Страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

61 Из выражений $-(23 - 1,7)^2$, $-(1,7 - 23)^2$, $(1,7 - 23)^2$, $-(23 + 1,7)^2$ выберите такое, значение которого равно значению выражения $(23 - 1,7)^2$.

Задача состоит в том, чтобы из предложенных вариантов выбрать тот, который имеет такое же значение, как и выражение $(23 - 1,7)^2$.

Для решения этой задачи воспользуемся ключевым свойством степени: квадраты противоположных чисел равны. Это можно записать в виде формулы: $a^2 = (-a)^2$.

Если применить это свойство к разности двух чисел $x$ и $y$, мы получим важное тождество:
$(x - y)^2 = (-(x - y))^2 = (y - x)^2$.
Это означает, что при возведении разности в квадрат, мы можем поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, и результат от этого не изменится.

Теперь последовательно проанализируем каждое из предложенных выражений в сравнении с исходным $(23 - 1,7)^2$.

$-(23 - 1,7)^2$
Исходное выражение $(23 - 1,7)^2$ — это квадрат числа $21,3$, то есть $(21,3)^2$. Это положительное число. Выражение $-(23 - 1,7)^2$ имеет противоположный знак, то есть оно отрицательное. Следовательно, их значения не равны.

$-(1,7 - 23)^2$
Согласно тождеству $(y - x)^2 = (x - y)^2$, мы знаем, что $(1,7 - 23)^2 = (23 - 1,7)^2$. Тогда данное выражение можно переписать как $-(23 - 1,7)^2$. Как и в предыдущем случае, оно отрицательно и не равно исходному положительному выражению.

$(1,7 - 23)^2$
Используя тождество $(y - x)^2 = (x - y)^2$, мы можем напрямую утверждать, что:
$(1,7 - 23)^2 = (23 - 1,7)^2$.
Значения этих выражений равны. Этот вариант является правильным.

$-(23 + 1,7)^2$
В этом выражении под знаком квадрата находится сумма $(23 + 1,7) = 24,7$, а не разность. Очевидно, что $(24,7)^2 \neq (21,3)^2$. Кроме того, наличие знака "минус" перед скобками делает все выражение отрицательным. Значения не равны.

Ответ: $(1,7 - 23)^2$

62 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $-1,2$; $-1,2^2$; $1,2$; $(-1,2)^2$;

б) $0,15$; $-0,15$; $(-0,15)^2$; $(-0,15)^3$.

а)

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сначала вычислить значения выражений:

1. $-1,2$

2. $-1,2^2 = -(1,2 \times 1,2) = -1,44$. Согласно порядку выполнения операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется унарный минус.

3. $1,2$

4. $(-1,2)^2 = (-1,2) \times (-1,2) = 1,44$. В данном случае в квадрат возводится отрицательное число $-1,2$, так как оно заключено в скобки.

Мы получили следующий ряд чисел: $-1,2$; $-1,44$; $1,2$; $1,44$.

Теперь сравним эти числа. Отрицательные числа всегда меньше положительных. Сравнивая отрицательные числа, меньшим является то, чей модуль больше: $-1,44 < -1,2$. Сравнивая положительные, меньшим является то, чей модуль меньше: $1,2 < 1,44$.

Таким образом, числа в порядке возрастания располагаются так:

$-1,44 < -1,2 < 1,2 < 1,44$

Подставим исходные выражения обратно в полученный ряд:

$-1,2^2$; $-1,2$; $1,2$; $(-1,2)^2$.

Ответ: $-1,2^2$; $-1,2$; $1,2$; $(-1,2)^2$.

б)

Сначала вычислим значения всех выражений, чтобы их можно было сравнить:

1. $0,15$

2. $-0,15$

3. $(-0,15)^2 = (-0,15) \times (-0,15) = 0,0225$. Квадрат отрицательного числа есть число положительное.

4. $(-0,15)^3 = (-0,15) \times (-0,15) \times (-0,15) = 0,0225 \times (-0,15) = -0,003375$. Нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное.

Мы получили следующий набор чисел: $0,15$; $-0,15$; $0,0225$; $-0,003375$.

Расположим эти числа в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа, затем положительные.

Сравним отрицательные числа: $-0,15$ и $-0,003375$. Так как $|-0,15| > |-0,003375|$ (то есть $0,15 > 0,003375$), то $-0,15 < -0,003375$.

Сравним положительные числа: $0,15$ и $0,0225$. Очевидно, что $0,0225 < 0,15$.

Таким образом, полный упорядоченный ряд выглядит так:

$-0,15 < -0,003375 < 0,0225 < 0,15$

Теперь заменим вычисленные значения на их исходные выражения:

$-0,15$; $(-0,15)^3$; $(-0,15)^2$; $0,15$.

Ответ: $-0,15$; $(-0,15)^3$; $(-0,15)^2$; $0,15$.

63 Сравните числа $a$ и $a^2$, если известно, что:

а) $a < 0$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a > 1$.

Подсказка. Проведите числовой эксперимент.

а) Если $a < 0$, то число $a$ является отрицательным. Квадрат любого ненулевого действительного числа — число положительное. Следовательно, $a^2 > 0$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому $a^2 > a$.
Проведем численный эксперимент, как предложено в подсказке. Пусть $a = -2$. Тогда $a^2 = (-2)^2 = 4$. Сравнивая числа, получаем, что $4 > -2$, то есть $a^2 > a$.
Ответ: $a < a^2$.

б) Если $0 < a < 1$, то число $a$ является положительной правильной дробью. Чтобы сравнить $a$ и $a^2$, можно умножить обе части неравенства $a < 1$ на положительное число $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства при умножении не изменится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, что равносильно $a^2 < a$.
Проведем численный эксперимент. Пусть $a = 0,5$ (или $a = \frac{1}{2}$). Тогда $a^2 = (0,5)^2 = 0,25$ (или $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$). Сравнивая числа, получаем, что $0,5 > 0,25$, то есть $a > a^2$.
Ответ: $a > a^2$.

в) Если $a > 1$, то мы можем умножить обе части этого неравенства на число $a$. Так как по условию $a > 1$, то $a$ — положительное число, и знак неравенства при умножении не изменится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, что равносильно $a^2 > a$.
Проведем численный эксперимент. Пусть $a = 3$. Тогда $a^2 = 3^2 = 9$. Сравнивая числа, получаем, что $9 > 3$, то есть $a^2 > a$.
Ответ: $a < a^2$.

64 Подберите наименьшее натуральное число n, такое, при котором выполняется неравенство:

$2^n > 10$; $2^n > 10^2$; $2^n > 10^3$; $2^n > 10^4$; $2^n > 10^5$; $2^n > 10^6$.

(При необходимости воспользуйтесь калькулятором.)

$2^n > 10$
Для решения данного неравенства нам необходимо найти наименьшее натуральное число $n$, при котором степень $2^n$ будет больше 10. Мы можем найти это число методом подбора, последовательно вычисляя степени двойки:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
Из вычислений видно, что $2^3 = 8 < 10$, а $2^4 = 16 > 10$. Следовательно, наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству, это 4.
Другой способ решения — использование логарифмов. Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 2:
$\log_2(2^n) > \log_2(10)$
$n > \log_2(10)$
С помощью калькулятора находим, что $\log_2(10) \approx 3.3219$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 3.3219, — это 4.
Ответ: $n=4$.

$2^n > 10^2$
Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 100$. Продолжим подбор:
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
$2^7 = 128$
Поскольку $2^6 = 64 < 100$, а $2^7 = 128 > 100$, наименьшим натуральным решением является $n=7$.
Через логарифмы:
$n > \log_2(10^2)$
$n > 2 \cdot \log_2(10) \approx 2 \cdot 3.3219 = 6.6438$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 6.6438, — это 7.
Ответ: $n=7$.

$2^n > 10^3$
Требуется решить неравенство $2^n > 1000$. Здесь удобно использовать известное в информатике соотношение $2^{10} = 1024$.
Проверим значение для $n=9$: $2^9 = 512$.
Мы видим, что $2^9 = 512 < 1000$, а $2^{10} = 1024 > 1000$.
Таким образом, наименьшее натуральное $n$ равно 10.
Через логарифмы:
$n > \log_2(10^3)$
$n > 3 \cdot \log_2(10) \approx 3 \cdot 3.3219 = 9.9657$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 9.9657, — это 10.
Ответ: $n=10$.

$2^n > 10^4$
Решаем неравенство $2^n > 10000$. Прологарифмируем обе части по основанию 10, так как это удобно для степеней 10:
$\log_{10}(2^n) > \log_{10}(10^4)$
$n \cdot \log_{10}(2) > 4$
Используя калькулятор, находим, что $\log_{10}(2) \approx 0.30103$.
$n > \frac{4}{0.30103} \approx 13.2877$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 13.2877, — это 14.
Проверим вычислением:
$2^{13} = 2^{10} \cdot 2^3 = 1024 \cdot 8 = 8192$.
$2^{14} = 2^{13} \cdot 2 = 8192 \cdot 2 = 16384$.
Так как $8192 < 10000$ и $16384 > 10000$, наименьшее $n$ равно 14.
Ответ: $n=14$.

$2^n > 10^5$
Решаем неравенство $2^n > 100000$. С помощью логарифмов по основанию 10:
$n \cdot \log_{10}(2) > \log_{10}(10^5)$
$n \cdot \log_{10}(2) > 5$
$n > \frac{5}{\log_{10}(2)} \approx \frac{5}{0.30103} \approx 16.6096$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 16.6096, — это 17.
Проверим вычислением:
$2^{16} = 2^{14} \cdot 2^2 = 16384 \cdot 4 = 65536$.
$2^{17} = 2^{16} \cdot 2 = 65536 \cdot 2 = 131072$.
Поскольку $65536 < 100000$ и $131072 > 100000$, наименьшее $n$ равно 17.
Ответ: $n=17$.

$2^n > 10^6$
Решаем неравенство $2^n > 1000000$. С помощью логарифмов по основанию 10:
$n \cdot \log_{10}(2) > \log_{10}(10^6)$
$n \cdot \log_{10}(2) > 6$
$n > \frac{6}{\log_{10}(2)} \approx \frac{6}{0.30103} \approx 19.9315$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 19.9315, — это 20.
Проверим вычислением, используя $2^{10} = 1024$:
$2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576$.
$2^{19} = \frac{2^{20}}{2} = \frac{1048576}{2} = 524288$.
Так как $524288 < 1000000$ и $1048576 > 1000000$, наименьшее $n$ равно 20.
Ответ: $n=20$.

65 При каком наименьшем натуральном $n$ выполняется неравенство:

$0,1^n < 0,01$; $0,1^n < 0,0001$; $0,1^n < 0,000001$; $0,1^n < 0,\underbrace{0 \ldots 01}_{\text{50 цифр}}$?

Чтобы найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняется неравенство, мы представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием. Общий подход для неравенства вида $0,1^n < C$ заключается в следующем:

1. Записать $0,1$ как $10^{-1}$. Неравенство примет вид $(10^{-1})^n < C$, что равносильно $10^{-n} < C$.
2. Представить число $C$ в виде степени $10^{-k}$.
3. Неравенство станет $10^{-n} < 10^{-k}$.
4. Поскольку основание $10 > 1$, функция $y=10^x$ возрастающая, поэтому можно перейти к неравенству для показателей: $-n < -k$.
5. Умножив на -1, получим $n > k$.
6. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, будет $k+1$.

Применим этот метод к каждому из случаев.

$0,1^n < 0,01$

Представим обе части неравенства в виде степеней числа 10. Число 0,1 можно записать как $10^{-1}$, а число 0,01 — как $10^{-2}$.

Тогда неравенство принимает вид:

$(10^{-1})^n < 10^{-2}$

$10^{-n} < 10^{-2}$

Так как основание степени 10 больше 1, то для показателей степени выполняется неравенство того же знака:

$-n < -2$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n > 2$

Поскольку $n$ — натуральное число, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 3.

Ответ: 3

$0,1^n < 0,0001$

Представим числа в виде степеней 10. $0,1 = 10^{-1}$ и $0,0001 = 1/10000 = 10^{-4}$.

Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-4}$.

Сравнивая показатели, получаем: $-n < -4$, что эквивалентно $n > 4$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 5.

Ответ: 5

$0,1^n < 0,0000001$

Представим числа в виде степеней 10. $0,1 = 10^{-1}$, а $0,0000001 = 10^{-7}$, так как после запятой стоит 7 цифр.

Неравенство: $10^{-n} < 10^{-7}$.

Сравнивая показатели: $-n < -7$, или $n > 7$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 8.

Ответ: 8

$0,1^n < 0,0...01$ (50 цифр)

Число в правой части неравенства имеет 50 цифр после запятой, что соответствует $10^{-50}$.

Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-50}$.

Сравнивая показатели степеней, получаем: $-n < -50$, откуда следует $n > 50$.

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 50, равно 51.

Ответ: 51

66 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Иван решил накопить деньги для покупки подарков к Новому году. У него есть 100 рублей и две возможности увеличивать эту сумму: или еженедельно добавлять к ней 100 рублей, или еженедельно увеличивать её в 1,4 раза. Продолжите заполнение таблицы, в которой приводятся расчёты накопленной суммы при первом и втором способах накопления. (При необходимости используйте калькулятор.)

Накопленная сумма (в рублях)

Количество недель I способ II способ

1 $100 + 100 = 200$ $100 \cdot 1,4 = 140$

2 $100 + 2 \cdot 100 = 300$ $(100 \cdot 1,4) \cdot 1,4 = 100 \cdot 1,4^2 = 196$

3 $100 + 3 \cdot 100 = \dots$ $100 \cdot 1,4^3 = \dots$

4

5

6

...

...

Какой из этих способов выгоднее, если Иван планирует копить деньги в течение 4 недель? 6 недель? Какую сумму он мог бы накопить за полгода в первом и во втором случаях? (Считайте, что в месяце четыре недели.)

Для решения задачи сначала необходимо рассчитать накопленные суммы для каждого способа и заполнить таблицу до 6-й недели включительно.

Расчеты для I способа (арифметическая прогрессия)

При первом способе к начальной сумме в 100 рублей каждую неделю добавляется еще 100 рублей. Накопленная сумма $S_I$ после $n$ недель вычисляется по формуле: $S_I(n) = 100 + 100 \cdot n$.

• Неделя 3: $S_I(3) = 100 + 100 \cdot 3 = 400$ рублей.
• Неделя 4: $S_I(4) = 100 + 100 \cdot 4 = 500$ рублей.
• Неделя 5: $S_I(5) = 100 + 100 \cdot 5 = 600$ рублей.
• Неделя 6: $S_I(6) = 100 + 100 \cdot 6 = 700$ рублей.

Расчеты для II способа (геометрическая прогрессия)

При втором способе начальная сумма в 100 рублей каждую неделю увеличивается в 1,4 раза. Накопленная сумма $S_{II}$ после $n$ недель вычисляется по формуле: $S_{II}(n) = 100 \cdot (1,4)^n$.

• Неделя 3: $S_{II}(3) = 100 \cdot (1,4)^3 = 100 \cdot 2,744 = 274,4$ рубля.
• Неделя 4: $S_{II}(4) = 100 \cdot (1,4)^4 = 100 \cdot 3,8416 = 384,16$ рубля.
• Неделя 5: $S_{II}(5) = 100 \cdot (1,4)^5 = 100 \cdot 5,37824 \approx 537,82$ рубля.
• Неделя 6: $S_{II}(6) = 100 \cdot (1,4)^6 = 100 \cdot 7,529536 \approx 752,95$ рубля.

Заполненная таблица:

Теперь ответим на вопросы на основе полученных данных.

Какой из этих способов выгоднее, если Иван планирует копить деньги в течение 4 недель?

Сравним суммы, накопленные за 4 недели:
I способ: $S_I(4) = 500$ рублей.
II способ: $S_{II}(4) = 384,16$ рубля.
Так как $500 > 384,16$, первый способ оказывается выгоднее.
Ответ: В течение 4 недель выгоднее первый способ.

Какой из этих способов выгоднее, если Иван планирует копить деньги в течение 6 недель?

Сравним суммы, накопленные за 6 недель:
I способ: $S_I(6) = 700$ рублей.
II способ: $S_{II}(6) \approx 752,95$ рубля.
Так как $752,95 > 700$, второй способ становится выгоднее.
Ответ: В течение 6 недель выгоднее второй способ.

Какую сумму он мог бы накопить за полгода в первом и во втором случаях? (Считайте, что в месяце четыре недели.)

Сначала найдем количество недель в полугодии:
Полгода = 6 месяцев.
Количество недель $n = 6 \text{ месяцев} \times 4 \text{ недели/месяц} = 24$ недели.
Теперь рассчитаем итоговые суммы для каждого способа за 24 недели.
I способ:
$S_I(24) = 100 + 100 \cdot 24 = 100 + 2400 = 2500$ рублей.
II способ:
$S_{II}(24) = 100 \cdot (1,4)^{24} \approx 100 \cdot 3213,9304 \approx 321393,04$ рубля.
Ответ: За полгода по первому способу Иван накопит 2500 рублей, а по второму — около 321 393,04 рубля.