Страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

138 Придумайте четыре разных числа, таких, чтобы их среднее арифметическое совпадало:

а) со вторым по величине числом;

б) с третьим по величине числом.

а) со вторым по величине числом;

Пусть у нас есть четыре разных числа. Расположим их в порядке возрастания: $a < b < c < d$. В этом ряду $d$ – наибольшее число, $c$ – второе по величине, $b$ – третье по величине, а $a$ – наименьшее.

Среднее арифметическое этих четырех чисел вычисляется по формуле: $M = \frac{a+b+c+d}{4}$

Согласно условию, среднее арифметическое должно совпадать со вторым по величине числом, то есть с $c$. $M = c$ $\frac{a+b+c+d}{4} = c$

Умножим обе части уравнения на 4: $a+b+c+d = 4c$

Вычтем $c$ из обеих частей, чтобы найти зависимость между числами: $a+b+d = 3c$

Теперь нам нужно подобрать четыре разных числа $a, b, c, d$, удовлетворяющих условиям $a < b < c < d$ и $a+b+d = 3c$. Сделать это можно, выбрав три числа и вычислив четвертое. Например, выберем произвольные числа $a, b$ и $c$ так, чтобы $a < b < c$, а затем найдем $d$.

Пусть $a = 1, b = 2, c = 3$. Подставим эти значения в уравнение: $1 + 2 + d = 3 \times 3$ $3 + d = 9$ $d = 9 - 3$ $d = 6$

Мы получили набор чисел: 1, 2, 3, 6. Проверим, подходят ли они под все условия. 1. Все числа разные? Да. 2. Соблюдается ли порядок $a < b < c < d$? Нет, у нас $a=1, b=2, c=3, d=6$. Если расположить их по возрастанию, то это 1, 2, 3, 6. В этом ряду второе по величине число - это 3. 3. Равно ли их среднее арифметическое второму по величине числу (то есть 3)? Проверим: $\frac{1+2+3+6}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Да, среднее арифметическое равно 3, что является вторым по величине числом в этом наборе. Условия выполнены.

Ответ: например, числа 1, 2, 3, 6.

б) с третьим по величине числом.

Снова возьмем четыре разных числа, расположенных в порядке возрастания: $a < b < c < d$. Третье по величине число в этом ряду – это $b$.

Среднее арифметическое, $M = \frac{a+b+c+d}{4}$, должно быть равно $b$. $\frac{a+b+c+d}{4} = b$

Умножим обе части уравнения на 4: $a+b+c+d = 4b$

Вычтем $b$ из обеих частей: $a+c+d = 3b$

Теперь нам нужно подобрать четыре разных числа $a, b, c, d$, удовлетворяющих условиям $a < b < c < d$ и $a+c+d = 3b$. Для этого можно задать три числа и найти четвертое. Например, выберем $b, c, d$ так, чтобы $b < c < d$, и вычислим $a$.

Пусть $b = 10$. Нам нужно, чтобы $10 < c < d$. Возьмем $c = 11$ и $d = 12$. Теперь найдем $a$ из уравнения $a+c+d = 3b$: $a + 11 + 12 = 3 \times 10$ $a + 23 = 30$ $a = 30 - 23$ $a = 7$

Мы получили набор чисел: 7, 10, 11, 12. Проверим, подходят ли они. 1. Числа разные? Да. 2. Соблюдается ли порядок $a < b < c < d$? Да, $7 < 10 < 11 < 12$. 3. Равно ли их среднее арифметическое третьему по величине числу (10)? Проверим: $\frac{7+10+11+12}{4} = \frac{40}{4} = 10$. Да, среднее арифметическое равно 10, что является третьим по величине числом в наборе. Условия выполнены.

Ответ: например, числа 7, 10, 11, 12.

139 a) Среднее арифметическое ряда, состоящего из 10 чисел, равно 4. Найдите сумму этих чисел.

б) В ряду чисел 2, 7, 10, $x$, 18, 19, 27 одно число неизвестно. Найдите его, зная, что среднее арифметическое ряда равно 14.

а) Среднее арифметическое ($M$) некоторого набора чисел определяется как отношение суммы этих чисел ($S$) к их количеству ($n$). Формула для среднего арифметического выглядит следующим образом:
$M = \frac{S}{n}$
Из условия задачи нам известно, что среднее арифметическое ряда равно 4 ($M = 4$), а количество чисел в этом ряду составляет 10 ($n = 10$). Нам необходимо найти сумму этих чисел ($S$).
Выразим сумму $S$ из формулы:
$S = M \times n$
Теперь подставим известные значения в полученное выражение:
$S = 4 \times 10 = 40$
Таким образом, сумма десяти чисел равна 40.

Ответ: 40

б) В данном ряду чисел: 2, 7, 10, $x$, 18, 19, 27. Всего в ряду 7 чисел, включая неизвестное $x$. Следовательно, количество чисел $n = 7$.
По условию, среднее арифметическое этого ряда равно 14 ($M = 14$).
Запишем формулу для среднего арифметического для данного ряда:
$M = \frac{2 + 7 + 10 + x + 18 + 19 + 27}{7}$
Подставим известное значение среднего арифметического $M=14$ в уравнение:
$14 = \frac{2 + 7 + 10 + x + 18 + 19 + 27}{7}$
Сначала найдем сумму известных чисел в числителе дроби:
$2 + 7 + 10 + 18 + 19 + 27 = 83$
Теперь наше уравнение принимает вид:
$14 = \frac{83 + x}{7}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 7:
$14 \times 7 = 83 + x$
$98 = 83 + x$
Теперь выразим $x$, вычитая 83 из обеих частей уравнения:
$x = 98 - 83$
$x = 15$
Итак, неизвестное число в ряду равно 15.

Ответ: 15

140 а) Среднее арифметическое ряда, состоящего из 10 чисел, равно 5. К этому ряду приписали число 16. Чему теперь равно среднее арифметическое?

б) Среднее арифметическое ряда, состоящего из 8 чисел, равно 4. Из этого ряда вычеркнули число 11. Чему теперь равно среднее арифметическое?

а) Среднее арифметическое — это отношение суммы всех чисел ряда к их количеству. Формула: $Среднее = \frac{Сумма}{Количество}$.
1. Найдем первоначальную сумму 10 чисел.
Из условия известно, что среднее арифметическое 10 чисел равно 5.
$ \frac{Сумма_{10}}{10} = 5 $
Следовательно, сумма этих 10 чисел равна:
$ Сумма_{10} = 5 \times 10 = 50 $
2. Найдем новую сумму и новое количество чисел.
К ряду приписали число 16. Теперь в ряду стало $10 + 1 = 11$ чисел.
Новая сумма ряда равна:
$ Сумма_{новая} = 50 + 16 = 66 $
3. Вычислим новое среднее арифметическое.
$ Среднее_{новое} = \frac{Сумма_{новая}}{Количество_{новое}} = \frac{66}{11} = 6 $
Ответ: 6

б) 1. Найдем первоначальную сумму 8 чисел.
Из условия известно, что среднее арифметическое 8 чисел равно 4.
$ \frac{Сумма_{8}}{8} = 4 $
Следовательно, сумма этих 8 чисел равна:
$ Сумма_{8} = 4 \times 8 = 32 $
2. Найдем новую сумму и новое количество чисел.
Из ряда вычеркнули число 11. Теперь в ряду стало $8 - 1 = 7$ чисел.
Новая сумма ряда равна:
$ Сумма_{новая} = 32 - 11 = 21 $
3. Вычислим новое среднее арифметическое.
$ Среднее_{новое} = \frac{Сумма_{новая}}{Количество_{новое}} = \frac{21}{7} = 3 $
Ответ: 3

141 Среднее арифметическое некоторых восьми чисел равно 15, а среднее арифметическое других двенадцати чисел равно 14. Найдите среднее арифметическое всех этих чисел.

Для того чтобы найти среднее арифметическое всех чисел, необходимо сначала вычислить сумму чисел в каждой группе, затем сложить эти суммы, чтобы получить общую сумму всех чисел, и разделить ее на общее количество чисел.

1. Найдем сумму первой группы, состоящей из восьми чисел. Среднее арифметическое ($M_1$) равно 15, а количество чисел ($n_1$) равно 8. Сумма ($S_1$) вычисляется по формуле $S = M \times n$.

$S_1 = 15 \times 8 = 120$

Таким образом, сумма первых восьми чисел равна 120.

2. Найдем сумму второй группы, состоящей из двенадцати чисел. Среднее арифметическое ($M_2$) равно 14, а количество чисел ($n_2$) равно 12.

$S_2 = 14 \times 12 = 168$

Таким образом, сумма других двенадцати чисел равна 168.

3. Теперь найдем общую сумму всех чисел ($S_{общ}$) и их общее количество ($n_{общ}$).

Общая сумма: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 120 + 168 = 288$.

Общее количество чисел: $n_{общ} = n_1 + n_2 = 8 + 12 = 20$.

4. Наконец, вычислим среднее арифметическое всех этих чисел ($M_{общ}$), разделив общую сумму на общее количество.

$M_{общ} = \frac{S_{общ}}{n_{общ}} = \frac{288}{20} = 14,4$

Ответ: 14,4

1. Сформулируйте перекрёстное правило сравнения дробей. Проиллюстрируйте его на примере дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$. Как ещё можно сравнить эти дроби?

Сформулируйте перекрестное правило сравнения дробей.

Перекрестное правило сравнения дробей (или правило «крест-накрест») для двух дробей с положительными знаменателями $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ заключается в сравнении произведений числителя первой дроби на знаменатель второй ($a \cdot d$) и знаменателя первой дроби на числитель второй ($b \cdot c$).

• Если произведение $a \cdot d$ больше произведения $b \cdot c$, то и первая дробь больше второй: $a \cdot d > b \cdot c \Rightarrow \frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
• Если произведение $a \cdot d$ меньше произведения $b \cdot c$, то и первая дробь меньше второй: $a \cdot d < b \cdot c \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
• Если произведения равны, то и дроби равны: $a \cdot d = b \cdot c \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Ответ: Для сравнения дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ (где $b>0, d>0$) нужно сравнить произведения $a \cdot d$ и $b \cdot c$. Знак отношения между дробями будет таким же, как и знак отношения между этими произведениями.

Проиллюстрируйте его на примере дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$ по перекрестному правилу, вычислим два произведения:

1. Числитель первой дроби умножаем на знаменатель второй: $20 \cdot 22 = 440$.

2. Знаменатель первой дроби умножаем на числитель второй: $33 \cdot 9 = 297$.

Теперь сравним полученные результаты: $440 > 297$.

Поскольку первое произведение больше второго, то и первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

Как ещё можно сравнить эти дроби?

Эти дроби можно сравнить и другими способами, например, приведением к общему знаменателю или преобразованием в десятичные дроби.

1. Приведение к общему знаменателю.

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 33 и 22.

Разложим знаменатели на простые множители: $33 = 3 \cdot 11$; $22 = 2 \cdot 11$.

НОК(33, 22) = $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$.

Приведем дроби к знаменателю 66:

$\frac{20}{33} = \frac{20 \cdot 2}{33 \cdot 2} = \frac{40}{66}$

$\frac{9}{22} = \frac{9 \cdot 3}{22 \cdot 3} = \frac{27}{66}$

Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{40}{66}$ и $\frac{27}{66}$. Так как $40 > 27$, то $\frac{40}{66} > \frac{27}{66}$. Следовательно, $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

2. Преобразование в десятичные дроби.

Преобразуем каждую дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель.

$\frac{20}{33} = 20 \div 33 = 0.606060... = 0.(60)$

$\frac{9}{22} = 9 \div 22 = 0.409090... = 0.4(09)$

Сравниваем полученные десятичные дроби: $0.6060... > 0.4090...$. Следовательно, $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

Ответ: Дроби можно сравнить, приведя их к общему знаменателю 66 (получим $\frac{40}{66}$ и $\frac{27}{66}$) или преобразовав в десятичные дроби ($0.(60)$ и $0.4(09)$). Оба способа показывают, что $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

2 Дано выражение $\frac{a-c}{ac}$. Запишите числовое выражение, которое получится в результате подстановки $a = -7, c = -10$. Прокомментируйте свои действия.

Для решения задачи необходимо подставить числовые значения переменных $a = -7$ и $c = -10$ в данное алгебраическое выражение $\frac{a-c}{ac}$ и выполнить вычисления.

1. Подстановка значений
Заменяем в выражении переменную $a$ на число $-7$ и переменную $c$ на число $-10$. Чтобы избежать ошибок в вычислениях, отрицательные числа при подстановке запишем в скобках.
В результате подстановки получаем следующее числовое выражение:
$\frac{(-7) - (-10)}{(-7) \cdot (-10)}$

2. Вычисление значения выражения
Теперь необходимо вычислить значение полученного числового выражения. Действия выполняются по порядку: сначала в числителе и знаменателе, а затем деление.

а) Вычисляем значение числителя:
$(-7) - (-10)$
Вычитание отрицательного числа равносильно сложению с противоположным ему положительным числом:
$-7 + 10 = 3$

б) Вычисляем значение знаменателя:
$(-7) \cdot (-10)$
Произведение двух отрицательных чисел — число положительное:
$(-7) \cdot (-10) = 70$

в) Записываем итоговую дробь:
Подставляем полученные значения числителя и знаменателя:
$\frac{3}{70}$

Дробь $\frac{3}{70}$ является несократимой, так как у чисел 3 и 70 нет общих делителей, кроме единицы.

Ответ: Числовое выражение, которое получается в результате подстановки: $\frac{(-7) - (-10)}{(-7) \cdot (-10)}$. Значение этого выражения равно $\frac{3}{70}$.

3 Что означает выражение $a^n$, где $n$ – натуральное число? (Рассмотрите случаи $n \neq 1$ и $n = 1$.) Как называют выражение $a^n$? число $a$? число $n$?

Что означает выражение $a^n$, где $n$ — натуральное число? (Рассмотрите случаи $n \neq 1$ и $n = 1$)

Выражение $a^n$ (читается как «а в степени эн») — это сокращённая запись произведения нескольких одинаковых множителей. Смысл этого выражения зависит от значения натурального числа $n$.

Случай 1: $n \neq 1$. Поскольку $n$ — натуральное число, это условие означает, что $n$ — это любое целое число, начиная с 2 ($n \ge 2$). В этом случае степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$

Например, $a^2 = a \cdot a$; $a^5 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$.

Случай 2: $n = 1$. По определению, степенью числа $a$ с показателем 1 является само число $a$.

$a^1 = a$

Это соглашение (определение) вводится для того, чтобы свойства степеней (например, $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$) оставались верными для всех натуральных показателей.

Ответ: Выражение $a^n$ означает произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, если $n > 1$. Если $n=1$, то $a^1=a$.

Как называют выражение $a^n$?

Выражение $a^n$ целиком, а также результат этой операции, называется степенью.

Ответ: Выражение $a^n$ называют степенью.

Как называют число $a$?

Число $a$, которое возводится в степень, называется основанием степени. Основание показывает, какой именно множитель повторяется в произведении.

Ответ: Число $a$ называют основанием степени.

Как называют число $n$?

Натуральное число $n$ называется показателем степени. Показатель показывает, сколько раз основание степени $a$ нужно умножить само на себя, то есть количество одинаковых множителей в произведении.

Ответ: Число $n$ называют показателем степени.

4 Какой знак может иметь степень с отрицательным основанием? Приведите примеры.

Знак степени с отрицательным основанием зависит от чётности её показателя (при условии, что показатель — целое число). Степень может быть как положительной, так и отрицательной.

Случай 1: Положительный знак

Если показатель степени — чётное число (например, 2, 4, 6, ...), то результат возведения отрицательного основания в такую степень всегда будет положительным. Это происходит потому, что при перемножении чётного количества отрицательных чисел знаки "минус" попарно компенсируют друг друга (минус на минус дает плюс).

Примеры:

• $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$

• $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 = 81$

• $(-1)^{100} = 1$

Случай 2: Отрицательный знак

Если показатель степени — нечётное число (например, 1, 3, 5, ...), то результат возведения отрицательного основания в такую степень всегда будет отрицательным. В этом случае при перемножении сомножителей один знак "минус" остаётся без пары, и он определяет знак всего выражения.

Примеры:

• $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

• $(-5)^1 = -5$

• $(-1)^{15} = -1$

Ответ: Степень с отрицательным основанием может иметь как положительный знак (если показатель степени — чётное число), так и отрицательный знак (если показатель степени — нечётное число).

5 Что означает запись $10^{-5}$? Запишите с отрицательным показателем степени выражение $\frac{7}{10^{11}}$.

Что означает запись $10^{-5}$?

Запись $10^{-5}$ представляет собой степень числа 10 с отрицательным целым показателем. Согласно определению степени с отрицательным показателем, для любого числа $a$, не равного нулю, и любого целого положительного числа $n$ выполняется следующее равенство:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Это означает, что число в отрицательной степени равно единице, деленной на это же число в положительной степени.

Применим это правило к выражению $10^{-5}$:

$10^{-5} = \frac{1}{10^5}$

Рассчитаем значение знаменателя:

$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\;000$

Таким образом, запись $10^{-5}$ означает число, равное $\frac{1}{100\;000}$, что в виде десятичной дроби записывается как $0,00001$.

Ответ: Запись $10^{-5}$ означает число, обратное $10^5$, то есть дробь $\frac{1}{10^5}$ или $0,00001$.

Запишите с отрицательным показателем степени выражение $\frac{7}{10^{11}}$.

Для преобразования данного выражения необходимо использовать свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

Исходное выражение — это дробь $\frac{7}{10^{11}}$. Мы можем представить ее в виде произведения целого числа на дробь:

$\frac{7}{10^{11}} = 7 \cdot \frac{1}{10^{11}}$

Теперь, используя указанное выше свойство, преобразуем дробную часть $\frac{1}{10^{11}}$ в степень с отрицательным показателем:

$\frac{1}{10^{11}} = 10^{-11}$

Подставим полученное выражение обратно в произведение:

$7 \cdot \frac{1}{10^{11}} = 7 \cdot 10^{-11}$

Таким образом, выражение $\frac{7}{10^{11}}$ можно записать как $7 \cdot 10^{-11}$ с отрицательным показателем степени.

Ответ: $7 \cdot 10^{-11}$.

6 Какие статистические характеристики вы знаете? Что называется средним арифметическим нескольких чисел? Приведите пример ситуации, в которой вычисляется среднее арифметическое.

Какие статистические характеристики вы знаете?

Статистические характеристики — это числовые показатели, которые используются для обобщения и анализа набора данных (статистической выборки). Они позволяют в сжатой форме описать важные свойства распределения данных.

К основным статистическим характеристикам относятся:

• Среднее арифметическое — сумма всех значений в наборе данных, деленная на их количество. Является самой распространенной мерой центральной тенденции.

• Медиана — значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию или убыванию набора данных. Если в наборе четное количество чисел, медиана равна среднему арифметическому двух центральных чисел. Медиана устойчива к выбросам (сильно отличающимся значениям).

• Мода — значение в наборе данных, которое встречается чаще всего. Выборка может иметь одну моду, несколько мод (быть полимодальной) или не иметь моды вовсе.

• Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных. Это простейшая мера разброса данных.

• Дисперсия и стандартное отклонение — меры, показывающие, насколько сильно значения в наборе данных отклоняются от их среднего арифметического. Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии.

Ответ: К основным статистическим характеристикам относятся среднее арифметическое, медиана, мода, размах, дисперсия и стандартное отклонение.

Что называется средним арифметическим нескольких чисел?

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное частному от деления суммы этих чисел на их количество. Это одна из ключевых мер центральной тенденции, которая показывает "типичное" или "центральное" значение для набора чисел.

Если имеется набор из $n$ чисел: $a_1, a_2, \dots, a_n$, то их среднее арифметическое $M$ вычисляется по формуле:

$M = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

Ответ: Средним арифметическим нескольких чисел называется отношение суммы этих чисел к их количеству.

Приведите пример ситуации, в которой вычисляется среднее арифметическое.

Среднее арифметическое широко используется в самых разных сферах. Например, для определения среднего балла ученика, средней температуры за месяц, средней скорости автомобиля на маршруте или средней зарплаты по профессии.

Рассмотрим конкретную ситуацию: вычисление средней оценки ученика за четверть по предмету.

Ситуация: Ученик по истории в течение четверти получил следующие оценки: 5, 4, 4, 5, 3, 5.

Решение: Чтобы найти его средний балл, необходимо вычислить среднее арифметическое этих оценок.

1. Находим сумму всех оценок: $5 + 4 + 4 + 5 + 3 + 5 = 26$.

2. Считаем количество оценок: всего их 6.

3. Делим сумму оценок на их количество: $\frac{26}{6} \approx 4.33$.

В данной ситуации средний балл ученика по истории составляет примерно 4.33.

Ответ: Примером ситуации является вычисление средней оценки ученика за учебный период на основе всех полученных им отметок.