Страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

37 Вычислите:

а) $15^2$; $20^3$; $9^3$;

б) $(\frac{4}{5})^2$; $(\frac{2}{3})^3$; $(4\frac{1}{2})^2$;

в) $1,5^2$; $2,1^2$; $0,5^3$;

г) $(-3)^4$; $(-4)^3$; $(-2)^5$;

д) $(-\frac{1}{2})^3$; $(-\frac{3}{4})^2$; $(-1\frac{1}{3})^2$;

е) $(-1,5)^2$; $(-0,2)^3$; $(-0,1)^5$.

а)

Чтобы возвести число в степень, нужно умножить это число само на себя столько раз, сколько указано в показателе степени.

$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 400 \cdot 20 = 8000$

$9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$

Ответ: $225$; $8000$; $729$.

б)

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Смешанное число предварительно переводим в неправильную дробь.

$(\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

$(4\frac{1}{2})^2 = (\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})^2 = (\frac{9}{2})^2 = \frac{9^2}{2^2} = \frac{81}{4} = 20\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{16}{25}$; $\frac{8}{27}$; $20\frac{1}{4}$.

в)

Возведение в степень десятичных дробей выполняется аналогично умножению.

$1,5^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25$

$2,1^2 = 2,1 \cdot 2,1 = 4,41$

$0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$

Ответ: $2,25$; $4,41$; $0,125$.

г)

При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. При возведении в нечетную степень – отрицательным.

$(-3)^4 = 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ (степень четная)

$(-4)^3 = -(4^3) = -(4 \cdot 4 \cdot 4) = -64$ (степень нечетная)

$(-2)^5 = -(2^5) = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -32$ (степень нечетная)

Ответ: $81$; $-64$; $-32$.

д)

Применяем правила возведения в степень для отрицательных чисел и дробей.

$(-\frac{1}{2})^3 = -(\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$ (степень нечетная)

$(-\frac{3}{4})^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$ (степень четная)

$(-1\frac{1}{3})^2 = (-\frac{1 \cdot 3 + 1}{3})^2 = (-\frac{4}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$ (степень четная)

Ответ: $-\frac{1}{8}$; $\frac{9}{16}$; $1\frac{7}{9}$.

е)

Применяем правила возведения в степень для отрицательных десятичных дробей.

$(-1,5)^2 = 1,5^2 = 2,25$ (степень четная)

$(-0,2)^3 = -(0,2^3) = -(0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2) = -0,008$ (степень нечетная)

$(-0,1)^5 = -(0,1^5) = -(0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1) = -0,00001$ (степень нечетная)

Ответ: $2,25$; $-0,008$; $-0,00001$.

38 Восстановите число, для которого записано разложение на простые множители:

а) ... = $2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$;

б) ... = $2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$;

в) ... = $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11$.

а) Чтобы восстановить число по его разложению на простые множители $2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$, нужно перемножить все эти множители.
Сначала вычислим значения степеней:
$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Теперь перемножим полученные результаты и оставшийся множитель:
$4 \cdot 3 \cdot 125$
Для удобства вычислений можно сгруппировать множители:
$(4 \cdot 125) \cdot 3 = 500 \cdot 3 = 1500$
Таким образом, искомое число равно 1500.
Ответ: 1500.

б) Для разложения $2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ найдем искомое число, выполнив умножение.
Вычислим значения степеней:
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
Теперь перемножим все множители:
$2 \cdot 27 \cdot 25$
Сгруппируем множители для упрощения вычислений:
$(2 \cdot 25) \cdot 27 = 50 \cdot 27 = 1350$
Искомое число — 1350.
Ответ: 1350.

в) Найдем число, соответствующее разложению на простые множители $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11$.
Вычислим значения степеней:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$
Теперь перемножим все множители:
$16 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 11$
Сгруппируем множители для удобства вычислений. Произведение $16 \cdot 25$ дает круглое число:
$16 \cdot 25 = 4 \cdot 4 \cdot 25 = 4 \cdot (4 \cdot 25) = 4 \cdot 100 = 400$
Теперь умножим полученный результат на остальные множители:
$400 \cdot 3 \cdot 11 = 1200 \cdot 11$
$1200 \cdot 11 = 13200$
Следовательно, искомое число равно 13200.
Ответ: 13200.

39 Разложите на простые множители число:

а) 72;

б) 96;

в) 400;

г) 300.

а) 72

Чтобы разложить число 72 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие простые числа, начиная с 2, до тех пор, пока в результате не получится 1.

$72 \div 2 = 36$

$36 \div 2 = 18$

$18 \div 2 = 9$

Число 9 не делится нацело на 2. Переходим к следующему простому числу — 3.

$9 \div 3 = 3$

$3 \div 3 = 1$

Деление завершено. Полученные простые множители: 2, 2, 2, 3, 3. Запишем разложение в виде произведения степеней простых чисел.

$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$

Ответ: $72 = 2^3 \cdot 3^2$.

б) 96

Разложим число 96 на простые множители методом последовательного деления.

$96 \div 2 = 48$

$48 \div 2 = 24$

$24 \div 2 = 12$

$12 \div 2 = 6$

$6 \div 2 = 3$

Число 3 является простым, поэтому делим его на само себя.

$3 \div 3 = 1$

Простые множители числа 96: 2, 2, 2, 2, 2, 3. Представим разложение в виде произведения степеней.

$96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$

Ответ: $96 = 2^5 \cdot 3$.

в) 400

Разложим число 400 на простые множители.

$400 \div 2 = 200$

$200 \div 2 = 100$

$100 \div 2 = 50$

$50 \div 2 = 25$

Число 25 не делится на 2. Следующее простое число 3, на него 25 также не делится. Переходим к следующему простому числу — 5.

$25 \div 5 = 5$

$5 \div 5 = 1$

Таким образом, простые множители числа 400: 2, 2, 2, 2, 5, 5. Запишем разложение в каноническом виде (произведение степеней простых множителей).

$400 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5^2$

Ответ: $400 = 2^4 \cdot 5^2$.

г) 300

Разложим число 300 на простые множители.

$300 \div 2 = 150$

$150 \div 2 = 75$

Число 75 не делится на 2. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 75 ($7+5=12$) делится на 3, значит, и само число делится на 3.

$75 \div 3 = 25$

Число 25 не делится на 3. Следующее простое число — 5.

$25 \div 5 = 5$

$5 \div 5 = 1$

Простые множители числа 300: 2, 2, 3, 5, 5. Запишем разложение в виде произведения степеней.

$300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Ответ: $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

40 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Прочитайте в объяснительном тексте, как выполнено вычисление $2^8$.

Найдите: $5^2$, $5^3$, $5^4$, $5^5$. Пользуясь полученными результатами, вычислите: $5^7$, $5^{10}$, $5^{15}$, $5^{20}$.

Задача состоит из двух частей. Сначала мы вычислим несколько первых степеней числа 5, а затем используем эти результаты для вычисления более высоких степеней.

Найдите: 5², 5³, 5⁴, 5⁵

Для нахождения значений степеней будем последовательно умножать результат на 5.

1. Вычислим $5^2$ (5 в квадрате):

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

2. Вычислим $5^3$ (5 в кубе):

$5^3 = 5^2 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$

3. Вычислим $5^4$ (5 в четвертой степени):

$5^4 = 5^3 \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$

4. Вычислим $5^5$ (5 в пятой степени):

$5^5 = 5^4 \cdot 5 = 625 \cdot 5 = 3125$

Ответ: $5^2 = 25$; $5^3 = 125$; $5^4 = 625$; $5^5 = 3125$.

Пользуясь полученными результатами, вычислите: 5⁷, 5¹⁰, 5¹⁵, 5²⁰

Для вычисления этих степеней будем использовать свойства степеней, в частности правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1. Вычислим $5^7$.

Представим показатель 7 в виде суммы показателей, которые мы уже рассчитали, например, $7 = 2 + 5$.

$5^7 = 5^{2+5} = 5^2 \cdot 5^5 = 25 \cdot 3125 = 78125$

Другой способ: $7 = 3 + 4$.

$5^7 = 5^{3+4} = 5^3 \cdot 5^4 = 125 \cdot 625 = 78125$

2. Вычислим $5^{10}$.

Представим показатель 10 в виде произведения $10 = 5 \cdot 2$ или $10 = 2 \cdot 5$.

$5^{10} = 5^{5 \cdot 2} = (5^5)^2 = 3125^2 = 3125 \cdot 3125 = 9765625$

Также можно представить показатель как сумму $10 = 5 + 5$.

$5^{10} = 5^5 \cdot 5^5 = 3125 \cdot 3125 = 9765625$

3. Вычислим $5^{15}$.

Представим показатель 15 как сумму $15 = 10 + 5$. Мы можем использовать результат вычисления $5^{10}$ из предыдущего пункта.

$5^{15} = 5^{10+5} = 5^{10} \cdot 5^5 = 9765625 \cdot 3125 = 30517578125$

Или можно представить $15 = 5 \cdot 3$.

$5^{15} = 5^{5 \cdot 3} = (5^5)^3 = 3125^3 = 30517578125$

4. Вычислим $5^{20}$.

Представим показатель 20 как $20 = 10 \cdot 2$. Используем уже известный результат для $5^{10}$.

$5^{20} = 5^{10 \cdot 2} = (5^{10})^2 = (9765625)^2 = 95367431640625$

Также можно представить $20 = 4 \cdot 5$.

$5^{20} = 5^{4 \cdot 5} = (5^4)^5 = 625^5 = 95367431640625$

Ответ: $5^7 = 78125$; $5^{10} = 9765625$; $5^{15} = 30517578125$; $5^{20} = 95367431640625$.

41 Число 64 можно по-разному представить в виде степени:

$64 = 2^6 = 4^3 = 8^2$.

Запишите разными способами в виде степени следующее число:

а) 16;

б) 81;

в) 256;

г) 625;

д) 729;

е) 1 000 000.

Чтобы представить число в виде степени различными способами, мы сначала находим его разложение на простые множители. Затем, используя свойство степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $, мы группируем множители для получения различных оснований и показателей.

а) 16
Найдем простые множители числа 16:
$16 = 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$.
Это первая форма записи. Теперь сгруппируем множители по-другому. Так как показатель $4 = 2 \times 2$, мы можем написать:
$16 = 2^4 = (2^2)^2 = 4^2$.
Это вторая форма записи.
Ответ: $16 = 2^4 = 4^2$.

б) 81
Разложим число 81 на простые множители:
$81 = 9 \times 9 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$.
Сгруппируем множители, используя то, что $4 = 2 \times 2$:
$81 = 3^4 = (3^2)^2 = 9^2$.
Ответ: $81 = 3^4 = 9^2$.

в) 256
Разложим число 256 на простые множители. Это степень двойки:
$256 = 2 \times 128 = 2^2 \times 64 = 2^2 \times 2^6 = 2^8$.
Показатель степени 8 можно представить как $8 = 2 \times 4$ или $8 = 4 \times 2$. Это дает нам два дополнительных способа:
$256 = 2^8 = (2^2)^4 = 4^4$.
$256 = 2^8 = (2^4)^2 = 16^2$.
Ответ: $256 = 2^8 = 4^4 = 16^2$.

г) 625
Разложим число 625 на простые множители. Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$625 = 5 \times 125 = 5 \times 5 \times 25 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4$.
Сгруппируем множители:
$625 = 5^4 = (5^2)^2 = 25^2$.
Ответ: $625 = 5^4 = 25^2$.

д) 729
Разложим число 729 на простые множители. Сумма цифр $7+2+9=18$ делится на 9, значит, число делится на 9.
$729 = 9 \times 81 = 9 \times 9^2 = 9^3$.
Так как $9 = 3^2$, мы можем выразить 729 как степень тройки:
$729 = (3^2)^3 = 3^6$.
Показатель 6 можно представить как $6 = 3 \times 2$. Это дает еще один способ:
$729 = 3^6 = (3^3)^2 = 27^2$.
Ответ: $729 = 3^6 = 9^3 = 27^2$.

е) 1 000 000
Число 1 000 000 (один миллион) — это степень числа 10. Оно имеет 6 нулей, следовательно:
$1\,000\,000 = 10^6$.
Показатель степени 6 является составным числом ($6 = 2 \times 3$ и $6 = 3 \times 2$). Используем это для группировки:
$1\,000\,000 = 10^6 = (10^2)^3 = 100^3$.
$1\,000\,000 = 10^6 = (10^3)^2 = 1000^2$.
Ответ: $1\,000\,000 = 10^6 = 100^3 = 1000^2$.

42 Представьте разными способами $3^8$ в виде произведения:

a) двух степеней с основанием 3;

б) трёх степеней с основанием 3;

в) четырёх степеней с основанием 3.

Основное правило, которое мы будем использовать, — это свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$. Чтобы представить $3^8$ в виде произведения нескольких степеней с основанием 3, нам нужно найти несколько натуральных чисел (показателей степеней), сумма которых равна 8.

а) двух степеней с основанием 3;

Необходимо представить показатель 8 в виде суммы двух слагаемых. Существует несколько способов сделать это:
$8 = 1+7$
$8 = 2+6$
$8 = 3+5$
$8 = 4+4$
Каждое такое разложение соответствует своему представлению числа $3^8$ в виде произведения. Например:
$3^8 = 3^{1+7} = 3^1 \cdot 3^7$
$3^8 = 3^{2+6} = 3^2 \cdot 3^6$
Мы можем выбрать любой из этих вариантов.

Ответ: Например, $3^2 \cdot 3^6$ или $3^3 \cdot 3^5$.

б) трёх степеней с основанием 3;

Необходимо представить показатель 8 в виде суммы трёх слагаемых. Например:
$8 = 1+1+6$
$8 = 1+2+5$
$8 = 2+2+4$
$8 = 2+3+3$
Соответствующие представления в виде произведения:
$3^8 = 3^{1+2+5} = 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^5$
$3^8 = 3^{2+3+3} = 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^3$

Ответ: Например, $3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^5$ или $3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^4$.

в) четырёх степеней с основанием 3.

Необходимо представить показатель 8 в виде суммы четырёх слагаемых. Например:
$8 = 1+1+1+5$
$8 = 1+1+2+4$
$8 = 1+2+2+3$
$8 = 2+2+2+2$
Соответствующие представления в виде произведения:
$3^8 = 3^{1+1+2+4} = 3^1 \cdot 3^1 \cdot 3^2 \cdot 3^4$
$3^8 = 3^{2+2+2+2} = 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2$

Ответ: Например, $3^1 \cdot 3^1 \cdot 3^3 \cdot 3^3$ или $3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2$.

43 Запишите в виде степени:

а) с основанием 7 произведения:

$7^2 \cdot 7^8$; $7^4 \cdot 7^3 \cdot 7^{10}$; $7 \cdot 7^9 \cdot 7^3$; $7^m \cdot 7^n$;

б) с основанием a произведения:

$a^5 \cdot a^6$; $a^{12} \cdot a^2 \cdot a^5$; $a^m \cdot a^n$; $a^x \cdot a^y \cdot a$.

а) с основанием 7 произведения:
Для того чтобы записать произведение в виде степени, используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Согласно этому правилу, основание степени остается прежним, а показатели степеней складываются.

Для выражения $7^2 \cdot 7^8$:
Складываем показатели: $2 + 8 = 10$.
$7^2 \cdot 7^8 = 7^{2+8} = 7^{10}$.
Ответ: $7^{10}$.

Для выражения $7^4 \cdot 7^3 \cdot 7^{10}$:
Складываем показатели всех множителей: $4 + 3 + 10 = 17$.
$7^4 \cdot 7^3 \cdot 7^{10} = 7^{4+3+10} = 7^{17}$.
Ответ: $7^{17}$.

Для выражения $7 \cdot 7^9 \cdot 7^3$:
Число 7 без указания показателя степени равносильно $7^1$. Складываем показатели: $1 + 9 + 3 = 13$.
$7 \cdot 7^9 \cdot 7^3 = 7^1 \cdot 7^9 \cdot 7^3 = 7^{1+9+3} = 7^{13}$.
Ответ: $7^{13}$.

Для выражения $7^m \cdot 7^n$:
Складываем буквенные показатели: $m + n$.
$7^m \cdot 7^n = 7^{m+n}$.
Ответ: $7^{m+n}$.

б) с основанием a произведения:
Применяем то же свойство умножения степеней, что и в пункте а). Основание степени теперь $a$, а показатели складываются.

Для выражения $a^5 \cdot a^6$:
Складываем показатели: $5 + 6 = 11$.
$a^5 \cdot a^6 = a^{5+6} = a^{11}$.
Ответ: $a^{11}$.

Для выражения $a^{12} \cdot a^2 \cdot a^5$:
Складываем показатели: $12 + 2 + 5 = 19$.
$a^{12} \cdot a^2 \cdot a^5 = a^{12+2+5} = a^{19}$.
Ответ: $a^{19}$.

Для выражения $a^m \cdot a^n$:
Складываем показатели: $m + n$.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Ответ: $a^{m+n}$.

Для выражения $a^x \cdot a^y \cdot a$:
Множитель $a$ без показателя степени равен $a^1$. Складываем показатели: $x + y + 1$.
$a^x \cdot a^y \cdot a = a^x \cdot a^y \cdot a^1 = a^{x+y+1}$.
Ответ: $a^{x+y+1}$.

44 Вычислите:

а) $8 + 7^2$, $(8 + 7)^2$, $8^2 + 7^2$;

б) $(11 - 6)^3$, $11 - 6^3$, $11^3 - 6^3$;

в) $5 \cdot 2^4$, $(5 \cdot 2)^4$, $5^4 \cdot 2^4$;

г) $(14 : 2)^3$, $14 : 2^3$, $14^3 : 2^3$.

а)
Для решения данного пункта необходимо вычислить три выражения, обращая внимание на порядок действий. В математике сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, и только потом умножение/деление и сложение/вычитание.

1. Вычислим выражение $8 + 7^2$:
Сначала возводим в степень: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
Затем выполняем сложение: $8 + 49 = 57$.

2. Вычислим выражение $(8 + 7)^2$:
Сначала выполняем действие в скобках: $8 + 7 = 15$.
Затем возводим результат в степень: $15^2 = 15 \cdot 15 = 225$.

3. Вычислим выражение $8^2 + 7^2$:
Сначала возводим в степень каждое число: $8^2 = 64$ и $7^2 = 49$.
Затем складываем результаты: $64 + 49 = 113$.
Ответ: 57, 225, 113.

б)
Вычислим три выражения, соблюдая порядок действий.

1. Вычислим выражение $(11 - 6)^3$:
Сначала выполняем действие в скобках: $11 - 6 = 5$.
Затем возводим результат в степень: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

2. Вычислим выражение $11 - 6^3$:
Сначала возводим в степень: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Затем выполняем вычитание: $11 - 216 = -205$.

3. Вычислим выражение $11^3 - 6^3$:
Сначала возводим в степень каждое число: $11^3 = 1331$ и $6^3 = 216$.
Затем выполняем вычитание: $1331 - 216 = 1115$.
Ответ: 125, -205, 1115.

в)
В этом пункте, помимо порядка действий, можно использовать свойство степени произведения.

1. Вычислим выражение $5 \cdot 2^4$:
Сначала возводим в степень: $2^4 = 16$.
Затем выполняем умножение: $5 \cdot 16 = 80$.

2. Вычислим выражение $(5 \cdot 2)^4$:
Сначала выполняем действие в скобках: $5 \cdot 2 = 10$.
Затем возводим результат в степень: $10^4 = 10000$.

3. Вычислим выражение $5^4 \cdot 2^4$:
Можно использовать свойство степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10000$.
Этот результат совпадает с предыдущим, что подтверждает свойство.
Ответ: 80, 10000, 10000.

г)
В этом пункте, помимо порядка действий, можно использовать свойство степени частного.

1. Вычислим выражение $(14 : 2)^3$:
Сначала выполняем действие в скобках: $14 : 2 = 7$.
Затем возводим результат в степень: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$.

2. Вычислим выражение $14 : 2^3$:
Сначала возводим в степень: $2^3 = 8$.
Затем выполняем деление: $14 : 8 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1,75$.

3. Вычислим выражение $14^3 : 2^3$:
Можно использовать свойство степени частного: $a^n : b^n = (a : b)^n$.
$14^3 : 2^3 = (14 : 2)^3 = 7^3 = 343$.
Этот результат совпадает с первым, что подтверждает свойство.
Ответ: 343, 1,75, 343.

45 Расставьте в выражении $30 : 5 - 10^3$ скобки всеми возможными способами и найдите значения получившихся выражений.

Для выражения $30 : 5 - 10^3$ существует два возможных варианта расстановки скобок, которые приводят к разным результатам. Также рассмотрим вариант без скобок, который соответствует одному из вариантов со скобками из-за стандартного порядка действий.

1. Выражение без скобок (или со скобками, соответствующими стандартному порядку действий)

Порядок действий по умолчанию: сначала возведение в степень, затем деление, затем вычитание. Расстановка скобок, соответствующая этому порядку, будет выглядеть так: $(30 : 5) - 10^3$.

1. Возведение в степень: $10^3 = 1000$.

2. Деление: $30 : 5 = 6$.

3. Вычитание: $6 - 1000 = -994$.

Полное вычисление:

$30 : 5 - 10^3 = (30 : 5) - 10^3 = 6 - 1000 = -994$.

Ответ: $-994$.

2. Скобки, изменяющие порядок действий

Чтобы изменить порядок действий, можно поставить скобки вокруг разности. Выражение примет вид: $30 : (5 - 10^3)$.

1. Сначала выполняем действие в скобках. Внутри скобок первым делом возводим в степень: $10^3 = 1000$.

2. Далее выполняем вычитание в скобках: $5 - 1000 = -995$.

3. Теперь выполняем деление: $30 : (-995) = -\frac{30}{995}$.

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя 30 и знаменателя 995 равен 5.

$-\frac{30 \div 5}{995 \div 5} = -\frac{6}{199}$.

Число 199 является простым, поэтому дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: $-\frac{6}{199}$.

46 Вычислите:

а) $5 \cdot (-3)^3 + 7;$

б) $-2 \cdot (-1,1)^2 - 15;$

в) $10 - 7 \cdot (-2)^7;$

г) $-20 - 10 \cdot (-0,1)^2;$

д) $7 \cdot (-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 - 8;$

е) $-10 \cdot (-0,3)^2 - 5 \cdot (-0,3) + 1.$

а) $5 \cdot (-3)^3 + 7$.
Согласно порядку действий, сначала выполняем возведение в степень, затем умножение, и в конце сложение.
1. Возведение в степень: $(-3)^3 = -27$.
2. Подставляем результат в выражение: $5 \cdot (-27) + 7$.
3. Умножение: $5 \cdot (-27) = -135$.
4. Сложение: $-135 + 7 = -128$.
Ответ: $-128$.

б) $-2 \cdot (-1,1)^2 - 15$.
Сначала выполняем возведение в степень.
1. Возведение в квадрат: $(-1,1)^2 = 1,21$.
2. Подставляем результат: $-2 \cdot 1,21 - 15$.
3. Умножение: $-2 \cdot 1,21 = -2,42$.
4. Вычитание: $-2,42 - 15 = -17,42$.
Ответ: $-17,42$.

в) $10 - 7 \cdot (-2)^7$.
Порядок действий: степень, умножение, вычитание.
1. Возведение в степень: $(-2)^7 = -128$.
2. Подставляем в выражение: $10 - 7 \cdot (-128)$.
3. Умножение: $7 \cdot (-128) = -896$.
4. Вычитание: $10 - (-896) = 10 + 896 = 906$.
Ответ: $906$.

г) $-20 - 10 \cdot (-0,1)^2$.
Порядок действий: степень, умножение, вычитание.
1. Возведение в квадрат: $(-0,1)^2 = 0,01$.
2. Подставляем в выражение: $-20 - 10 \cdot 0,01$.
3. Умножение: $10 \cdot 0,01 = 0,1$.
4. Вычитание: $-20 - 0,1 = -20,1$.
Ответ: $-20,1$.

д) $7 \cdot (-1)^3 - 4 \cdot (-1)^2 - 8$.
Сначала вычисляем значения степеней.
1. $(-1)^3 = -1$.
2. $(-1)^2 = 1$.
3. Подставляем результаты в выражение: $7 \cdot (-1) - 4 \cdot 1 - 8$.
4. Выполняем умножения: $7 \cdot (-1) = -7$ и $4 \cdot 1 = 4$.
5. Получаем: $-7 - 4 - 8$.
6. Выполняем вычитание слева направо: $-7 - 4 = -11$, затем $-11 - 8 = -19$.
Ответ: $-19$.

е) $-10 \cdot (-0,3)^2 - 5 \cdot (-0,3) + 1$.
Сначала возводим в степень, затем выполняем умножения, и в конце — сложение и вычитание.
1. Возведение в квадрат: $(-0,3)^2 = 0,09$.
2. Подставляем в выражение: $-10 \cdot 0,09 - 5 \cdot (-0,3) + 1$.
3. Выполняем умножения: $-10 \cdot 0,09 = -0,9$ и $-5 \cdot (-0,3) = 1,5$.
4. Получаем: $-0,9 + 1,5 + 1$.
5. Выполняем действия слева направо: $-0,9 + 1,5 = 0,6$, затем $0,6 + 1 = 1,6$.
Ответ: $1,6$.

47 АНАЛИЗИРУЕМ Заполните таблицу.

Найдите в таблице значения $a$, при которых выполняется условие: $a = a^2$; $a = a^3$; $a^2 = a^3$; $a^4 > a^2$; $a < a^2$; $a^3 < a$.

Заполненная таблица:

Теперь найдем значения $a$, при которых выполняются указанные условия, используя данные из таблицы.

$a = a^2$

Это равенство выполняется, если $a - a^2 = 0$, или $a(1-a)=0$. Корни этого уравнения: $a=0$ и $a=1$. Проверим по таблице:
При $a=0$: $0 = 0^2 \implies 0=0$. Верно.
При $a=1$: $1 = 1^2 \implies 1=1$. Верно.
Остальные значения из таблицы не являются корнями этого уравнения.

Ответ: $0, 1$.

$a = a^3$

Это равенство выполняется, если $a - a^3 = 0$, или $a(1-a^2)=0$, или $a(1-a)(1+a)=0$. Корни этого уравнения: $a=0$, $a=1$ и $a=-1$. Проверим по таблице:
При $a=0$: $0 = 0^3 \implies 0=0$. Верно.
При $a=1$: $1 = 1^3 \implies 1=1$. Верно.
При $a=-1$: $-1 = (-1)^3 \implies -1=-1$. Верно.

Ответ: $0, 1, -1$.

$a^2 = a^3$

Это равенство выполняется, если $a^2 - a^3 = 0$, или $a^2(1-a)=0$. Корни этого уравнения: $a=0$ и $a=1$. Проверим по таблице:
При $a=0$: $0^2 = 0^3 \implies 0=0$. Верно.
При $a=1$: $1^2 = 1^3 \implies 1=1$. Верно.
При $a=-1$: $(-1)^2 = (-1)^3 \implies 1 = -1$. Неверно.

Ответ: $0, 1$.

$a^4 > a^2$

Это неравенство можно переписать как $a^4 - a^2 > 0$, или $a^2(a^2-1) > 0$. Так как $a^2 \ge 0$, это неравенство выполняется, когда $a^2 > 0$ и $a^2 - 1 > 0$. То есть, $a \ne 0$ и $a^2 > 1$, что означает $|a|>1$. Из предложенных значений этому условию удовлетворяют $10$ и $-10$.
При $a=10$: $10^4 = 10000$, $10^2 = 100$. $10000 > 100$. Верно.
При $a=-10$: $(-10)^4 = 10000$, $(-10)^2 = 100$. $10000 > 100$. Верно.

Ответ: $10, -10$.

$a < a^2$

Это неравенство можно переписать как $a^2 - a > 0$, или $a(a-1) > 0$. Оно выполняется, когда оба множителя положительны ($a>0$ и $a-1>0 \implies a>1$) или когда оба отрицательны ($a<0$ и $a-1<0 \implies a<0$). Итак, $a<0$ или $a>1$. Проверим значения из таблицы:
При $a=-1$: $-1 < (-1)^2 \implies -1 < 1$. Верно.
При $a=10$: $10 < 10^2 \implies 10 < 100$. Верно.
При $a=-10$: $-10 < (-10)^2 \implies -10 < 100$. Верно.
При $a=-0,1$: $-0,1 < (-0,1)^2 \implies -0,1 < 0,01$. Верно.
При $a=-\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2} < (-\frac{1}{2})^2 \implies -\frac{1}{2} < \frac{1}{4}$. Верно.

Ответ: $-1, 10, -10, -0,1, -\frac{1}{2}$.

$a^3 < a$

Это неравенство можно переписать как $a^3 - a < 0$, или $a(a^2-1) < 0$. Оно выполняется, когда $a>0$ и $a^2-1<0$ (т.е. $0<a<1$), или когда $a<0$ и $a^2-1>0$ (т.е. $a<-1$). Итак, $a \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$. Проверим значения из таблицы:
При $a=-10$: $a < -1$. $(-10)^3 = -1000$. $-1000 < -10$. Верно.
При $a=0,1$: $0 < a < 1$. $(0,1)^3 = 0,001$. $0,001 < 0,1$. Верно.
При $a=\frac{1}{2}$: $0 < a < 1$. $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. $\frac{1}{8} < \frac{1}{2}$. Верно.

Ответ: $-10, 0,1, \frac{1}{2}$.