Номер 65, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 65, страница 20.

65 При каком наименьшем натуральном $n$ выполняется неравенство:

$0,1^n < 0,01$; $0,1^n < 0,0001$; $0,1^n < 0,000001$; $0,1^n < 0,\underbrace{0 \ldots 01}_{\text{50 цифр}}$?

Чтобы найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняется неравенство, мы представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием. Общий подход для неравенства вида $0,1^n < C$ заключается в следующем:

1. Записать $0,1$ как $10^{-1}$. Неравенство примет вид $(10^{-1})^n < C$, что равносильно $10^{-n} < C$.
2. Представить число $C$ в виде степени $10^{-k}$.
3. Неравенство станет $10^{-n} < 10^{-k}$.
4. Поскольку основание $10 > 1$, функция $y=10^x$ возрастающая, поэтому можно перейти к неравенству для показателей: $-n < -k$.
5. Умножив на -1, получим $n > k$.
6. Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, будет $k+1$.

Применим этот метод к каждому из случаев.

$0,1^n < 0,01$

Представим обе части неравенства в виде степеней числа 10. Число 0,1 можно записать как $10^{-1}$, а число 0,01 — как $10^{-2}$.

Тогда неравенство принимает вид:

$(10^{-1})^n < 10^{-2}$

$10^{-n} < 10^{-2}$

Так как основание степени 10 больше 1, то для показателей степени выполняется неравенство того же знака:

$-n < -2$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$n > 2$

Поскольку $n$ — натуральное число, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 3.

Ответ: 3

$0,1^n < 0,0001$

Представим числа в виде степеней 10. $0,1 = 10^{-1}$ и $0,0001 = 1/10000 = 10^{-4}$.

Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-4}$.

Сравнивая показатели, получаем: $-n < -4$, что эквивалентно $n > 4$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 5.

Ответ: 5

$0,1^n < 0,0000001$

Представим числа в виде степеней 10. $0,1 = 10^{-1}$, а $0,0000001 = 10^{-7}$, так как после запятой стоит 7 цифр.

Неравенство: $10^{-n} < 10^{-7}$.

Сравнивая показатели: $-n < -7$, или $n > 7$.

Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 8.

Ответ: 8

$0,1^n < 0,0...01$ (50 цифр)

Число в правой части неравенства имеет 50 цифр после запятой, что соответствует $10^{-50}$.

Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-50}$.

Сравнивая показатели степеней, получаем: $-n < -50$, откуда следует $n > 50$.

Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 50, равно 51.

Ответ: 51