.

$3^8 = 3^{5+3} = 3^5 \cdot 3^3$

Подставим вычисленное значение $3^5 = 243$ и заданное $3^3 = 27$:

$3^8 = 243 \cdot 27$

Выполним умножение:

$243 \cdot 27 = 243 \cdot (20 + 7) = 4860 + 1701 = 6561$

Ответ: $3^5 = 243$; $3^8 = 6561$.

Какое число – положительное или отрицательное – может получиться при возведении в степень отрицательного числа? От чего зависит знак степени с отрицательным основанием? Сравните с нулём число: $ (-49)^{20} $, $ (-100)^{11} $, $ (-7)^5 \cdot (-23)^6 $

При возведении отрицательного числа в степень может получиться как положительное, так и отрицательное число. Знак итогового числа зависит исключительно от чётности показателя степени.

Рассмотрим общее правило. Пусть $a$ — отрицательное число ($a < 0$), а $n$ — натуральный показатель степени.

• Если показатель степени $n$ — чётное число (например: 2, 4, 6, ...), то результат возведения в степень $a^n$ будет положительным. Это происходит потому, что отрицательные сомножители можно сгруппировать по парам, а произведение двух отрицательных чисел всегда положительно (например, $a \cdot a = |a|^2 > 0$). Произведение нескольких положительных чисел также является положительным.
  Пример: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 = 16$. Так как $16 > 0$, то $(-2)^4 > 0$.
• Если показатель степени $n$ — нечётное число (например: 1, 3, 5, ...), то результат возведения в степень $a^n$ будет отрицательным. В этом случае, после группировки всех возможных пар сомножителей, останется один «лишний» отрицательный сомножитель, который и сделает всё произведение отрицательным.
  Пример: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$. Так как $-8 < 0$, то $(-2)^3 < 0$.

Ответ: При возведении отрицательного числа в степень может получиться как положительное, так и отрицательное число. Знак степени с отрицательным основанием зависит от чётности показателя степени: если показатель чётный — результат положительный, если нечётный — отрицательный.

Теперь выполним сравнение с нулём для заданных выражений.

$(-49)^{20}$

Основание степени $-49$ является отрицательным числом. Показатель степени $20$ является чётным числом. Так как любое отрицательное число, возведённое в чётную степень, даёт в результате положительное число, то $(-49)^{20}$ больше нуля.
Ответ: $(-49)^{20} > 0$.

$(-100)^{11}$

Основание степени $-100$ является отрицательным числом. Показатель степени $11$ является нечётным числом. Так как любое отрицательное число, возведённое в нечётную степень, даёт в результате отрицательное число, то $(-100)^{11}$ меньше нуля.
Ответ: $(-100)^{11} < 0$.

$(-7)^5 \cdot (-23)^6$

Данное выражение представляет собой произведение двух чисел. Чтобы определить знак всего выражения, необходимо определить знак каждого множителя.

1. Первый множитель $(-7)^5$: основание $-7$ — отрицательное, показатель $5$ — нечётный. Следовательно, результат $(-7)^5$ является отрицательным числом.

2. Второй множитель $(-23)^6$: основание $-23$ — отрицательное, показатель $6$ — чётный. Следовательно, результат $(-23)^6$ является положительным числом.

Произведение отрицательного числа (первый множитель) и положительного числа (второй множитель) всегда является отрицательным числом. Таким образом, итоговое значение выражения будет меньше нуля.
Ответ: $(-7)^5 \cdot (-23)^6 < 0$.

Прочитайте предложение: «Обычно снежинка имеет 5 мм в диаметре при массе $4 \cdot 10^{-3}$ г». Выразите десятичной дробью массу снежинки.

В задаче дана масса снежинки, записанная в стандартном виде (научной нотации): $4 \cdot 10^{-3}$ г. Необходимо выразить эту массу в виде десятичной дроби.

Выражение $10^{-3}$ означает степень с отрицательным показателем. По определению, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Применительно к нашему случаю: $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$.

Теперь мы можем вычислить массу, подставив полученное значение: $4 \cdot 10^{-3} \text{ г} = 4 \cdot \frac{1}{1000} \text{ г} = \frac{4}{1000} \text{ г} = 0,004 \text{ г}$.

Другой способ — это перемещение десятичной запятой. Отрицательный показатель степени $(-3)$ указывает на то, что десятичную запятую в числе 4 (которое можно записать как 4,0) нужно перенести на 3 знака влево.
1. Переносим на один знак влево: $0,4$
2. Переносим на два знака влево: $0,04$
3. Переносим на три знака влево: $0,004$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 0,004 г.

34 Запишите каждое выражение в виде произведения или степени:

а) $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ и $2 + 2 + 2 + 2 + 2$;

б) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$;

в) $a + a + a$ и $a \cdot a \cdot a$;

г) $x \cdot x \cdot x \cdot ... \cdot x$ и $x + x + x + ... + x$.

20 множителей

20 слагаемых

а) Первое выражение $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ представляет собой произведение пяти одинаковых множителей, равных 2. Произведение одинаковых множителей можно записать в виде степени. Основанием степени является повторяющийся множитель (2), а показателем степени — количество множителей (5). Таким образом, выражение равно $2^5$.
Второе выражение $2 + 2 + 2 + 2 + 2$ представляет собой сумму пяти одинаковых слагаемых, равных 2. Сумму одинаковых слагаемых можно записать в виде произведения. Один множитель — это само слагаемое (2), а второй — количество слагаемых (5). Таким образом, выражение равно $5 \cdot 2$.
Ответ: $2^5$ и $5 \cdot 2$.

б) Первое выражение $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ — это сумма четырех одинаковых слагаемых. По определению умножения, эту сумму можно записать как произведение слагаемого на их количество. Следовательно, выражение равно $4 \cdot \frac{1}{3}$.
Второе выражение $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ — это произведение четырех одинаковых множителей. По определению степени, это выражение можно записать как степень с основанием $\frac{1}{3}$ и показателем 4. Следовательно, выражение равно $\left(\frac{1}{3}\right)^4$.
Ответ: $4 \cdot \frac{1}{3}$ и $\left(\frac{1}{3}\right)^4$.

в) Первое выражение $a + a + a$ является суммой трех одинаковых слагаемых $a$. Эту сумму можно представить в виде произведения числа слагаемых на само слагаемое: $3 \cdot a$ или $3a$.
Второе выражение $a \cdot a \cdot a$ является произведением трех одинаковых множителей $a$. Это произведение можно записать в виде степени с основанием $a$ и показателем 3: $a^3$.
Ответ: $3a$ и $a^3$.

г) В первом выражении переменная $x$ умножается сама на себя 20 раз. Это произведение 20 одинаковых множителей, которое по определению степени записывается как $x^{20}$.
Во втором выражении переменная $x$ складывается сама с собой 20 раз. Это сумма 20 одинаковых слагаемых, которая по определению умножения записывается как $20 \cdot x$ или $20x$.
Ответ: $x^{20}$ и $20x$.

35 Запишите выражение короче, используя степени:

а) $7^3 \cdot 8^4 \cdot 9^5;$

б) $2 \cdot 3^4 \cdot 7^2;$

в) $3^n \cdot 5^m;$
n множителей m множителей

г) $(-4)^4 + 6^7;$

д) $2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 7^5;$

е) $3^m + 5^n;$
m множителей n множителей

а) Чтобы записать выражение короче, нужно посчитать количество одинаковых множителей и представить их в виде степени. В данном выражении число 7 умножается само на себя 3 раза, что можно записать как степень $7^3$. Число 8 умножается само на себя 4 раза, что равно $8^4$. Число 9 умножается само на себя 5 раз, что равно $9^5$. Таким образом, все выражение можно записать в виде произведения этих степеней.
Ответ: $7^3 \cdot 8^4 \cdot 9^5$

б) В этом выражении мы также группируем одинаковые множители. Число 2 встречается один раз. Число 3 умножается само на себя 5 раз, что записывается как степень $3^5$. Число 7 умножается само на себя 2 раза, что записывается как степень $7^2$. Объединив все множители, получаем итоговое выражение.
Ответ: $2 \cdot 3^5 \cdot 7^2$

в) Выражение состоит из произведения двух групп множителей. В первой группе число 3 повторяется в качестве множителя $n$ раз. По определению степени, это произведение равно $3^n$. Во второй группе число 5 повторяется в качестве множителя $m$ раз, что равно $5^m$. Исходное выражение является произведением этих двух степеней.
Ответ: $3^n \cdot 5^m$

г) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое — это произведение четырех множителей, каждый из которых равен (-4). Это можно записать как степень $(-4)^4$. Второе слагаемое — это произведение восьми множителей, каждый из которых равен 6. Это можно записать как $6^8$. Таким образом, все выражение является суммой этих степеней.
Ответ: $(-4)^4 + 6^8$

д) Выражение является суммой двух произведений. Первое слагаемое $2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ содержит четыре множителя, равных 5, и один множитель, равный 2. Его можно записать короче как $2 \cdot 5^4$. Второе слагаемое $3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ содержит пять множителей, равных 7, и один множитель, равный 3. Его можно записать как $3 \cdot 7^5$. Итоговое выражение - это их сумма.
Ответ: $2 \cdot 5^4 + 3 \cdot 7^5$

е) Это выражение также является суммой. Первое слагаемое представляет собой произведение $m$ множителей, равных 3. По определению степени это записывается как $3^m$. Второе слагаемое представляет собой произведение $n$ множителей, равных 5. Это равно $5^n$. Таким образом, все выражение записывается как сумма этих двух степеней.
Ответ: $3^m + 5^n$

36 Упростите:

а) $a \cdot a \cdot a \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x;$

б) $3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y;$

в) $a \cdot a \cdot a + a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a;$

г) $(c + d) \cdot (c + d) \cdot (c + d) \cdot (c + d).$

а) В данном выражении переменная $a$ умножается сама на себя 3 раза, а переменная $x$ умножается сама на себя 5 раз. Произведение одинаковых множителей записывается в виде степени. Основанием степени является множитель, а показателем степени – количество его повторений.
Произведение $a \cdot a \cdot a$ можно записать как $a^3$.
Произведение $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ можно записать как $x^5$.
Следовательно, все выражение $a \cdot a \cdot a \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ упрощается до $a^3 \cdot x^5$.
Ответ: $a^3x^5$

б) В этом выражении перемножаются числа и переменные. Упрощение выполняется по шагам: сначала перемножаются числовые коэффициенты, а затем произведения одинаковых переменных заменяются степенями.
Перемножим числа: $3 \cdot 3 = 9$.
Перемножим переменные $x$: $x \cdot x \cdot x = x^3$.
Перемножим переменные $y$: $y \cdot y \cdot y \cdot y = y^4$.
Объединив все результаты, получаем упрощенное выражение: $9 \cdot x^3 \cdot y^4$.
Ответ: $9x^3y^4$

в) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Каждое слагаемое необходимо упростить отдельно, выполнив в нем умножение, а затем сложить результаты.
Первое слагаемое: $a \cdot a \cdot a = a^3$.
Второе слагаемое: $a \cdot a \cdot a \cdot a = a^4$.
Таким образом, выражение принимает вид: $a^3 + a^4$.
Слагаемые $a^3$ и $a^4$ не являются подобными, так как у них разные показатели степени, поэтому их нельзя сложить. Выражение является упрощенным.
Ответ: $a^3 + a^4$

г) Здесь выражение $(c + d)$ умножается само на себя 4 раза. По определению степени, произведение нескольких одинаковых множителей можно записать как степень этого множителя.
Основанием степени будет выражение $(c + d)$, а показателем степени — число 4, так как множитель повторяется 4 раза.
Следовательно, $(c + d) \cdot (c + d) \cdot (c + d) \cdot (c + d) = (c + d)^4$.
Ответ: $(c + d)^4$