Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

97 В соревнованиях в стрельбе по мишени участвовало 12 человек, каждый из которых сделал 10 выстрелов. В таблице указано число результативных выстрелов каждого из спортсменов.

Найдите среднее арифметическое, моду и размах ряда попаданий. Что характеризует каждый из этих показателей?

Для решения задачи сначала выпишем ряд данных, представленный в таблице. Это число попаданий каждого из 12 участников:

8, 6, 7, 8, 8, 5, 6, 9, 8, 8, 5, 9.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое ряда чисел — это сумма всех чисел в этом ряду, деленная на их количество. Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо сложить все результаты и разделить на количество участников, то есть на 12.

Сумма всех попаданий: $8 + 6 + 7 + 8 + 8 + 5 + 6 + 9 + 8 + 8 + 5 + 9 = 87$.

Расчет среднего арифметического: $\frac{87}{12} = 7.25$.

Среднее арифметическое характеризует «усредненный» результат стрельбы. Оно показывает, каким был бы результат каждого спортсмена, если бы все выступили одинаково. В данном контексте это 7.25 попаданий, что говорит об общем уровне подготовки группы.

Ответ: 7.25

Мода

Мода ряда чисел — это число, которое встречается в данном ряду чаще других. Для ее нахождения подсчитаем частоту каждого результата в ряду:

число 5 встречается 2 раза;
число 6 встречается 2 раза;
число 7 встречается 1 раз;
число 8 встречается 5 раз;
число 9 встречается 2 раза.

Число 8 встречается наиболее часто, следовательно, оно является модой данного ряда.

Мода характеризует самый типичный, или «модный», результат. В данном случае это 8 попаданий. Это означает, что результат в 8 попаданий был самым распространенным среди участников соревнований.

Ответ: 8

Размах

Размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Сначала найдем эти значения в нашем ряду данных.

Наибольшее значение (max): 9.

Наименьшее значение (min): 5.

Расчет размаха: $9 - 5 = 4$.

Размах характеризует разброс или вариативность данных. Он показывает, насколько сильно отличаются результаты участников друг от друга. Размах, равный 4, означает, что разница между лучшим и худшим результатом составляет 4 попадания, что говорит о степени однородности (или неоднородности) подготовки спортсменов в группе.

Ответ: 4

98 На соревнованиях по фигурному катанию на коньках девять судей поставили спортсмену следующие оценки:

5,5; 5,4; 4,9; 5,3; 5,0; 5,3; 5,4; 5,7; 5,4.

Найдите размах и моду ряда оценок. Отбросьте наибольшую и наименьшую оценки и найдите средний балл спортсмена.

Дан следующий ряд оценок, поставленных девятью судьями: 5,5; 5,4; 4,9; 5,3; 5,0; 5,3; 5,4; 5,7; 5,4.

Найдите размах и моду ряда оценок.

Для нахождения статистических характеристик упорядочим ряд оценок по возрастанию:
4,9; 5,0; 5,3; 5,3; 5,4; 5,4; 5,4; 5,5; 5,7.

Размах ряда — это разность между его наибольшим и наименьшим значениями.
Наибольшая оценка в ряду: $5,7$.
Наименьшая оценка в ряду: $4,9$.
Размах = $5,7 - 4,9 = 0,8$.

Мода ряда — это значение, которое встречается в ряду наиболее часто.
В данном ряду оценка $5,4$ встречается 3 раза, что чаще, чем любая другая оценка.
Следовательно, мода ряда равна $5,4$.

Ответ: размах ряда равен 0,8; мода ряда равна 5,4.

Отбросьте наибольшую и наименьшую оценки и найдите средний балл спортсмена.

Из исходного ряда убираем наибольшую ($5,7$) и наименьшую ($4,9$) оценки.
Получаем новый ряд, состоящий из $9 - 2 = 7$ оценок:
5,0; 5,3; 5,3; 5,4; 5,4; 5,4; 5,5.

Средний балл спортсмена — это среднее арифметическое оставшихся оценок. Для его вычисления найдем сумму этих оценок и разделим на их количество.
Сумма оставшихся оценок:
$S = 5,0 + 5,3 + 5,3 + 5,4 + 5,4 + 5,4 + 5,5 = 37,3$.
Количество оценок: $n = 7$.
Средний балл вычисляется по формуле:
$Средний \ балл = \frac{S}{n} = \frac{37,3}{7} \approx 5,32857...$
Округлим результат до сотых.

Ответ: средний балл спортсмена примерно равен 5,33.

99 РАССУЖДАЕМ

Для службы в Президентском полку отбирают призывников ростом не менее 175 см и не более 190 см.

а) Можно ли утверждать, что средний рост солдат этого полка равен 182,5 см?

б) Есть три группы призывников, про которые известно, что:

в первой группе средний рост равен 180 см;

во второй группе максимальный рост равен 180 см;

в третьей группе минимальный рост равен 180 см.

В каждой ли из этих групп заведомо есть призывник, годный к службе в Президентском полку?

а)

Утверждать, что средний рост солдат этого полка равен 182,5 см, нельзя. Условия отбора по росту $H$ для службы в Президентском полку — это $175 \le H \le 190$ см. Средний рост солдат зависит от конкретного распределения их роста в этом диапазоне.

Значение 182,5 см является лишь серединой допустимого интервала, так как $(175 + 190) / 2 = 182,5$. Средний рост был бы равен этому значению, только если бы распределение роста было симметричным относительно этой точки.

Однако это не обязательно так. Например, если полк будет состоять только из солдат, чей рост ровно 175 см (что удовлетворяет условию отбора), то и средний рост будет равен 175 см, а не 182,5 см. Поскольку можно привести контрпример, данное утверждение неверно.

Ответ: нет, утверждать это нельзя.

б)

Проанализируем каждую из трех групп, чтобы определить, есть ли в ней заведомо (гарантированно) хотя бы один призывник, годный к службе. Условие годности: рост $H$ находится в диапазоне $175 \le H \le 190$ см.

в первой группе средний рост равен 180 см:
Нет, не заведомо. Средний рост в группе может быть 180 см, даже если ни один из призывников не соответствует требованиям. Например, рассмотрим группу из двух призывников с ростом 160 см и 200 см. Их средний рост равен $(160 + 200) / 2 = 180$ см. Однако рост первого призывника (160 см) меньше 175 см, а рост второго (200 см) больше 190 см. Следовательно, ни один из них не годен. Поскольку существует контрпример, гарантировать наличие годного призывника в этой группе нельзя.

во второй группе максимальный рост равен 180 см:
Да, заведомо. Если максимальный рост в группе равен 180 см, это означает, что в группе есть по крайней мере один призывник с ростом ровно 180 см, и ни у кого рост не превышает этого значения. Проверим, подходит ли рост 180 см под требования: $175 \le 180 \le 190$. Неравенство верно. Следовательно, призывник с ростом 180 см годен к службе, и в этой группе гарантированно есть хотя бы один годный призывник.

в третьей группе минимальный рост равен 180 см:
Да, заведомо. Если минимальный рост в группе равен 180 см, это означает, что в группе есть как минимум один призывник с ростом ровно 180 см, и ни у кого рост не ниже этого значения. Рост 180 см удовлетворяет условию $175 \le 180 \le 190$. Значит, этот призывник годен к службе. Таким образом, в этой группе также заведомо есть хотя бы один годный призывник.

Ответ: в первой группе наличие годного призывника не гарантировано; во второй и третьей группах заведомо есть годный призывник.

100 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Средняя масса волнистых попугайчиков школьного живого уголка 42 г. Масса попугайчика Кеши равна 43 г. Верны ли следующие утверждения?

а) Все попугайчики, кроме Кеши, имеют массу 42 г.

б) Масса каждого попугайчика, кроме Кеши, меньше 42 г.

в) В живом уголке есть попугайчик, масса которого меньше 42 г.

г) В живом уголке есть попугайчик, масса которого равна 41 г.

Для решения этой задачи проанализируем каждое утверждение, используя основные понятия статистики, в частности, определение среднего арифметического.

Пусть $n$ — общее количество попугайчиков в живом уголке, а $m_1, m_2, ..., m_n$ — их массы. Средняя масса, по условию, равна 42 г. Это значит:

$M_{ср} = \frac{m_1 + m_2 + ... + m_n}{n} = 42$

Отсюда, суммарная масса всех попугайчиков: $S_{общ} = m_1 + m_2 + ... + m_n = 42n$.

Масса одного попугайчика, Кеши, известна и равна $m_{К} = 43$ г.

а) Все попугайчики, кроме Кеши, имеют массу 42 г.

Предположим, что это утверждение верно. Тогда в живом уголке есть Кеша массой 43 г и еще $n-1$ попугайчиков, масса каждого из которых 42 г. Найдем суммарную массу всех попугайчиков при таком условии:

$S_{общ} = m_{К} + (n-1) \times 42 = 43 + 42n - 42 = 42n + 1$ г.

Теперь вычислим среднюю массу:

$M_{ср} = \frac{S_{общ}}{n} = \frac{42n + 1}{n} = 42 + \frac{1}{n}$ г.

Полученное значение $42 + \frac{1}{n}$ всегда больше 42, что противоречит условию задачи, где средняя масса равна ровно 42 г. Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

б) Масса каждого попугайчика, кроме Кеши, меньше 42 г.

Это утверждение не обязательно является верным. Средняя масса всех попугаев, кроме Кеши, действительно меньше 42 г. Сумма их масс равна $S_{ост} = 42n - 43$. Их средняя масса равна $M_{ср\_ост} = \frac{42n - 43}{n-1} = \frac{42(n-1) - 1}{n-1} = 42 - \frac{1}{n-1}$.

Однако то, что средняя масса группы меньше 42 г, не означает, что масса каждого члена группы меньше 42 г. Рассмотрим контрпример. Пусть всего попугайчиков три ($n=3$).

Их общая масса: $S_{общ} = 3 \times 42 = 126$ г.

Масса Кеши — 43 г. Значит, сумма масс двух других попугайчиков ($m_1$ и $m_2$) равна $126 - 43 = 83$ г.

Можно подобрать такие массы, которые в сумме дают 83 г, но при этом одна из них не будет меньше 42 г. Например, пусть масса одного попугайчика $m_1 = 42.5$ г (что больше 42 г), а другого $m_2 = 40.5$ г (что меньше 42 г). Условия задачи выполнены, но утверждение "масса каждого попугайчика, кроме Кеши, меньше 42 г" — ложно.

Ответ: Неверно.

в) В живом уголке есть попугайчик, масса которого меньше 42 г.

Это утверждение верно. Средняя масса составляет 42 г. Один из попугайчиков, Кеша, имеет массу 43 г, что больше среднего значения. Чтобы "уравновесить" его "избыточную" массу и получить среднее значение 42 г, в группе должен быть хотя бы один попугайчик с массой меньше 42 г.

Докажем от противного. Предположим, что все остальные попугайчики (кроме Кеши) имеют массу, равную или большую 42 г ($m_i \ge 42$ г). Тогда общая масса всех попугайчиков будет:

$S_{общ} = m_К + \sum_{i \neq К} m_i \ge 43 + (n-1) \times 42 = 43 + 42n - 42 = 42n + 1$

А средняя масса будет:

$M_{ср} = \frac{S_{общ}}{n} \ge \frac{42n + 1}{n} = 42 + \frac{1}{n}$

Это противоречит условию, что средняя масса равна 42 г. Следовательно, наше предположение неверно, и обязательно есть попугайчик с массой меньше 42 г.

Ответ: Верно.

г) В живом уголке есть попугайчик, масса которого равна 41 г.

Это утверждение не обязательно верно. Хотя мы и доказали, что есть попугайчик с массой меньше 42 г, его масса не обязана быть ровно 41 г.

Рассмотрим случай, когда в живом уголке всего два попугайчика ($n=2$). Их общая масса $2 \times 42 = 84$ г. Если масса Кеши 43 г, то масса второго попугайчика должна быть $84 - 43 = 41$ г. В этом частном случае утверждение верно.

Однако, если попугайчиков больше, это не гарантировано. Возьмем пример из пункта (б), где $n=3$. Сумма масс двух попугайчиков, кроме Кеши, равна 83 г. Их массы могут быть $m_1 = 41.5$ г и $m_2 = 41.5$ г. В этом случае ни у одного из них масса не равна 41 г. Так как можно привести контрпример, утверждение в общем случае неверно.

Ответ: Неверно.