Страница 11 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разберите пример 1. По этому образцу найдите значение разности $0,7 - \frac{5}{12}$. Поясните свои действия.

Чтобы найти значение разности $0,7 - \frac{5}{12}$, необходимо представить оба числа в виде обыкновенных дробей. Это наиболее точный способ, так как перевод дроби $\frac{5}{12}$ в десятичную форму дает бесконечную периодическую дробь.

1. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Десятичная дробь $0,7$ представляет собой семь десятых, что можно записать в виде обыкновенной дроби:
$0,7 = \frac{7}{10}$
Теперь исходное выражение выглядит так:
$\frac{7}{10} - \frac{5}{12}$

2. Нахождение общего знаменателя

Для вычитания дробей с разными знаменателями их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел $10$ и $12$.
Разложим знаменатели на простые множители:
$10 = 2 \cdot 5$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
НОК$(10, 12)$ равно произведению всех уникальных простых множителей в их наивысшей степени:
НОК$(10, 12) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$
Таким образом, общий знаменатель для дробей — $60$.

3. Приведение дробей к общему знаменателю

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби и умножим на них числитель и знаменатель.
Для дроби $\frac{7}{10}$ дополнительный множитель: $60 \div 10 = 6$.
$\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{42}{60}$
Для дроби $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель: $60 \div 12 = 5$.
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$

4. Выполнение вычитания

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, вычтем их числители:
$\frac{42}{60} - \frac{25}{60} = \frac{42 - 25}{60} = \frac{17}{60}$
Полученная дробь $\frac{17}{60}$ является несократимой, так как $17$ — простое число, и $60$ на $17$ без остатка не делится.

Ответ: $\frac{17}{60}$

Разберите пример 2. Пользуясь им как образцом, найдите значение выражения $0,2 \cdot 0,35 \div 0,49$.

Чтобы найти значение выражения $0,2 \cdot 0,35 : 0,49$, преобразуем десятичные дроби в обыкновенные. Этот метод удобен, так как позволяет легко выполнять сокращения.

1. Сначала переведем все десятичные дроби в обыкновенные:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$ (сократив на 5)

$0,49 = \frac{49}{100}$

2. Теперь подставим полученные обыкновенные дроби в исходное выражение:

$0,2 \cdot 0,35 : 0,49 = \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{20} : \frac{49}{100}$

3. Выполним действия по порядку, слева направо. Сначала умножение:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{20} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 20} = \frac{7}{100}$

4. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{7}{100} : \frac{49}{100} = \frac{7}{100} \cdot \frac{100}{49}$

5. Сократим полученное выражение. Множитель 100 есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому они взаимно сокращаются:

$\frac{7 \cdot \cancel{100}}{\cancel{100} \cdot 49} = \frac{7}{49}$

6. Сократим дробь $\frac{7}{49}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 7:

$\frac{7 \div 7}{49 \div 7} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

Разберите пример 3.

Найдите значение выражения $\frac{m-n}{mn}$ при $m = 1,5$, $n = -3$. Расскажите, как вы выполнили числовую подстановку.

Найдите значение выражения $\frac{m-n}{mn}$ при $m = 1,5$, $n = -3$

1. Сначала подставим заданные значения переменных $m=1,5$ и $n=-3$ в выражение. Важно при подстановке отрицательного числа использовать скобки, чтобы не потерять знак.

Выражение примет вид:

$\frac{m-n}{mn} = \frac{1,5 - (-3)}{1,5 \cdot (-3)}$

2. Теперь выполним вычисления по порядку действий. Сначала вычислим значение числителя и знаменателя.

Числитель:

$1,5 - (-3) = 1,5 + 3 = 4,5$

Знаменатель:

$1,5 \cdot (-3) = -4,5$

3. Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя.

$\frac{4,5}{-4,5} = -1$

Ответ: -1.

Расскажите, как вы выполнили числовую подстановку

Числовая подстановка — это процесс замены переменных в алгебраическом выражении их конкретными числовыми значениями.

В нашем случае мы выполнили следующие шаги:

1. Определили переменные и их значения: переменная $m$ равна $1,5$, а переменная $n$ равна $-3$.
2. В исходном выражении $\frac{m-n}{mn}$ мы мысленно или на письме заменили каждую букву соответствующим ей числом.
3. Буква $m$ была заменена на число $1,5$ во всех местах, где она встречалась (и в числителе, и в знаменателе).
4. Буква $n$ была заменена на число $-3$. При этом, поскольку число отрицательное, мы заключили его в скобки: $(-3)$. Это критически важный шаг, так как он позволяет правильно выполнить математические операции. Например, в числителе операция вычитания $m-n$ превратилась в $1,5 - (-3)$, что эквивалентно сложению $1,5 + 3$. В знаменателе умножение $mn$ стало $1,5 \cdot (-3)$.

Таким образом, после числовой подстановки мы перешли от алгебраического выражения к числовому $\frac{1,5 - (-3)}{1,5 \cdot (-3)}$, значение которого затем вычислили.

Ответ: Числовая подстановка была выполнена путем прямой замены переменных $m$ и $n$ на их числовые значения $1,5$ и $-3$ соответственно. Для отрицательного значения $n=-3$ были использованы скобки для корректного выполнения арифметических операций вычитания и умножения.

19 Выполните действие:

а) $3,72 + \frac{2}{5}$;

б) $\frac{1}{3} + 0,3$;

в) $0,6 - \frac{4}{9}$;

г) $\frac{3}{5} - 0,76$;

д) $-2,9 + (-\frac{1}{4})$;

е) $-\frac{1}{6} - 0,5$;

ж) $-\frac{3}{7} + 0,5$;

з) $\frac{3}{20} - 0,95$.

а) Чтобы выполнить сложение десятичной и обыкновенной дроби, удобно представить обыкновенную дробь в виде десятичной.
$3,72 + \frac{2}{5} = 3,72 + \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 3,72 + \frac{4}{10} = 3,72 + 0,4 = 4,12$.
Ответ: 4,12

б) Для выполнения этого действия преобразуем десятичную дробь в обыкновенную, так как дробь $\frac{1}{3}$ является бесконечной периодической десятичной дробью.
$\frac{1}{3} + 0,3 = \frac{1}{3} + \frac{3}{10}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$\frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{10}{30} + \frac{9}{30} = \frac{10+9}{30} = \frac{19}{30}$.
Ответ: $\frac{19}{30}$

в) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную, так как дробь $\frac{4}{9}$ является бесконечной периодической десятичной дробью.
$0,6 - \frac{4}{9} = \frac{6}{10} - \frac{4}{9} = \frac{3}{5} - \frac{4}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 45:
$\frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} - \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{27}{45} - \frac{20}{45} = \frac{27-20}{45} = \frac{7}{45}$.
Ответ: $\frac{7}{45}$

г) Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную для удобства вычислений.
$\frac{3}{5} - 0,76 = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} - 0,76 = \frac{6}{10} - 0,76 = 0,6 - 0,76 = -0,16$.
Ответ: -0,16

д) Раскроем скобки и преобразуем обыкновенную дробь в десятичную.
$-2,9 + (-\frac{1}{4}) = -2,9 - \frac{1}{4} = -2,9 - \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = -2,9 - \frac{25}{100} = -2,9 - 0,25 = -3,15$.
Ответ: -3,15

е) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.
$-\frac{1}{6} - 0,5 = -\frac{1}{6} - \frac{5}{10} = -\frac{1}{6} - \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$-\frac{1}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{6} - \frac{3}{6} = \frac{-1-3}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$

ж) Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную.
$-\frac{3}{7} + 0,5 = -\frac{3}{7} + \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 14:
$-\frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = -\frac{6}{14} + \frac{7}{14} = \frac{-6+7}{14} = \frac{1}{14}$.
Ответ: $\frac{1}{14}$

з) Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную для удобства вычислений.
$\frac{3}{20} - 0,95 = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} - 0,95 = \frac{15}{100} - 0,95 = 0,15 - 0,95 = -0,8$.
Ответ: -0,8