Номер 47, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 47, страница 17.

47 АНАЛИЗИРУЕМ Заполните таблицу.

$a$	0	1	-1	10	-10	0,1	-0,1	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$a^2$
$a^3$
$a^4$

Найдите в таблице значения $a$, при которых выполняется условие: $a = a^2$; $a = a^3$; $a^2 = a^3$; $a^4 > a^2$; $a < a^2$; $a^3 < a$.

Заполненная таблица:

$a$	$0$	$1$	$-1$	$10$	$-10$	$0,1$	$-0,1$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$a^2$	0	1	1	100	100	0,01	0,01	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
$a^3$	0	1	-1	1000	-1000	0,001	-0,001	$\frac{1}{8}$	$-\frac{1}{8}$
$a^4$	0	1	1	10000	10000	0,0001	0,0001	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

Теперь найдем значения $a$, при которых выполняются указанные условия, используя данные из таблицы.

$a = a^2$

Это равенство выполняется, если $a - a^2 = 0$, или $a(1-a)=0$. Корни этого уравнения: $a=0$ и $a=1$. Проверим по таблице:
При $a=0$: $0 = 0^2 \implies 0=0$. Верно.
При $a=1$: $1 = 1^2 \implies 1=1$. Верно.
Остальные значения из таблицы не являются корнями этого уравнения.

Ответ: $0, 1$.

$a = a^3$

Это равенство выполняется, если $a - a^3 = 0$, или $a(1-a^2)=0$, или $a(1-a)(1+a)=0$. Корни этого уравнения: $a=0$, $a=1$ и $a=-1$. Проверим по таблице:
При $a=0$: $0 = 0^3 \implies 0=0$. Верно.
При $a=1$: $1 = 1^3 \implies 1=1$. Верно.
При $a=-1$: $-1 = (-1)^3 \implies -1=-1$. Верно.

Ответ: $0, 1, -1$.

$a^2 = a^3$

Это равенство выполняется, если $a^2 - a^3 = 0$, или $a^2(1-a)=0$. Корни этого уравнения: $a=0$ и $a=1$. Проверим по таблице:
При $a=0$: $0^2 = 0^3 \implies 0=0$. Верно.
При $a=1$: $1^2 = 1^3 \implies 1=1$. Верно.
При $a=-1$: $(-1)^2 = (-1)^3 \implies 1 = -1$. Неверно.

Ответ: $0, 1$.

$a^4 > a^2$

Это неравенство можно переписать как $a^4 - a^2 > 0$, или $a^2(a^2-1) > 0$. Так как $a^2 \ge 0$, это неравенство выполняется, когда $a^2 > 0$ и $a^2 - 1 > 0$. То есть, $a \ne 0$ и $a^2 > 1$, что означает $|a|>1$. Из предложенных значений этому условию удовлетворяют $10$ и $-10$.
При $a=10$: $10^4 = 10000$, $10^2 = 100$. $10000 > 100$. Верно.
При $a=-10$: $(-10)^4 = 10000$, $(-10)^2 = 100$. $10000 > 100$. Верно.

Ответ: $10, -10$.

$a < a^2$

Это неравенство можно переписать как $a^2 - a > 0$, или $a(a-1) > 0$. Оно выполняется, когда оба множителя положительны ($a>0$ и $a-1>0 \implies a>1$) или когда оба отрицательны ($a<0$ и $a-1<0 \implies a<0$). Итак, $a<0$ или $a>1$. Проверим значения из таблицы:
При $a=-1$: $-1 < (-1)^2 \implies -1 < 1$. Верно.
При $a=10$: $10 < 10^2 \implies 10 < 100$. Верно.
При $a=-10$: $-10 < (-10)^2 \implies -10 < 100$. Верно.
При $a=-0,1$: $-0,1 < (-0,1)^2 \implies -0,1 < 0,01$. Верно.
При $a=-\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2} < (-\frac{1}{2})^2 \implies -\frac{1}{2} < \frac{1}{4}$. Верно.

Ответ: $-1, 10, -10, -0,1, -\frac{1}{2}$.

$a^3 < a$

Это неравенство можно переписать как $a^3 - a < 0$, или $a(a^2-1) < 0$. Оно выполняется, когда $a>0$ и $a^2-1<0$ (т.е. $0<a<1$), или когда $a<0$ и $a^2-1>0$ (т.е. $a<-1$). Итак, $a \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$. Проверим значения из таблицы:
При $a=-10$: $a < -1$. $(-10)^3 = -1000$. $-1000 < -10$. Верно.
При $a=0,1$: $0 < a < 1$. $(0,1)^3 = 0,001$. $0,001 < 0,1$. Верно.
При $a=\frac{1}{2}$: $0 < a < 1$. $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. $\frac{1}{8} < \frac{1}{2}$. Верно.

Ответ: $-10, 0,1, \frac{1}{2}$.