Страница 18 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

48 Не выполняя вычислений, определите знак результата:

а) $(-8)^7$;

б) $(-1)^{24}$;

в) $(-10)^{30} \cdot (-1)^{15}$;

г) $(-2)^9 \cdot (-5)^{11}$;

д) $(-6)^{17} \cdot (-7)^{16}$;

е) $(-1)^5 \cdot (-2)^{10} \cdot (-3)^{15}$.

Для определения знака результата будем использовать следующие правила:

• При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.
• При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
• Произведение чисел с одинаковыми знаками (два плюса или два минуса) дает положительный результат.
• Произведение чисел с разными знаками (плюс и минус) дает отрицательный результат.

а) В выражении $(-8)^7$ основание степени (-8) является отрицательным, а показатель степени (7) — нечетным. Следовательно, результат будет отрицательным.
Ответ: минус (-)

б) В выражении $(-1)^{24}$ основание степени (-1) является отрицательным, а показатель степени (24) — четным. Следовательно, результат будет положительным.
Ответ: плюс (+)

в) Рассмотрим произведение $(-10)^{30} \cdot (-1)^{15}$.
1. Знак первого множителя $(-10)^{30}$: основание отрицательное, а показатель (30) — четный, значит, результат положительный.
2. Знак второго множителя $(-1)^{15}$: основание отрицательное, а показатель (15) — нечетный, значит, результат отрицательный.
3. Произведение положительного числа на отрицательное ($(+) \cdot (-)$) дает отрицательный результат.
Ответ: минус (-)

г) Рассмотрим произведение $(-2)^9 \cdot (-5)^{11}$.
1. Знак первого множителя $(-2)^9$: основание отрицательное, показатель (9) — нечетный, значит, результат отрицательный.
2. Знак второго множителя $(-5)^{11}$: основание отрицательное, показатель (11) — нечетный, значит, результат отрицательный.
3. Произведение двух отрицательных чисел ($(-) \cdot (-)$) дает положительный результат.
Ответ: плюс (+)

д) Рассмотрим произведение $(-6)^{17} \cdot (-7)^{16}$.
1. Знак первого множителя $(-6)^{17}$: основание отрицательное, показатель (17) — нечетный, значит, результат отрицательный.
2. Знак второго множителя $(-7)^{16}$: основание отрицательное, показатель (16) — четный, значит, результат положительный.
3. Произведение отрицательного числа на положительное ($(-) \cdot (+)$) дает отрицательный результат.
Ответ: минус (-)

е) Рассмотрим произведение $(-1)^5 \cdot (-2)^{10} \cdot (-3)^{15}$.
1. Знак множителя $(-1)^5$: основание отрицательное, показатель (5) — нечетный, результат отрицательный.
2. Знак множителя $(-2)^{10}$: основание отрицательное, показатель (10) — четный, результат положительный.
3. Знак множителя $(-3)^{15}$: основание отрицательное, показатель (15) — нечетный, результат отрицательный.
4. Определим знак всего произведения, перемножив знаки множителей: $(-) \cdot (+) \cdot (-) = (- \cdot +) \cdot (-) = (-) \cdot (-) = (+)$. Результат будет положительным.
Ответ: плюс (+)

49 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Какое из неравенств верно?

1) $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} > 0$

2) $\frac{(-4)^{7}}{(-10)^{9}} < 0$

3) $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$

4) $\frac{(-2)^{5}}{(-3)^{10}} > 0$

Чтобы определить, какое из неравенств верно, необходимо проанализировать знак каждой дроби. Для этого воспользуемся правилами определения знака степени:

• Отрицательное число, возведенное в четную степень, является положительным числом.
• Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, является отрицательным числом.

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1) $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} > 0$

Числитель: $(-5)^{12}$. Так как основание $-5$ отрицательное, а показатель степени $12$ — четный, то результат будет положительным: $(-5)^{12} > 0$.
Знаменатель: $(-6)^{15}$. Так как основание $-6$ отрицательное, а показатель степени $15$ — нечетный, то результат будет отрицательным: $(-6)^{15} < 0$.
Дробь, у которой числитель положительный, а знаменатель отрицательный, является отрицательным числом. Следовательно, $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} < 0$. Таким образом, исходное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

2) $\frac{(-4)^{7}}{(-10)^{9}} < 0$

Числитель: $(-4)^{7}$. Основание $-4$ отрицательное, показатель $7$ — нечетный, значит, результат отрицательный: $(-4)^{7} < 0$.
Знаменатель: $(-10)^{9}$. Основание $-10$ отрицательное, показатель $9$ — нечетный, значит, результат отрицательный: $(-10)^{9} < 0$.
При делении одного отрицательного числа на другое получается положительное число. Следовательно, $\frac{(-4)^{7}}{(-10)^{9}} > 0$. Таким образом, исходное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

3) $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$

Числитель: $(-1)^{20}$. Основание $-1$ отрицательное, показатель $20$ — четный, значит, результат положительный: $(-1)^{20} > 0$.
Знаменатель: $(-8)^{14}$. Основание $-8$ отрицательное, показатель $14$ — четный, значит, результат положительный: $(-8)^{14} > 0$.
При делении одного положительного числа на другое получается положительное число. Следовательно, $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$. Таким образом, исходное неравенство верно.

Ответ: верно.

4) $\frac{(-2)^{5}}{(-3)^{10}} > 0$

Числитель: $(-2)^{5}$. Основание $-2$ отрицательное, показатель $5$ — нечетный, значит, результат отрицательный: $(-2)^{5} < 0$.
Знаменатель: $(-3)^{10}$. Основание $-3$ отрицательное, показатель $10$ — четный, значит, результат положительный: $(-3)^{10} > 0$.
Дробь, у которой числитель отрицательный, а знаменатель положительный, является отрицательным числом. Следовательно, $\frac{(-2)^{5}}{(-3)^{10}} < 0$. Таким образом, исходное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

50 Зная, что $28^2 = 784$, найдите значение каждого из выражений: $(-28)^2$; $-28^2$; $-(-28)^2$; $-(-(-28))^2$; $-(-28)^2$.

Для решения этой задачи воспользуемся данным нам значением $28^2 = 784$, а также правилами работы со степенями и отрицательными числами. Основные моменты, которые нужно помнить:

• Возведение отрицательного числа в четную степень (в нашем случае в квадрат) дает положительный результат. Например, $(-a)^2 = a^2$.
• Порядок операций: сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, и только потом унарный минус (отрицание). Например, $-a^2$ означает $-(a^2)$.

Найдем значение каждого выражения по очереди.

$(-28)^2$

Здесь мы возводим в квадрат число $-28$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$(-28)^2 = (-28) \cdot (-28) = 28 \cdot 28 = 28^2$.
Так как по условию $28^2 = 784$, то и значение этого выражения равно 784.
Ответ: 784.

$-28^2$

В этом выражении, согласно порядку математических операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется знак минуса.
$-28^2 = -(28^2)$.
Подставляем известное значение $28^2 = 784$:
$-(28^2) = -(784) = -784$.
Ответ: -784.

$-(-28)^2$

Сначала вычисляем значение в скобках. Как мы уже выяснили в первом пункте, $(-28)^2 = 784$.
Теперь подставим это значение обратно в выражение:
$-(-28)^2 = -(784) = -784$.
Ответ: -784.

$-(-(-28)^2)$

Это выражение с несколькими знаками минуса. Будем решать его по шагам изнутри наружу.
1. Сначала возводим в квадрат: $(-28)^2 = 784$.
2. Выражение принимает вид: $-(-(784))$.
3. Раскрываем внутренние скобки: $-(784) = -784$.
4. Выражение упрощается до: $-(-784)$.
5. Минус на минус дает плюс, поэтому: $-(-784) = 784$.
Ответ: 784.

$(-(-28))^2$

Сначала выполняем операцию во внутренних скобках.
$-(-28) = 28$.
Теперь возводим полученный результат в квадрат:
$(28)^2 = 28^2$.
Используя данное нам значение, получаем: $28^2 = 784$.
Ответ: 784.

51 Запишите выражение и найдите его значение:

а) сумма квадратов чисел -3 и 4: $(-3)^2 + 4^2$; квадрат суммы чисел -3 и 4: $(-3 + 4)^2;

б) квадрат разности чисел 0,3 и 1,3: $(0.3 - 1.3)^2$; разность квадратов чисел 0,3 и 1,3: $0.3^2 - 1.3^2$;

в) разность кубов чисел 2 и 3: $2^3 - 3^3$; куб разности чисел 2 и 3: $(2 - 3)^3;

г) куб суммы чисел 0,3 и -0,1: $(0.3 + (-0.1))^3$; сумма кубов чисел 0,3 и -0,1: $0.3^3 + (-0.1)^3$.

а)

Сначала решим для "сумма квадратов чисел -3 и 4". Это означает, что нужно сначала возвести каждое число в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
Выражение: $(-3)^2 + 4^2$.
Вычисляем по шагам: 1. $(-3)^2 = 9$
2. $4^2 = 16$
3. $9 + 16 = 25$
Ответ: 25.

Теперь решим для "квадрат суммы чисел -3 и 4". Это означает, что нужно сначала найти сумму чисел, а затем возвести результат в квадрат.
Выражение: $(-3 + 4)^2$.
Вычисляем по шагам: 1. $-3 + 4 = 1$
2. $1^2 = 1$
Ответ: 1.

б)

Для "квадрат разности чисел 0,3 и 1,3" сначала нужно найти разность чисел, а затем возвести ее в квадрат.
Выражение: $(0,3 - 1,3)^2$.
Вычисляем по шагам: 1. $0,3 - 1,3 = -1$
2. $(-1)^2 = 1$
Ответ: 1.

Для "разность квадратов чисел 0,3 и 1,3" сначала нужно возвести каждое число в квадрат, а затем найти разность полученных результатов.
Выражение: $0,3^2 - 1,3^2$.
Вычисляем по шагам: 1. $0,3^2 = 0,09$
2. $1,3^2 = 1,69$
3. $0,09 - 1,69 = -1,6$
Ответ: -1,6.

в)

Для "разность кубов чисел 2 и 3" сначала нужно возвести каждое число в куб, а затем найти разность результатов.
Выражение: $2^3 - 3^3$.
Вычисляем по шагам: 1. $2^3 = 8$
2. $3^3 = 27$
3. $8 - 27 = -19$
Ответ: -19.

Для "куб разности чисел 2 и 3" сначала нужно найти разность чисел, а затем возвести ее в куб.
Выражение: $(2 - 3)^3$.
Вычисляем по шагам: 1. $2 - 3 = -1$
2. $(-1)^3 = -1$
Ответ: -1.

г)

Для "куб суммы чисел 0,3 и -0,1" сначала нужно найти сумму чисел, а затем возвести ее в куб.
Выражение: $(0,3 + (-0,1))^3$.
Вычисляем по шагам: 1. $0,3 + (-0,1) = 0,2$
2. $(0,2)^3 = 0,008$
Ответ: 0,008.

Для "сумма кубов чисел 0,3 и -0,1" сначала нужно возвести каждое число в куб, а затем найти сумму результатов.
Выражение: $0,3^3 + (-0,1)^3$.
Вычисляем по шагам: 1. $0,3^3 = 0,027$
2. $(-0,1)^3 = -0,001$
3. $0,027 + (-0,001) = 0,026$
Ответ: 0,026.

52 Найдите значения выражений $9a^2$, $(9a)^2$, $-9a^2$, $(-9a)^2$:

а) при $a = \frac{1}{6}$;

б) при $a = -0.1$.

а) при $a = \frac{1}{6}$;

Найдем поочередно значения для каждого из четырех выражений, подставив $a = \frac{1}{6}$. Важно обращать внимание на порядок действий: возведение в степень выполняется до умножения, а выражения в скобках вычисляются в первую очередь.

1. Для выражения $9a^2$:
Сначала возводим $a$ в квадрат, затем результат умножаем на 9.
$9a^2 = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 9 \cdot \frac{1^2}{6^2} = 9 \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{36}$.
Сокращаем полученную дробь: $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

2. Для выражения $(9a)^2$:
Сначала выполняем умножение в скобках, затем результат возводим в квадрат.
$(9a)^2 = \left(9 \cdot \frac{1}{6}\right)^2 = \left(\frac{9}{6}\right)^2$.
Сокращаем дробь внутри скобок: $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
Теперь возводим в квадрат: $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

3. Для выражения $-9a^2$:
Это выражение является противоположным по знаку выражению $9a^2$. Знак "минус" относится ко всему произведению $9a^2$.
$-9a^2 = -(9a^2) = -\frac{1}{4}$.
Можно также вычислить по шагам: $-9a^2 = -9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = -9 \cdot \frac{1}{36} = -\frac{9}{36} = -\frac{1}{4}$.

4. Для выражения $(-9a)^2$:
Сначала выполняем умножение в скобках, а затем возводим в квадрат. Квадрат отрицательного числа является положительным.
$(-9a)^2 = \left(-9 \cdot \frac{1}{6}\right)^2 = \left(-\frac{9}{6}\right)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

Ответ: при $a = \frac{1}{6}$ значения выражений $9a^2, (9a)^2, -9a^2, (-9a)^2$ равны соответственно: $\frac{1}{4}$; $\frac{9}{4}$; $-\frac{1}{4}$; $\frac{9}{4}$.

б) при $a = -0,1$.

Теперь найдем значения для тех же выражений, подставив $a = -0,1$.

1. Для выражения $9a^2$:
Возводим $a$ в квадрат: $(-0,1)^2 = (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01$.
Затем умножаем на 9: $9a^2 = 9 \cdot 0,01 = 0,09$.

2. Для выражения $(9a)^2$:
Умножаем в скобках: $9 \cdot (-0,1) = -0,9$.
Возводим в квадрат: $(9a)^2 = (-0,9)^2 = 0,81$.

3. Для выражения $-9a^2$:
Значение этого выражения противоположно значению $9a^2$.
$-9a^2 = - (9a^2) = -0,09$.
По шагам: $-9a^2 = -9 \cdot (-0,1)^2 = -9 \cdot 0,01 = -0,09$.

4. Для выражения $(-9a)^2$:
Умножаем в скобках: $-9 \cdot (-0,1) = 0,9$.
Возводим в квадрат: $(-9a)^2 = (0,9)^2 = 0,81$.

Ответ: при $a = -0,1$ значения выражений $9a^2, (9a)^2, -9a^2, (-9a)^2$ равны соответственно: $0,09$; $0,81$; $-0,09$; $0,81$.

53 a) Объём пирамиды, в основании которой квадрат (рис. 1.4), вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}a^2h$. Найдите объём пирамиды, если $a = 10$ см, $h = 16$ см. (Ответ округлите до единиц.)

б) Объём цилиндра можно приближённо вычислить по формуле $V \approx \frac{3d^2h}{4}$, где $d$ — диаметр основания, $h$ — высота цилиндра (рис. 1.5). Найдите объём цилиндра при $d = 1,7$ м, $h = 1$ м. (Ответ округлите до десятых.)

Рис. 1.4

Рис. 1.5

а) Чтобы найти объём пирамиды, воспользуемся данной формулой $V = \frac{1}{3}a^2h$, где $a$ — сторона квадрата в основании, а $h$ — высота пирамиды.

Согласно условию, $a = 10$ см и $h = 16$ см. Подставим эти значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \cdot (10)^2 \cdot 16$

Выполним вычисления:

$V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 16 = \frac{1600}{3} \approx 533,33...$ см³.

В задании требуется округлить ответ до единиц. Округляя $533,33...$ до ближайшего целого числа, получаем $533$.

Ответ: $533$ см³.

б) Для нахождения приближённого объёма цилиндра используем формулу $V \approx \frac{3d^2h}{4}$, где $d$ — диаметр основания, а $h$ — высота цилиндра.

По условию, $d = 1,7$ м и $h = 1$ м. Подставим эти значения в формулу:

$V \approx \frac{3 \cdot (1,7)^2 \cdot 1}{4}$

Выполним вычисления:

$V \approx \frac{3 \cdot 2,89 \cdot 1}{4} = \frac{8,67}{4} = 2,1675$ м³.

В задании сказано округлить ответ до десятых. Округляя $2,1675$ до десятых, получаем $2,2$.

Ответ: $2,2$ м³.