Страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте определение пропорции.

Пропорция — это равенство двух отношений. Если даны четыре величины (или числа) $a, b, c, d$, и отношение первой величины ко второй равно отношению третьей к четвертой, то такое равенство называют пропорцией. Важным условием является то, что члены отношений, стоящие в знаменателе, не должны быть равны нулю, то есть $b \ne 0$ и $d \ne 0$.

Записать пропорцию можно двумя основными способами:

• С помощью знака деления: $a : b = c : d$
• В виде равенства дробей: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Читается данное выражение так: «$a$ относится к $b$ так же, как $c$ относится к $d$».

Числа, образующие пропорцию, имеют специальные названия. Члены $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а члены $b$ и $c$ — средними членами.

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции, записанной в любом из вышеуказанных видов, это свойство выражается формулой:$a \cdot d = b \cdot c$Это свойство также называют правилом креста или перекрестным умножением (для дробей). Оно является ключевым для решения уравнений и задач, в которых используется пропорциональная зависимость, например, для нахождения неизвестного члена пропорции.

Ответ: Пропорция — это верное равенство двух отношений вида $a:b = c:d$ или $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, где $a, b, c, d$ — члены пропорции, при этом $b \ne 0$ и $d \ne 0$.

Запишите каждое утверждение в виде пропорции, назовите крайние члены и средние члены пропорции:

а) 18 так относится к 6, как 15 относится к 5;

$18:6 = 15:5$

б) отношение 100 к 30 равно отношению 40 к 12;

$100:30 = 40:12$

в) 70 во столько раз больше 50, во сколько раз 14 больше 10;

$70:50 = 14:10$

г) 5 составляет такую же часть от 15, какую 6 составляет от 18.

$5:15 = 6:18$

а) Утверждение "18 так относится к 6, как 15 относится к 5" означает равенство двух отношений: отношения 18 к 6 и отношения 15 к 5. В виде пропорции это записывается следующим образом: $18 : 6 = 15 : 5$.
В пропорции $a : b = c : d$ числа $a$ и $d$ называются крайними членами, а числа $b$ и $c$ — средними членами.
Следовательно, в данной пропорции крайние члены — это 18 и 5.
Средние члены — это 6 и 15.
Ответ: Пропорция: $18 : 6 = 15 : 5$. Крайние члены: 18 и 5. Средние члены: 6 и 15.

б) Утверждение "отношение 100 к 30 равно отношению 40 к 12" напрямую переводится в математическую запись пропорции: $100 : 30 = 40 : 12$.
Крайними членами данной пропорции являются первое и четвертое числа, то есть 100 и 12.
Средними членами являются второе и третье числа, то есть 30 и 40.
Ответ: Пропорция: $100 : 30 = 40 : 12$. Крайние члены: 100 и 12. Средние члены: 30 и 40.

в) Фраза "70 во столько раз больше 50, во сколько раз 14 больше 10" означает, что отношение большей величины к меньшей в первой паре ($70 : 50$) равно отношению большей величины к меньшей во второй паре ($14 : 10$). Таким образом, получаем пропорцию: $70 : 50 = 14 : 10$.
Крайние члены этой пропорции — 70 и 10.
Средние члены этой пропорции — 50 и 14.
Ответ: Пропорция: $70 : 50 = 14 : 10$. Крайние члены: 70 и 10. Средние члены: 50 и 14.

г) Утверждение "5 составляет такую же часть от 15, какую 6 составляет от 18" означает, что отношение части к целому в первом случае ($5 : 15$) равно отношению части к целому во втором случае ($6 : 18$). Запишем это в виде пропорции: $5 : 15 = 6 : 18$.
Крайними членами данной пропорции являются 5 и 18.
Средними членами являются 15 и 6.
Ответ: Пропорция: $5 : 15 = 6 : 18$. Крайние члены: 5 и 18. Средние члены: 15 и 6.

а) Сформулируйте основное свойство пропорции.

б) Найдите неизвестный член пропорции $\frac{15}{12} = \frac{10}{x}$.

а) Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов верной пропорции равно произведению её средних членов.
Если пропорция записана в виде $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ или в виде $ a : b = c : d $, то $a$ и $d$ являются крайними членами, а $b$ и $c$ — средними. Основное свойство математически выражается формулой:
$ a \cdot d = b \cdot c $
Ответ: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

б) Дана пропорция $ \frac{15}{12} = \frac{10}{x} $.
Для нахождения неизвестного члена $x$ воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов ($15$ и $x$) равно произведению средних членов ($12$ и $10$).
Составим и решим уравнение:
$ 15 \cdot x = 12 \cdot 10 $
$ 15x = 120 $
$ x = \frac{120}{15} $
$ x = 8 $
Ответ: 8