Страница 27 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

79 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ На весенней распродаже в магазине товар стоимостью 350 р. уценили на 40%, а через неделю — ещё на 5%. В супермаркете такой же товар уценили на 5%, а через неделю — ещё на 40%. А на ярмарке этот же товар уценили на 45%. Где выгоднее купить этот товар?

Для того чтобы определить, где выгоднее купить товар, необходимо рассчитать его итоговую стоимость в каждом из трех случаев. Изначальная стоимость товара — 350 р.

В магазине

Сначала цена была снижена на 40%. Новая цена составила $100\% - 40\% = 60\%$ от первоначальной:

$350 \cdot (1 - 0,40) = 350 \cdot 0,6 = 210$ р.

Затем полученную цену снизили еще на 5%. Итоговая цена составила $100\% - 5\% = 95\%$ от цены после первой уценки:

$210 \cdot (1 - 0,05) = 210 \cdot 0,95 = 199,5$ р.

Ответ: 199,5 р.

В супермаркете

Сначала цена была снижена на 5%. Новая цена составила $100\% - 5\% = 95\%$ от первоначальной:

$350 \cdot (1 - 0,05) = 350 \cdot 0,95 = 332,5$ р.

Затем полученную цену снизили еще на 40%. Итоговая цена составила $100\% - 40\% = 60\%$ от цены после первой уценки:

$332,5 \cdot (1 - 0,40) = 332,5 \cdot 0,6 = 199,5$ р.

Ответ: 199,5 р.

На ярмарке

Цена была снижена на 45%. Итоговая цена составила $100\% - 45\% = 55\%$ от первоначальной:

$350 \cdot (1 - 0,45) = 350 \cdot 0,55 = 192,5$ р.

Ответ: 192,5 р.

Теперь сравним итоговые цены: 199,5 р. (в магазине), 199,5 р. (в супермаркете) и 192,5 р. (на ярмарке). Самая низкая цена — на ярмарке, так как $192,5 < 199,5$.

Ответ: Выгоднее всего купить этот товар на ярмарке.

80 Крутизна спуска дороги — это $ \frac{h}{a} \cdot 100\% $ (рис. 1.8). Найдите крутизну спуска дороги, если высота подъёма равна 60 м, а горизонтальная протяжённость 1,5 км.

Рис. 1.8

Согласно определению, приведенному в задаче, крутизна спуска дороги — это отношение высоты подъёма к её горизонтальной протяжённости, выраженное в процентах.
Математически это можно записать в виде формулы:
$Крутизна = \frac{Высота \ подъёма}{Горизонтальная \ протяжённость} \cdot 100\%$

В условии даны следующие значения:
Высота подъёма $h = 60$ м.
Горизонтальная протяжённость $a = 1,5$ км.

Для того чтобы рассчитать отношение, необходимо привести обе величины к одинаковым единицам измерения. Переведём горизонтальную протяжённость из километров в метры, зная, что 1 км = 1000 м:
$a = 1,5 \text{ км} = 1,5 \cdot 1000 \text{ м} = 1500 \text{ м}$.

Теперь, когда обе величины выражены в метрах, можем подставить их в нашу формулу:
$Крутизна = \frac{60 \text{ м}}{1500 \text{ м}} \cdot 100\%$

Выполним вычисления:
$Крутизна = \frac{60}{1500} \cdot 100\% = 0,04 \cdot 100\% = 4\%$.

Ответ: 4%.

81 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

а) В таблице указаны цены на некоторые товары в мае и декабре.

Товар Цена в мае Цена в декабре

Шарф 340 р. 391 р.

Зонт 550 р. 418 р.

Велосипед 3720 р. 3255 р.

На сколько процентов повысилась или понизилась цена каждого товара в декабре по сравнению с майской ценой? На сколько процентов майская цена была выше или ниже декабрьской? (Ответ округлите до единиц.)

б) В городских новостях прозвучало сообщение: цена одного товара, пользовавшегося повышенным спросом, в течение года выросла с 18 до 28 р., т. е. почти на 30%. Верный ли вывод сделан о росте цены?

а)

Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить два вида процентных расчетов для каждого товара:
1. Найти, на сколько процентов изменилась цена в декабре по сравнению с ценой в мае. За 100% принимается цена в мае.
2. Найти, на сколько процентов майская цена отличается от декабрьской. За 100% принимается цена в декабре.

Все ответы округляются до целых чисел.

1. Изменение цены в декабре по сравнению с маем.

Формула для расчета: $ \frac{(\text{Цена в декабре} - \text{Цена в мае})}{\text{Цена в мае}} \times 100\% $

• Шарф:
  Цена выросла с 340 р. до 391 р.
  Процентное изменение: $ \frac{(391 - 340)}{340} \times 100\% = \frac{51}{340} \times 100\% = 15\% $.
  Цена повысилась на 15%.

• Зонт:
  Цена снизилась с 550 р. до 418 р.
  Процентное изменение: $ \frac{(418 - 550)}{550} \times 100\% = \frac{-132}{550} \times 100\% = -24\% $.
  Цена понизилась на 24%.

• Велосипед:
  Цена снизилась с 3720 р. до 3255 р.
  Процентное изменение: $ \frac{(3255 - 3720)}{3720} \times 100\% = \frac{-465}{3720} \times 100\% = -12.5\% \approx -13\% $.
  Цена понизилась на 13%.

2. Отличие майской цены от декабрьской.

Формула для расчета: $ \frac{(\text{Цена в мае} - \text{Цена в декабре})}{\text{Цена в декабре}} \times 100\% $

• Шарф:
  Сравниваем майскую цену (340 р.) с декабрьской (391 р.).
  Процентное отличие: $ \frac{(340 - 391)}{391} \times 100\% = \frac{-51}{391} \times 100\% \approx -13.04\% \approx -13\% $.
  Майская цена была на 13% ниже декабрьской.

• Зонт:
  Сравниваем майскую цену (550 р.) с декабрьской (418 р.).
  Процентное отличие: $ \frac{(550 - 418)}{418} \times 100\% = \frac{132}{418} \times 100\% \approx 31.58\% \approx 32\% $.
  Майская цена была на 32% выше декабрьской.

• Велосипед:
  Сравниваем майскую цену (3720 р.) с декабрьской (3255 р.).
  Процентное отличие: $ \frac{(3720 - 3255)}{3255} \times 100\% = \frac{465}{3255} \times 100\% \approx 14.28\% \approx 14\% $.
  Майская цена была на 14% выше декабрьской.

Ответ: Цена на шарф в декабре повысилась на 15% по сравнению с маем; майская цена была на 13% ниже декабрьской. Цена на зонт понизилась на 24%; майская цена была на 32% выше. Цена на велосипед понизилась на 13%; майская цена была на 14% выше.

б)

Чтобы проверить верность вывода, нужно рассчитать точное процентное изменение цены.

Начальная цена товара — 18 р. (это 100%).
Конечная цена — 28 р.
Изменение цены в рублях: $28 - 18 = 10$ р.

Теперь найдем, какой процент составляет это изменение от начальной цены:

$ \frac{\text{Изменение цены}}{\text{Начальная цена}} \times 100\% = \frac{10}{18} \times 100\% = \frac{5}{9} \times 100\% \approx 55.56\% $

Таким образом, цена выросла примерно на 56%, что значительно больше, чем "почти на 30%". Следовательно, вывод, сделанный в новостях, неверный.

Ответ: Вывод неверный, так как цена выросла не на 30%, а почти на 56%.

82 а)

Представьте в виде круговой диаграммы состав лекарственного сбора: корня солодки — 27%, корня алтея — 29,8%, листьев шалфея — 14,4%, плодов аниса — 14,4%, почек сосны — 14,4%.

Образец. В расчётах для построения диаграммы используйте калькулятор. Результаты округляйте до целых. Например, чтобы выделить сектор для изображения 14,4%, надо найти 14,4% от 360°. Получим $360^\circ \cdot 0,144 = 51,84^\circ \approx 52^\circ$.

б) На книжной ярмарке за 3 дня продали все школьные учебники. В пятницу продали 300 учебников, в субботу — 420, в воскресенье — 530 учебников. Определите, какой процент от всех имевшихся на ярмарке школьных учебников составляют проданные в каждый из этих трёх дней. Используя полученные результаты, проиллюстрируйте условие задачи с помощью круговой диаграммы.

а)

Чтобы представить состав лекарственного сбора в виде круговой диаграммы, необходимо вычислить, какому центральному углу на диаграмме соответствует процентное содержание каждого компонента. Полный круг составляет $360^\circ$. Для нахождения угла сектора нужно процентное содержание, выраженное в виде десятичной дроби, умножить на $360^\circ$. Результаты вычислений, согласно условию, округляем до целых.

• Корня солодки (27%):
  $360^\circ \cdot 0,27 = 97,2^\circ \approx 97^\circ$
• Корня алтея (29,8%):
  $360^\circ \cdot 0,298 = 107,28^\circ \approx 107^\circ$
• Листьев шалфея (14,4%):
  $360^\circ \cdot 0,144 = 51,84^\circ \approx 52^\circ$
• Плодов аниса (14,4%):
  $360^\circ \cdot 0,144 = 51,84^\circ \approx 52^\circ$
• Почек сосны (14,4%):
  $360^\circ \cdot 0,144 = 51,84^\circ \approx 52^\circ$

Для проверки можно сложить полученные значения углов: $97^\circ + 107^\circ + 52^\circ + 52^\circ + 52^\circ = 360^\circ$. Сумма углов равна $360^\circ$, что соответствует полному кругу.

Ответ: Для построения круговой диаграммы нужно выделить секторы с центральными углами: для корня солодки – $97^\circ$, для корня алтея – $107^\circ$, для листьев шалфея – $52^\circ$, для плодов аниса – $52^\circ$ и для почек сосны – $52^\circ$.

б)

1. Сначала найдем общее количество проданных на ярмарке учебников за 3 дня, чтобы принять его за 100%.

$300 (\text{пт}) + 420 (\text{сб}) + 530 (\text{вс}) = 1250$ (учебников) – всего продали.

2. Теперь определим, какой процент от общего количества составляют учебники, проданные в каждый из трёх дней.

• В пятницу: $\frac{300}{1250} \cdot 100\% = 0,24 \cdot 100\% = 24\%$
• В субботу: $\frac{420}{1250} \cdot 100\% = 0,336 \cdot 100\% = 33,6\%$
• В воскресенье: $\frac{530}{1250} \cdot 100\% = 0,424 \cdot 100\% = 42,4\%$

Проверка: $24\% + 33,6\% + 42,4\% = 100\%$.

3. Для иллюстрации условия задачи с помощью круговой диаграммы найдем величины центральных углов для каждого сектора, соответствующих продажам за каждый день.

• Пятница (24%): $360^\circ \cdot 0,24 = 86,4^\circ \approx 86^\circ$
• Суббота (33,6%): $360^\circ \cdot 0,336 = 120,96^\circ \approx 121^\circ$
• Воскресенье (42,4%): $360^\circ \cdot 0,424 = 152,64^\circ \approx 153^\circ$

Проверка суммы углов: $86^\circ + 121^\circ + 153^\circ = 360^\circ$.

Ответ: В пятницу было продано 24% всех учебников, в субботу – 33,6%, в воскресенье – 42,4%. На круговой диаграмме продажам в пятницу, субботу и воскресенье соответствуют секторы с центральными углами $86^\circ$, $121^\circ$ и $153^\circ$ соответственно.