Страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите формулу зависимости длины пройденного пути от скорости и времени движения. Вычислите по этой формуле расстояние, которое автомобиль, движущийся по шоссе со скоростью 75 км/ч, проехал за 30 с. $S = v \cdot t$

Запишите формулу зависимости длины пройденного пути от скорости и времени движения.
Формула, которая описывает зависимость пройденного пути от скорости и времени движения, является одной из основных в кинематике. Она гласит, что расстояние равно произведению скорости на время. Математически это выражается так:
$s = v \cdot t$
где:
$s$ – это пройденный путь или расстояние,
$v$ – это скорость движения,
$t$ – это время, затраченное на движение.
Ответ: $s = v \cdot t$.

Вычислите по этой формуле расстояние, которое автомобиль, движущийся по шоссе со скоростью 75 км/ч, проехал за 30 с.
Для решения этой задачи нужно использовать формулу $s = v \cdot t$. Однако перед вычислением необходимо убедиться, что все величины выражены в согласованных единицах измерения. Скорость дана в километрах в час (км/ч), а время — в секундах (с). Приведем время к часам, чтобы единицы измерения соответствовали скорости.
1. Перевод времени из секунд в часы.
В одной минуте 60 секунд, а в одном часе 60 минут. Следовательно, в одном часе содержится $60 \cdot 60 = 3600$ секунд.
Чтобы перевести 30 секунд в часы, нужно разделить 30 на 3600:
$t = 30 \text{ с} = \frac{30}{3600} \text{ ч} = \frac{1}{120} \text{ ч}$
2. Вычисление расстояния.
Теперь, когда у нас есть скорость $v = 75$ км/ч и время $t = \frac{1}{120}$ ч, мы можем вычислить расстояние:
$s = v \cdot t = 75 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot \frac{1}{120} \text{ ч} = \frac{75}{120} \text{ км}$
3. Упрощение дроби.
Сократим дробь $\frac{75}{120}$. Наибольший общий делитель для 75 и 120 это 15.
$s = \frac{75 \div 15}{120 \div 15} \text{ км} = \frac{5}{8} \text{ км}$
4. Представление результата.
Расстояние можно оставить в виде дроби, перевести в десятичную дробь или в метры для наглядности.
В виде десятичной дроби: $s = \frac{5}{8} \text{ км} = 0.625 \text{ км}$.
В метрах (зная, что 1 км = 1000 м): $s = 0.625 \cdot 1000 \text{ м} = 625 \text{ м}$.
Ответ: 625 м (или 0.625 км).

142 а) Тетрадь стоит $x$ рублей, а альбом стоит $y$ рублей. Составьте формулу для вычисления стоимости покупки $C$, если куплено $m$ тетрадей и $n$ альбомов. Какие значения могут принимать переменные $m$ и $n$?

б) Вода в бассейн наливается через две трубы. Через первую поступает $a$ литров воды в минуту, а через вторую — $b$ литров воды в минуту. Составьте формулу для определения количества воды в бассейне $V$ через $t$ минут после открытия кранов. Какие значения могут принимать переменные $a$ и $b$?

а)

Для того чтобы найти общую стоимость покупки C, необходимо сложить стоимость всех купленных тетрадей и стоимость всех купленных альбомов.

Стоимость m тетрадей вычисляется как произведение количества тетрадей m на цену одной тетради x. Стоимость всех тетрадей равна $m \cdot x$ рублей.

Стоимость n альбомов вычисляется как произведение количества альбомов n на цену одного альбома y. Стоимость всех альбомов равна $n \cdot y$ рублей.

Общая стоимость покупки C будет равна сумме этих двух стоимостей. Таким образом, формула имеет вид:

$C = m \cdot x + n \cdot y$

Теперь рассмотрим, какие значения могут принимать переменные m и n. Поскольку m и n представляют собой количество предметов (тетрадей и альбомов), они не могут быть отрицательными или дробными числами. Можно купить 0 тетрадей, 1 тетрадь, 2 тетради и так далее. То же самое относится и к альбомам. Следовательно, переменные m и n могут принимать любые целые неотрицательные значения.

Ответ: Формула для вычисления стоимости покупки: $C = mx + ny$. Переменные $m$ и $n$ могут принимать любые целые неотрицательные значения ($m \in \{0, 1, 2, ...\}$, $n \in \{0, 1, 2, ...\}$).

б)

Чтобы определить общее количество воды V в бассейне через t минут, нужно сначала найти общую скорость наполнения бассейна.

Через первую трубу поступает a литров воды в минуту, а через вторую — b литров в минуту. Так как обе трубы работают одновременно, их скорости складываются. Общая скорость наполнения бассейна составляет $(a + b)$ литров в минуту.

Чтобы найти общий объем воды V, который нальется за время t, нужно общую скорость наполнения умножить на время. Таким образом, формула имеет вид:

$V = (a + b) \cdot t$

Теперь рассмотрим, какие значения могут принимать переменные a и b. Переменные a и b — это скорости поступления воды, то есть объём воды, поступающий в минуту. Эта величина не может быть отрицательной, так как вода наливается в бассейн. Она может быть равна нулю (если труба перекрыта) или любому положительному числу, в том числе и нецелому (например, 10.5 литров в минуту). Следовательно, переменные a и b могут принимать любые неотрицательные значения.

Ответ: Формула для определения количества воды в бассейне: $V = (a + b)t$. Переменные $a$ и $b$ могут принимать любые неотрицательные значения ($a \ge 0$, $b \ge 0$).

143 а) В России каждый работающий человек платит со своего заработка подоходный налог, составляющий 13%. Введите переменные и запишите формулу зависимости размера подоходного налога от величины заработка.
$N = 0.13 \cdot Z$

б) Сотрудники некоторого предприятия отчисляют в пенсионный фонд 4% от заработной платы. Введите переменные и запишите формулу зависимости размера пенсионных отчислений от величины заработной платы.
$P = 0.04 \cdot ZP$

а) Для того чтобы записать формулу зависимости, необходимо сначала ввести переменные. Пусть $S$ — это величина заработка (дохода), а $T$ — это размер подоходного налога. По условию, подоходный налог составляет 13% от величины заработка. Чтобы найти процент от числа, нужно представить процент в виде десятичной дроби и умножить на это число. Переведем 13% в десятичную дробь: $13\% = \frac{13}{100} = 0,13$. Теперь мы можем записать формулу для расчета налога $T$ от заработка $S$.

Формула зависимости размера подоходного налога от величины заработка: $T = 0,13 \cdot S$.

Ответ: $T = 0,13 \cdot S$, где $S$ — величина заработка, $T$ — размер подоходного налога.

б) Введем переменные для описания данной ситуации. Пусть $W$ — это величина заработной платы, а $P$ — это размер пенсионных отчислений. Согласно условию, сотрудники отчисляют в пенсионный фонд 4% от заработной платы. Аналогично предыдущему пункту, переведем проценты в десятичную дробь: $4\% = \frac{4}{100} = 0,04$. Чтобы найти размер пенсионных отчислений $P$, нужно умножить величину заработной платы $W$ на 0,04.

Формула зависимости размера пенсионных отчислений от величины заработной платы: $P = 0,04 \cdot W$.

Ответ: $P = 0,04 \cdot W$, где $W$ — величина заработной платы, $P$ — размер пенсионных отчислений.

144 а) Объем тетраэдра — треугольной пирамиды, все рёбра которой равны (рис. 2.1), можно вычислить по приближённой формуле $V \approx \frac{7a^3}{60}$, где $a$ — длина ребра. Найдите объём тетраэдра, если $a=6$ см; $a=12$ см.

б) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.2) вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$, где $a, b$ и $c$ — измерения параллелепипеда. Найдите площадь поверхности, если $a=5$ см, $b=7$ см, $c=9$ см.

в) Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями (рис. 2.3) вычисляется по формуле $V = \frac{h}{3}(a^2+b^2+ab)$, где $h$ — высота усечённой пирамиды. Найдите объём, если $h=15$ см, $a=20$ см, $b=10$ см.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Рис. 2.3

а) Объём тетраэдра (треугольной пирамиды, все рёбра которой равны) вычисляется по приближённой формуле $V \approx \frac{7a^3}{60}$, где $a$ – длина ребра.
Найдём объём для каждого из заданных значений $a$.

1. Если $a = 6$ см:
Подставляем значение в формулу:
$V \approx \frac{7 \cdot 6^3}{60} = \frac{7 \cdot 216}{60} = \frac{1512}{60} = 25,2$ см³.

2. Если $a = 12$ см:
Подставляем значение в формулу:
$V \approx \frac{7 \cdot 12^3}{60} = \frac{7 \cdot 1728}{60} = \frac{12096}{60} = 201,6$ см³.

Ответ: при $a = 6$ см объём равен 25,2 см³; при $a = 12$ см объём равен 201,6 см³.

б) Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$, где $a, b$ и $c$ – измерения параллелепипеда.
Даны значения: $a = 5$ см, $b = 7$ см, $c = 9$ см.
Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:
$S = 2(5 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 7 \cdot 9)$
$S = 2(35 + 45 + 63)$
$S = 2(143)$
$S = 286$ см².

Ответ: 286 см².

в) Объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями вычисляется по формуле $V = \frac{h}{3}(a^2 + b^2 + ab)$, где $h$ – высота пирамиды, $a$ и $b$ – стороны её оснований.
Даны значения: $h = 15$ см, $a = 20$ см, $b = 10$ см.
Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления:
$V = \frac{15}{3}(20^2 + 10^2 + 20 \cdot 10)$
$V = 5(400 + 100 + 200)$
$V = 5(700)$
$V = 3500$ см³.

Ответ: 3500 см³.