Номер 40, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 40, страница 17.

40 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Прочитайте в объяснительном тексте, как выполнено вычисление $2^8$.

Найдите: $5^2$, $5^3$, $5^4$, $5^5$. Пользуясь полученными результатами, вычислите: $5^7$, $5^{10}$, $5^{15}$, $5^{20}$.

Задача состоит из двух частей. Сначала мы вычислим несколько первых степеней числа 5, а затем используем эти результаты для вычисления более высоких степеней.

Найдите: 5², 5³, 5⁴, 5⁵

Для нахождения значений степеней будем последовательно умножать результат на 5.

1. Вычислим $5^2$ (5 в квадрате):

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

2. Вычислим $5^3$ (5 в кубе):

$5^3 = 5^2 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$

3. Вычислим $5^4$ (5 в четвертой степени):

$5^4 = 5^3 \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$

4. Вычислим $5^5$ (5 в пятой степени):

$5^5 = 5^4 \cdot 5 = 625 \cdot 5 = 3125$

Ответ: $5^2 = 25$; $5^3 = 125$; $5^4 = 625$; $5^5 = 3125$.

Пользуясь полученными результатами, вычислите: 5⁷, 5¹⁰, 5¹⁵, 5²⁰

Для вычисления этих степеней будем использовать свойства степеней, в частности правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1. Вычислим $5^7$.

Представим показатель 7 в виде суммы показателей, которые мы уже рассчитали, например, $7 = 2 + 5$.

$5^7 = 5^{2+5} = 5^2 \cdot 5^5 = 25 \cdot 3125 = 78125$

Другой способ: $7 = 3 + 4$.

$5^7 = 5^{3+4} = 5^3 \cdot 5^4 = 125 \cdot 625 = 78125$

2. Вычислим $5^{10}$.

Представим показатель 10 в виде произведения $10 = 5 \cdot 2$ или $10 = 2 \cdot 5$.

$5^{10} = 5^{5 \cdot 2} = (5^5)^2 = 3125^2 = 3125 \cdot 3125 = 9765625$

Также можно представить показатель как сумму $10 = 5 + 5$.

$5^{10} = 5^5 \cdot 5^5 = 3125 \cdot 3125 = 9765625$

3. Вычислим $5^{15}$.

Представим показатель 15 как сумму $15 = 10 + 5$. Мы можем использовать результат вычисления $5^{10}$ из предыдущего пункта.

$5^{15} = 5^{10+5} = 5^{10} \cdot 5^5 = 9765625 \cdot 3125 = 30517578125$

Или можно представить $15 = 5 \cdot 3$.

$5^{15} = 5^{5 \cdot 3} = (5^5)^3 = 3125^3 = 30517578125$

4. Вычислим $5^{20}$.

Представим показатель 20 как $20 = 10 \cdot 2$. Используем уже известный результат для $5^{10}$.

$5^{20} = 5^{10 \cdot 2} = (5^{10})^2 = (9765625)^2 = 95367431640625$

Также можно представить $20 = 4 \cdot 5$.

$5^{20} = 5^{4 \cdot 5} = (5^4)^5 = 625^5 = 95367431640625$

Ответ: $5^7 = 78125$; $5^{10} = 9765625$; $5^{15} = 30517578125$; $5^{20} = 95367431640625$.