Номер 66, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 66, страница 20.

66 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Иван решил накопить деньги для покупки подарков к Новому году. У него есть 100 рублей и две возможности увеличивать эту сумму: или еженедельно добавлять к ней 100 рублей, или еженедельно увеличивать её в 1,4 раза. Продолжите заполнение таблицы, в которой приводятся расчёты накопленной суммы при первом и втором способах накопления. (При необходимости используйте калькулятор.)

Накопленная сумма (в рублях)

Количество недель I способ II способ

1 $100 + 100 = 200$ $100 \cdot 1,4 = 140$

2 $100 + 2 \cdot 100 = 300$ $(100 \cdot 1,4) \cdot 1,4 = 100 \cdot 1,4^2 = 196$

3 $100 + 3 \cdot 100 = \dots$ $100 \cdot 1,4^3 = \dots$

4

5

6

...

...

Какой из этих способов выгоднее, если Иван планирует копить деньги в течение 4 недель? 6 недель? Какую сумму он мог бы накопить за полгода в первом и во втором случаях? (Считайте, что в месяце четыре недели.)

Для решения задачи сначала необходимо рассчитать накопленные суммы для каждого способа и заполнить таблицу до 6-й недели включительно.

Расчеты для I способа (арифметическая прогрессия)

При первом способе к начальной сумме в 100 рублей каждую неделю добавляется еще 100 рублей. Накопленная сумма $S_I$ после $n$ недель вычисляется по формуле: $S_I(n) = 100 + 100 \cdot n$.

• Неделя 3: $S_I(3) = 100 + 100 \cdot 3 = 400$ рублей.
• Неделя 4: $S_I(4) = 100 + 100 \cdot 4 = 500$ рублей.
• Неделя 5: $S_I(5) = 100 + 100 \cdot 5 = 600$ рублей.
• Неделя 6: $S_I(6) = 100 + 100 \cdot 6 = 700$ рублей.

Расчеты для II способа (геометрическая прогрессия)

При втором способе начальная сумма в 100 рублей каждую неделю увеличивается в 1,4 раза. Накопленная сумма $S_{II}$ после $n$ недель вычисляется по формуле: $S_{II}(n) = 100 \cdot (1,4)^n$.

• Неделя 3: $S_{II}(3) = 100 \cdot (1,4)^3 = 100 \cdot 2,744 = 274,4$ рубля.
• Неделя 4: $S_{II}(4) = 100 \cdot (1,4)^4 = 100 \cdot 3,8416 = 384,16$ рубля.
• Неделя 5: $S_{II}(5) = 100 \cdot (1,4)^5 = 100 \cdot 5,37824 \approx 537,82$ рубля.
• Неделя 6: $S_{II}(6) = 100 \cdot (1,4)^6 = 100 \cdot 7,529536 \approx 752,95$ рубля.

Заполненная таблица:

Количество недель	I способ	II способ
1	200	140
2	300	196
3	400	274,40
4	500	384,16
5	600	537,82
6	700	752,95

Теперь ответим на вопросы на основе полученных данных.

Какой из этих способов выгоднее, если Иван планирует копить деньги в течение 4 недель?

Сравним суммы, накопленные за 4 недели:
I способ: $S_I(4) = 500$ рублей.
II способ: $S_{II}(4) = 384,16$ рубля.
Так как $500 > 384,16$, первый способ оказывается выгоднее.
Ответ: В течение 4 недель выгоднее первый способ.

Какой из этих способов выгоднее, если Иван планирует копить деньги в течение 6 недель?

Сравним суммы, накопленные за 6 недель:
I способ: $S_I(6) = 700$ рублей.
II способ: $S_{II}(6) \approx 752,95$ рубля.
Так как $752,95 > 700$, второй способ становится выгоднее.
Ответ: В течение 6 недель выгоднее второй способ.

Какую сумму он мог бы накопить за полгода в первом и во втором случаях? (Считайте, что в месяце четыре недели.)

Сначала найдем количество недель в полугодии:
Полгода = 6 месяцев.
Количество недель $n = 6 \text{ месяцев} \times 4 \text{ недели/месяц} = 24$ недели.
Теперь рассчитаем итоговые суммы для каждого способа за 24 недели.
I способ:
$S_I(24) = 100 + 100 \cdot 24 = 100 + 2400 = 2500$ рублей.
II способ:
$S_{II}(24) = 100 \cdot (1,4)^{24} \approx 100 \cdot 3213,9304 \approx 321393,04$ рубля.
Ответ: За полгода по первому способу Иван накопит 2500 рублей, а по второму — около 321 393,04 рубля.