Номер 41, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 41, страница 17.

41 Число 64 можно по-разному представить в виде степени:

$64 = 2^6 = 4^3 = 8^2$.

Запишите разными способами в виде степени следующее число:

а) 16;

б) 81;

в) 256;

г) 625;

д) 729;

е) 1 000 000.

Чтобы представить число в виде степени различными способами, мы сначала находим его разложение на простые множители. Затем, используя свойство степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $, мы группируем множители для получения различных оснований и показателей.

а) 16
Найдем простые множители числа 16:
$16 = 2 \times 8 = 2 \times 2 \times 4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$.
Это первая форма записи. Теперь сгруппируем множители по-другому. Так как показатель $4 = 2 \times 2$, мы можем написать:
$16 = 2^4 = (2^2)^2 = 4^2$.
Это вторая форма записи.
Ответ: $16 = 2^4 = 4^2$.

б) 81
Разложим число 81 на простые множители:
$81 = 9 \times 9 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$.
Сгруппируем множители, используя то, что $4 = 2 \times 2$:
$81 = 3^4 = (3^2)^2 = 9^2$.
Ответ: $81 = 3^4 = 9^2$.

в) 256
Разложим число 256 на простые множители. Это степень двойки:
$256 = 2 \times 128 = 2^2 \times 64 = 2^2 \times 2^6 = 2^8$.
Показатель степени 8 можно представить как $8 = 2 \times 4$ или $8 = 4 \times 2$. Это дает нам два дополнительных способа:
$256 = 2^8 = (2^2)^4 = 4^4$.
$256 = 2^8 = (2^4)^2 = 16^2$.
Ответ: $256 = 2^8 = 4^4 = 16^2$.

г) 625
Разложим число 625 на простые множители. Число оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:
$625 = 5 \times 125 = 5 \times 5 \times 25 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4$.
Сгруппируем множители:
$625 = 5^4 = (5^2)^2 = 25^2$.
Ответ: $625 = 5^4 = 25^2$.

д) 729
Разложим число 729 на простые множители. Сумма цифр $7+2+9=18$ делится на 9, значит, число делится на 9.
$729 = 9 \times 81 = 9 \times 9^2 = 9^3$.
Так как $9 = 3^2$, мы можем выразить 729 как степень тройки:
$729 = (3^2)^3 = 3^6$.
Показатель 6 можно представить как $6 = 3 \times 2$. Это дает еще один способ:
$729 = 3^6 = (3^3)^2 = 27^2$.
Ответ: $729 = 3^6 = 9^3 = 27^2$.

е) 1 000 000
Число 1 000 000 (один миллион) — это степень числа 10. Оно имеет 6 нулей, следовательно:
$1\,000\,000 = 10^6$.
Показатель степени 6 является составным числом ($6 = 2 \times 3$ и $6 = 3 \times 2$). Используем это для группировки:
$1\,000\,000 = 10^6 = (10^2)^3 = 100^3$.
$1\,000\,000 = 10^6 = (10^3)^2 = 1000^2$.
Ответ: $1\,000\,000 = 10^6 = 100^3 = 1000^2$.