Страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

159 Мотоциклист за некоторое время проехал расстояние, равное 30 км.

а) Какое расстояние проедет за это же время автомобиль, если его скорость в 2 раза больше? в 3 раза больше?

б) Какое расстояние проедет за это же время велосипедист, если его скорость в 2 раза меньше? в 3 раза меньше?

Для решения этой задачи воспользуемся основной формулой движения: расстояние равно произведению скорости на время ($S = v \cdot t$). В условии задачи сказано, что время движения ($t$) для всех транспортных средств одинаковое. Это означает, что пройденное расстояние ($S$) находится в прямой зависимости от скорости ($v$).

а) Какое расстояние проедет за это же время автомобиль, если его скорость в 2 раза больше? в 3 раза больше?

Поскольку время движения постоянно, если скорость автомобиля больше скорости мотоциклиста в несколько раз, то и расстояние, которое он проедет, будет больше во столько же раз.

1. Если скорость автомобиля в 2 раза больше, то и расстояние будет в 2 раза больше:
$30 \text{ км} \cdot 2 = 60 \text{ км}$.

2. Если скорость автомобиля в 3 раза больше, то и расстояние будет в 3 раза больше:
$30 \text{ км} \cdot 3 = 90 \text{ км}$.

Ответ: автомобиль проедет 60 км, если его скорость в 2 раза больше, и 90 км, если его скорость в 3 раза больше.

б) Какое расстояние проедет за это же время велосипедист, если его скорость в 2 раза меньше? в 3 раза меньше?

Если скорость велосипедиста меньше скорости мотоциклиста в несколько раз, то и расстояние, которое он проедет за то же самое время, будет меньше во столько же раз.

1. Если скорость велосипедиста в 2 раза меньше, то и расстояние будет в 2 раза меньше:
$30 \text{ км} : 2 = 15 \text{ км}$.

2. Если скорость велосипедиста в 3 раза меньше, то и расстояние будет в 3 раза меньше:
$30 \text{ км} : 3 = 10 \text{ км}$.

Ответ: велосипедист проедет 15 км, если его скорость в 2 раза меньше, и 10 км, если его скорость в 3 раза меньше.

160 С помощью электромотора за 7 с можно накачать в бак 20 л воды.

а) За какое время можно наполнить бак, вмещающий 200 л воды? 120 л воды?

б) Сколько воды можно накачать в бак за 14 с? за 35 с?

Для решения задачи сначала найдем производительность (скорость работы) электромотора. Это постоянная величина, показывающая, какой объем воды насос перекачивает за единицу времени (например, за 1 секунду). Зная производительность, мы сможем ответить на все вопросы задачи.

Из условия известно, что за 7 секунд ($t$) насос накачивает 20 литров ($V$) воды. Найдем производительность $v$:

$v = \frac{V}{t} = \frac{20 \text{ л}}{7 \text{ с}} = \frac{20}{7}$ л/с.

а) За какое время можно наполнить бак, вмещающий 200 л воды? 120 л воды?

Чтобы найти время $t$, необходимое для накачки заданного объема воды $V$, нужно разделить этот объем на производительность насоса $v$. Формула для расчета: $t = \frac{V}{v}$.

• Время для наполнения бака объемом 200 л:

  $t_{200} = \frac{200 \text{ л}}{\frac{20}{7} \text{ л/с}} = 200 \cdot \frac{7}{20} \text{ с} = 10 \cdot 7 \text{ с} = 70 \text{ с}$.

• Время для наполнения бака объемом 120 л:

  $t_{120} = \frac{120 \text{ л}}{\frac{20}{7} \text{ л/с}} = 120 \cdot \frac{7}{20} \text{ с} = 6 \cdot 7 \text{ с} = 42 \text{ с}$.

Ответ: чтобы наполнить бак вместимостью 200 л, потребуется 70 секунд, а для бака на 120 л — 42 секунды.

б) Сколько воды можно накачать в бак за 14 с? за 35 с?

Чтобы найти объем воды $V$, который можно накачать за определенное время $t$, нужно умножить производительность насоса $v$ на это время. Формула для расчета: $V = v \cdot t$.

• Объем воды, накачанный за 14 с:

  $V_{14} = \frac{20}{7} \text{ л/с} \cdot 14 \text{ с} = 20 \cdot \frac{14}{7} \text{ л} = 20 \cdot 2 \text{ л} = 40 \text{ л}$.

• Объем воды, накачанный за 35 с:

  $V_{35} = \frac{20}{7} \text{ л/с} \cdot 35 \text{ с} = 20 \cdot \frac{35}{7} \text{ л} = 20 \cdot 5 \text{ л} = 100 \text{ л}$.

Ответ: за 14 секунд можно накачать 40 л воды, а за 35 секунд — 100 л воды.

161 Среди зависимостей, заданных формулой, определите те, которые являются прямой пропорциональностью, и объясните смысл коэффициента пропорциональности:

а) $C = 5t$, где C — стоимость междугородного телефонного разговора (в р.), t — время разговора (в мин);

б) $N = 30n + 20$, где N — стоимость проката велосипеда, n — число дней, на которые был взят велосипед;

в) $C = \pi d$, где C — длина окружности, d — диаметр окружности;

г) $S = \pi r^2$, где S — площадь круга, r — радиус круга.

Прямая пропорциональность — это зависимость, при которой одна величина является произведением другой на постоянное число. Она выражается формулой $y = kx$, где $k$ — постоянный, не равный нулю, коэффициент пропорциональности. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат.

а) C = 5t, где C — стоимость междугородного телефонного разговора (в р.), t — время разговора (в мин);
Данная зависимость является прямой пропорциональностью, так как она полностью соответствует виду $y = kx$. В этом случае $y=C$, $x=t$, а коэффициент пропорциональности $k=5$. Смысл коэффициента пропорциональности заключается в том, что он показывает стоимость одной единицы независимой переменной. Здесь $k=5$ означает, что стоимость одной минуты разговора составляет 5 рублей.
Ответ: Является прямой пропорциональностью. Коэффициент $k=5$ — это стоимость одной минуты разговора (тариф).

б) N = 30n + 20, где N — стоимость проката велосипеда, n — число дней, на которые был взят велосипед;
Эта зависимость не является прямой пропорциональностью, так как она имеет вид $y = kx + b$, где $b = 20 \neq 0$. Из-за наличия постоянного слагаемого 20 отношение $N/n$ не является постоянным, а при $n=0$ стоимость $N=20$, а не 0, что является обязательным условием для прямой пропорциональности.
Ответ: Не является прямой пропорциональностью.

в) C = πd, где C — длина окружности, d — диаметр окружности;
Данная зависимость является прямой пропорциональностью. Она соответствует формуле $y = kx$, где $y=C$, $x=d$, а коэффициент пропорциональности $k=\pi$. Число $\pi$ (пи) является математической константой. Смысл коэффициента пропорциональности: число $\pi$ — это постоянное отношение длины любой окружности к её диаметру.
Ответ: Является прямой пропорциональностью. Коэффициент $k=\pi$ — это число, показывающее, во сколько раз длина окружности больше её диаметра.

г) S = πr², где S — площадь круга, r — радиус круга.
Эта зависимость не является прямой пропорциональностью, так как площадь $S$ зависит от радиуса $r$ в квадрате ($r^2$), а не линейно. Это квадратичная зависимость. Отношение $S/r = \pi r$ не является постоянным, а зависит от величины радиуса $r$.
Ответ: Не является прямой пропорциональностью.

162 Велосипедист проехал расстояние от станции до турбазы за 30 мин.

а) За какое время пройдёт это же расстояние турист, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) За какое время проедет это же расстояние мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием обратной пропорциональности. Расстояние от станции до турбазы постоянно. Время, затраченное на путь, и скорость движения являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что если скорость увеличивается в несколько раз, то время, необходимое для преодоления того же расстояния, уменьшается во столько же раз, и наоборот.

Время движения велосипедиста составляет 30 минут.

а) За какое время пройдёт это же расстояние турист, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

Поскольку скорость туриста в 3 раза меньше скорости велосипедиста, время, которое ему потребуется для прохождения того же расстояния, будет в 3 раза больше.

Время туриста = (Время велосипедиста) $\cdot$ 3

$30 \text{ мин} \cdot 3 = 90 \text{ мин}$

Так как в одном часе 60 минут, 90 минут можно представить как 1 час 30 минут.

Ответ: 90 минут (или 1 час 30 минут).

б) За какое время проедет это же расстояние мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Поскольку скорость мотоциклиста в 5 раз больше скорости велосипедиста, время, которое ему потребуется для прохождения того же расстояния, будет в 5 раз меньше.

Время мотоциклиста = (Время велосипедиста) / 5

$\frac{30 \text{ мин}}{5} = 6 \text{ мин}$

Ответ: 6 минут.

163 Шесть насосов выкачивают всю воду из бассейна за 10 ч.

а) Сколько надо таких же насосов, чтобы выкачать воду из этого бассейна за 5 ч? за 15 ч?

б) За какое время выкачают всю воду из этого бассейна 3 таких же насоса? 9 таких же насосов?

Данная задача описывает обратно пропорциональную зависимость: чем больше насосов используется, тем меньше времени требуется для выполнения работы, и наоборот.

Сначала определим общий объем работы. Если 6 насосов выполняют работу за 10 часов, то общий объем работы можно выразить в «насосо-часах». $W = 6 \text{ насосов} \times 10 \text{ часов} = 60 \text{ насосо-часов}$

Этот объем работы (60 насосо-часов) является константой, так как количество воды в бассейне не меняется. Мы будем использовать это значение для решения всех пунктов задачи.

а) Сколько надо таких же насосов, чтобы выкачать воду из этого бассейна за 5 ч? за 15 ч?

Для нахождения требуемого количества насосов разделим общий объем работы на заданное время.

1. Чтобы выкачать воду за 5 часов:
Количество насосов = $\frac{60 \text{ насосо-часов}}{5 \text{ часов}} = 12 \text{ насосов}$.

2. Чтобы выкачать воду за 15 часов:
Количество насосов = $\frac{60 \text{ насосо-часов}}{15 \text{ часов}} = 4 \text{ насоса}$.

Ответ: чтобы выкачать воду за 5 часов, потребуется 12 насосов, а за 15 часов — 4 насоса.

б) За какое время выкачают всю воду из этого бассейна 3 таких же насоса? 9 таких же насосов?

Для нахождения требуемого времени разделим общий объем работы на заданное количество насосов.

1. Для 3 насосов:
Время = $\frac{60 \text{ насосо-часов}}{3 \text{ насоса}} = 20 \text{ часов}$.

2. Для 9 насосов:
Время = $\frac{60 \text{ насосо-часов}}{9 \text{ насосов}} = \frac{20}{3} \text{ часа} = 6 \frac{2}{3}$ часа.
Переведем дробную часть часа в минуты: $\frac{2}{3} \text{ часа} = \frac{2}{3} \times 60 \text{ минут} = 40 \text{ минут}$. Таким образом, полное время составит 6 часов 40 минут.

Ответ: 3 насоса выкачают воду за 20 часов, а 9 насосов — за 6 часов 40 минут.