Номер 63, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 63, страница 20.

63 Сравните числа $a$ и $a^2$, если известно, что:

а) $a < 0$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a > 1$.

Подсказка. Проведите числовой эксперимент.

а) Если $a < 0$, то число $a$ является отрицательным. Квадрат любого ненулевого действительного числа — число положительное. Следовательно, $a^2 > 0$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому $a^2 > a$.
Проведем численный эксперимент, как предложено в подсказке. Пусть $a = -2$. Тогда $a^2 = (-2)^2 = 4$. Сравнивая числа, получаем, что $4 > -2$, то есть $a^2 > a$.
Ответ: $a < a^2$.

б) Если $0 < a < 1$, то число $a$ является положительной правильной дробью. Чтобы сравнить $a$ и $a^2$, можно умножить обе части неравенства $a < 1$ на положительное число $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства при умножении не изменится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, что равносильно $a^2 < a$.
Проведем численный эксперимент. Пусть $a = 0,5$ (или $a = \frac{1}{2}$). Тогда $a^2 = (0,5)^2 = 0,25$ (или $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$). Сравнивая числа, получаем, что $0,5 > 0,25$, то есть $a > a^2$.
Ответ: $a > a^2$.

в) Если $a > 1$, то мы можем умножить обе части этого неравенства на число $a$. Так как по условию $a > 1$, то $a$ — положительное число, и знак неравенства при умножении не изменится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, что равносильно $a^2 > a$.
Проведем численный эксперимент. Пусть $a = 3$. Тогда $a^2 = 3^2 = 9$. Сравнивая числа, получаем, что $9 > 3$, то есть $a^2 > a$.
Ответ: $a < a^2$.