Номер 64, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 64, страница 20.

64 Подберите наименьшее натуральное число n, такое, при котором выполняется неравенство:

$2^n > 10$; $2^n > 10^2$; $2^n > 10^3$; $2^n > 10^4$; $2^n > 10^5$; $2^n > 10^6$.

(При необходимости воспользуйтесь калькулятором.)

$2^n > 10$
Для решения данного неравенства нам необходимо найти наименьшее натуральное число $n$, при котором степень $2^n$ будет больше 10. Мы можем найти это число методом подбора, последовательно вычисляя степени двойки:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
Из вычислений видно, что $2^3 = 8 < 10$, а $2^4 = 16 > 10$. Следовательно, наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству, это 4.
Другой способ решения — использование логарифмов. Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 2:
$\log_2(2^n) > \log_2(10)$
$n > \log_2(10)$
С помощью калькулятора находим, что $\log_2(10) \approx 3.3219$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 3.3219, — это 4.
Ответ: $n=4$.

$2^n > 10^2$
Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 100$. Продолжим подбор:
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
$2^7 = 128$
Поскольку $2^6 = 64 < 100$, а $2^7 = 128 > 100$, наименьшим натуральным решением является $n=7$.
Через логарифмы:
$n > \log_2(10^2)$
$n > 2 \cdot \log_2(10) \approx 2 \cdot 3.3219 = 6.6438$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 6.6438, — это 7.
Ответ: $n=7$.

$2^n > 10^3$
Требуется решить неравенство $2^n > 1000$. Здесь удобно использовать известное в информатике соотношение $2^{10} = 1024$.
Проверим значение для $n=9$: $2^9 = 512$.
Мы видим, что $2^9 = 512 < 1000$, а $2^{10} = 1024 > 1000$.
Таким образом, наименьшее натуральное $n$ равно 10.
Через логарифмы:
$n > \log_2(10^3)$
$n > 3 \cdot \log_2(10) \approx 3 \cdot 3.3219 = 9.9657$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 9.9657, — это 10.
Ответ: $n=10$.

$2^n > 10^4$
Решаем неравенство $2^n > 10000$. Прологарифмируем обе части по основанию 10, так как это удобно для степеней 10:
$\log_{10}(2^n) > \log_{10}(10^4)$
$n \cdot \log_{10}(2) > 4$
Используя калькулятор, находим, что $\log_{10}(2) \approx 0.30103$.
$n > \frac{4}{0.30103} \approx 13.2877$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 13.2877, — это 14.
Проверим вычислением:
$2^{13} = 2^{10} \cdot 2^3 = 1024 \cdot 8 = 8192$.
$2^{14} = 2^{13} \cdot 2 = 8192 \cdot 2 = 16384$.
Так как $8192 < 10000$ и $16384 > 10000$, наименьшее $n$ равно 14.
Ответ: $n=14$.

$2^n > 10^5$
Решаем неравенство $2^n > 100000$. С помощью логарифмов по основанию 10:
$n \cdot \log_{10}(2) > \log_{10}(10^5)$
$n \cdot \log_{10}(2) > 5$
$n > \frac{5}{\log_{10}(2)} \approx \frac{5}{0.30103} \approx 16.6096$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 16.6096, — это 17.
Проверим вычислением:
$2^{16} = 2^{14} \cdot 2^2 = 16384 \cdot 4 = 65536$.
$2^{17} = 2^{16} \cdot 2 = 65536 \cdot 2 = 131072$.
Поскольку $65536 < 100000$ и $131072 > 100000$, наименьшее $n$ равно 17.
Ответ: $n=17$.

$2^n > 10^6$
Решаем неравенство $2^n > 1000000$. С помощью логарифмов по основанию 10:
$n \cdot \log_{10}(2) > \log_{10}(10^6)$
$n \cdot \log_{10}(2) > 6$
$n > \frac{6}{\log_{10}(2)} \approx \frac{6}{0.30103} \approx 19.9315$.
Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 19.9315, — это 20.
Проверим вычислением, используя $2^{10} = 1024$:
$2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576$.
$2^{19} = \frac{2^{20}}{2} = \frac{1048576}{2} = 524288$.
Так как $524288 < 1000000$ и $1048576 > 1000000$, наименьшее $n$ равно 20.
Ответ: $n=20$.