Номер 68, страница 21 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 68, страница 21.

68 ИССЛЕДУЕМ

Квадрат со стороной 1 м закрашивают по частям, как показано на рисунке 1.6. На каждом шаге закрашивается половина незакрашенной части.

1) Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части. Запишите соответствующие выражения для остальных квадратов на рисунке.

2) Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата, получившейся на десятом шаге; на сотом шаге.

3) Используйте полученный результат для вычисления значения выражения

$\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \ldots + \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$

$1 - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

...

...

...

...

...

...

Рис. 1.6

1) Давайте проанализируем процесс закрашивания. Исходная площадь квадрата равна $1^2 = 1 \, \text{м}^2$.

Шаг 1: Закрашивается половина площади. Закрашенная площадь $S_1 = \frac{1}{2}$. Незакрашенная площадь: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Выражения: $S_1 = \frac{1}{2}$ или $S_1 = 1 - \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Закрашивается половина оставшейся незакрашенной части. Добавляется закрашенная площадь $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.
Общая закрашенная площадь $S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$.
Незакрашенная площадь теперь составляет $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$. Значит, общую закрашенную площадь можно также найти как $S_2 = 1 - (\frac{1}{2})^2$.

По аналогии найдем выражения для следующих шагов.

Шаг 3 (третий квадрат): К закрашенной площади $S_2$ добавляется половина от новой незакрашенной части (которая равна $\frac{1}{4}$): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$.
Первое выражение (сумма закрашенных частей): $S_3 = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3$.
Незакрашенная часть теперь равна $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$. Второе выражение (общая площадь минус незакрашенная): $S_3 = 1 - (\frac{1}{2})^3$.

Шаг 4 (четвертый квадрат на рисунке): Добавляется закрашенная площадь $\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.
Первое выражение: $S_4 = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4$.
Второе выражение: $S_4 = 1 - (\frac{1}{2})^4$.

Ответ: Для третьего квадрата выражения: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3$ и $1 - (\frac{1}{2})^3$. Для четвертого квадрата: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4$ и $1 - (\frac{1}{2})^4$.

2) Используя закономерность, установленную в пункте 1, мы можем записать два выражения для площади закрашенной части на любом шаге $n$.

• Первое выражение — это сумма площадей, закрашенных на каждом шаге. Это сумма членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^n$.
• Второе выражение — это общая площадь (1) минус площадь незакрашенной части, которая на шаге $n$ равна $(\frac{1}{2})^n$: $S_n = 1 - (\frac{1}{2})^n$.

На десятом шаге (n=10):
Первое выражение: $S_{10} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$.
Второе выражение: $S_{10} = 1 - (\frac{1}{2})^{10}$.

На сотом шаге (n=100):
Первое выражение: $S_{100} = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{100}$.
Второе выражение: $S_{100} = 1 - (\frac{1}{2})^{100}$.

Ответ: На десятом шаге: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$ и $1 - (\frac{1}{2})^{10}$. На сотом шаге: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^{100}$ и $1 - (\frac{1}{2})^{100}$.

3) В предыдущем пункте мы установили, что сумма $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$ является одним из способов вычисления площади закрашенной части на 10-м шаге. Другой, эквивалентный способ, — это выражение $1 - (\frac{1}{2})^{10}$. Поскольку эти выражения равны, мы можем использовать второе, более простое для вычисления.

Вычислим значение этого выражения:

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{10} = 1 - (\frac{1}{2})^{10}$

$1 - (\frac{1}{2})^{10} = 1 - \frac{1^{10}}{2^{10}} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024} = \frac{1024-1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

Ответ: $\frac{1023}{1024}$.