Страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

167 Некоторое количество чая надо развесить в одинаковые упаковки. Установите зависимость между массой упаковки и количеством упаковок и заполните таблицу.

a) Масса упаковки, г | Количество упаковок

60 | 80

240 | ...

30 | ...

300 | ...

б) Масса упаковки, г | Количество упаковок

150 | 30

... | 90

... | 180

... | 15

В данной задаче между массой одной упаковки чая и количеством таких упаковок существует обратно пропорциональная зависимость. Это означает, что произведение массы одной упаковки на их количество является постоянной величиной, равной общей массе всего чая. Общая формула зависимости: $M = m \cdot n$, где $M$ — общая масса чая, $m$ — масса одной упаковки, $n$ — количество упаковок.

а)

1. Сначала определим общую массу чая, используя данные из первой строки таблицы:

$M = 60 \text{ г} \cdot 80 = 4800 \text{ г}$.

2. Теперь, зная общую массу ($4800$ г), мы можем найти недостающие значения количества упаковок ($n$) для каждой указанной массы упаковки ($m$), используя формулу $n = \frac{M}{m}$.

- Для массы упаковки $m = 240$ г:
$n = \frac{4800}{240} = 20$ упаковок.

- Для массы упаковки $m = 30$ г:
$n = \frac{4800}{30} = 160$ упаковок.

- Для массы упаковки $m = 300$ г:
$n = \frac{4800}{300} = 16$ упаковок.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: недостающие значения в столбце "Количество упаковок" сверху вниз: 20, 160, 16.

б)

1. Аналогично предыдущему пункту, найдем общую массу чая для этой таблицы:

$M = 150 \text{ г} \cdot 30 = 4500 \text{ г}$.

2. Зная общую массу ($4500$ г), найдем недостающие значения массы упаковки ($m$) для каждого указанного количества упаковок ($n$), используя формулу $m = \frac{M}{n}$.

- Для количества упаковок $n = 90$ штук:
$m = \frac{4500}{90} = 50$ г.

- Для количества упаковок $n = 180$ штук:
$m = \frac{4500}{180} = 25$ г.

- Для количества упаковок $n = 15$ штук:
$m = \frac{4500}{15} = 300$ г.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: недостающие значения в столбце "Масса упаковки, г" сверху вниз: 50, 25, 300.

168 На заработанные в каникулы деньги Виктор может купить 6 одинаковых по цене компакт-дисков с любимыми фильмами.

а) Сколько компакт-дисков он мог бы купить на эти деньги, если бы их цена была в 1,5 раза меньше? в 2 раза больше?

б) Сколько компакт-дисков купил Николай, если он заработал в 2 раза больше денег, чем Виктор, и купил диски по цене, в 1,5 раза большей?

Для решения задачи обозначим сумму денег, заработанных Виктором, как $D_В$, а цену одного компакт-диска — как $p$.

По условию, на свои деньги Виктор может купить 6 дисков. Это значит, что его деньги равны стоимости 6 дисков:

$D_В = 6 \times p$

а) Сколько компакт-дисков он мог бы купить на эти деньги, если бы их цена была в 1,5 раза меньше? в 2 раза больше?

В этом пункте количество денег у Виктора не меняется ($D_В$), меняется только цена диска.

Случай 1: цена в 1,5 раза меньше.

Новая цена диска $p_1$ будет равна:

$p_1 = \frac{p}{1,5}$

Чтобы найти, сколько дисков ($N_1$) Виктор смог бы купить, разделим его деньги на новую цену:

$N_1 = \frac{D_В}{p_1} = \frac{6 \times p}{p / 1,5} = 6 \times 1,5 = 9$

Таким образом, он мог бы купить 9 дисков.

Случай 2: цена в 2 раза больше.

Новая цена диска $p_2$ будет равна:

$p_2 = p \times 2$

Чтобы найти, сколько дисков ($N_2$) Виктор смог бы купить, разделим его деньги на новую цену:

$N_2 = \frac{D_В}{p_2} = \frac{6 \times p}{2 \times p} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, он мог бы купить 3 диска.

Ответ: если бы цена была в 1,5 раза меньше, Виктор мог бы купить 9 дисков; если бы цена была в 2 раза больше, он мог бы купить 3 диска.

б) Сколько компакт-дисков купил Николай, если он заработал в 2 раза больше денег, чем Виктор, и купил диски по цене, в 1,5 раза большей?

В этом пункте меняется и количество денег, и цена диска. Обозначим деньги Николая как $D_Н$, а цену дисков, которые он покупал, как $p_Н$.

Николай заработал в 2 раза больше денег, чем Виктор:

$D_Н = 2 \times D_В = 2 \times (6 \times p) = 12p$

Цена дисков, которые покупал Николай, была в 1,5 раза больше первоначальной:

$p_Н = p \times 1,5$

Чтобы найти количество дисков ($N_Н$), которое купил Николай, разделим его деньги на цену одного его диска:

$N_Н = \frac{D_Н}{p_Н} = \frac{12p}{1,5p} = \frac{12}{1,5} = 8$

Ответ: Николай купил 8 компакт-дисков.

169 За 12 с участник школьных соревнований пробежал 60 м.

а) Если он будет бежать с той же скоростью, то за сколько секунд он пробежит 40 м? 100 м?

б) За какое время пробежит 200 м спортсмен, скорость которого в 2 раза больше?

Для решения задачи сначала найдем скорость участника соревнований. Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{s}{t}$, где $s$ — это расстояние, а $t$ — это время.

Из условия известно, что участник пробежал расстояние $s = 60$ м за время $t = 12$ с.

Подставим значения в формулу:

$v = \frac{60 \text{ м}}{12 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Таким образом, скорость участника составляет 5 метров в секунду.

а) Если он будет бежать с той же скоростью, то за сколько секунд он пробежит 40 м? 100 м?

Теперь, зная скорость, мы можем найти время ($t$), которое потребуется для преодоления других дистанций. Будем использовать формулу $t = \frac{s}{v}$.

1. Рассчитаем время для дистанции 40 м:

$t_{40} = \frac{40 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 8 \text{ с}$

2. Рассчитаем время для дистанции 100 м:

$t_{100} = \frac{100 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 20 \text{ с}$

Ответ: участник пробежит 40 м за 8 секунд, а 100 м за 20 секунд.

б) За какое время пробежит 200 м спортсмен, скорость которого в 2 раза больше?

Сначала найдем скорость нового спортсмена. Его скорость в 2 раза больше скорости первого участника ($v_1 = 5 \text{ м/с}$).

Скорость второго спортсмена: $v_2 = v_1 \times 2 = 5 \text{ м/с} \times 2 = 10 \text{ м/с}$.

Теперь найдем время, за которое этот спортсмен пробежит дистанцию $s = 200$ м со скоростью $v_2 = 10$ м/с.

$t = \frac{s}{v_2} = \frac{200 \text{ м}}{10 \text{ м/с}} = 20 \text{ с}$

Ответ: спортсмен пробежит 200 м за 20 секунд.

170 Задайте формулой указанную зависимость и определите, прямой или обратной пропорциональностью она является:

а) зависимость числа $m$ одинаковых учебников, размещаемых на полке длиной 90 см, от толщины учебника $l$ (в см);

б) зависимость израсходованного бензина $V$ (в л) от пройденного автомобилем пути $s$ (в км) при расходе 0,08 л бензина на 1 км пути;

в) зависимость времени $t$ (в мин), за которое на принтере можно распечатать 200 страниц, от скорости печати принтера $v$ (в с./мин);

г) зависимость стоимости $Z$ (в р.) рулона ткани от длины $l$ (в м) этого рулона при цене одного метра 30 р.

а) Чтобы найти количество учебников m, которое можно разместить на полке, нужно общую длину полки (90 см) разделить на толщину одного учебника l. Таким образом, произведение числа учебников на их толщину равно длине полки: $m \cdot l = 90$. Выразим m через l, получив формулу зависимости:

$m = \frac{90}{l}$

Эта зависимость является обратной пропорциональностью, так как она имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где k – постоянная величина (коэффициент пропорциональности). Чем больше толщина учебника l, тем меньшее их количество m поместится на полке.

Ответ: $m = \frac{90}{l}$, обратная пропорциональность.

б) Объем израсходованного бензина V зависит от пройденного пути s. Чтобы найти общий объем, нужно расход на 1 км (0,08 л) умножить на количество пройденных километров s. Формула зависимости:

$V = 0.08 \cdot s$

Эта зависимость является прямой пропорциональностью, так как она имеет вид $y = kx$, где k – постоянная величина (коэффициент пропорциональности). Чем больше расстояние s, тем больше бензина V будет израсходовано.

Ответ: $V = 0.08s$, прямая пропорциональность.

в) Общее количество страниц, которое нужно распечатать (200), равно произведению скорости печати v на время t. Таким образом, $v \cdot t = 200$. Чтобы найти время t, необходимое для печати, нужно общее количество страниц разделить на скорость печати v (страниц в минуту). Формула зависимости:

$t = \frac{200}{v}$

Эта зависимость является обратной пропорциональностью, так как она имеет вид $y = \frac{k}{x}$. Чем выше скорость печати принтера v, тем меньше времени t потребуется на печать 200 страниц.

Ответ: $t = \frac{200}{v}$, обратная пропорциональность.

г) Стоимость рулона ткани Z зависит от его длины l. Чтобы найти общую стоимость, нужно цену одного метра ткани (30 р.) умножить на количество метров l. Формула зависимости:

$Z = 30 \cdot l$

Эта зависимость является прямой пропорциональностью, так как она имеет вид $y = kx$. Чем больше длина ткани l, тем выше ее стоимость Z.

Ответ: $Z = 30l$, прямая пропорциональность.

171 Определите, является прямой или обратной пропорциональностью зависимость:

а) периметра квадрата от длины его стороны;

б) площади квадрата от длины его стороны;

в) величины одного из смежных углов от величины другого;

г) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны.

Для определения типа зависимости между двумя величинами $x$ и $y$ вспомним определения:

• Прямая пропорциональность: зависимость, которую можно записать в виде $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. При увеличении одной величины в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз.
• Обратная пропорциональность: зависимость, которую можно записать в виде $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. При увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Рассмотрим каждую зависимость отдельно.

а) периметра квадрата от длины его стороны;

Пусть $P$ — периметр квадрата, а $a$ — длина его стороны. Периметр квадрата вычисляется как сумма длин всех его четырех равных сторон. Формула для периметра:

$P = a + a + a + a = 4a$

Эта зависимость имеет вид $y = kx$, где $y=P$, $x=a$ и коэффициент пропорциональности $k=4$. Если мы увеличим длину стороны $a$ в $n$ раз, то периметр $P$ также увеличится в $n$ раз: $P_{новое} = 4 \cdot (na) = n \cdot (4a) = n \cdot P_{старое}$. Следовательно, это прямая пропорциональность.

Ответ: прямая пропорциональность.

б) площади квадрата от длины его стороны;

Пусть $S$ — площадь квадрата, а $a$ — длина его стороны. Площадь квадрата вычисляется как произведение двух его сторон. Формула для площади:

$S = a \cdot a = a^2$

Проверим, является ли эта зависимость пропорциональной. Отношение $S/a = a^2/a = a$. Так как это отношение не является постоянной величиной (оно зависит от $a$), то это не прямая пропорциональность. Произведение $S \cdot a = a^2 \cdot a = a^3$. Так как это произведение не является постоянной величиной, то это не обратная пропорциональность. Это квадратичная зависимость.

Ответ: не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

в) величины одного из смежных углов от величины другого;

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — величины смежных углов. По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Выразим зависимость одного угла от другого: $\alpha = 180^\circ - \beta$. Эта зависимость не имеет вида $y=kx$ или $y=k/x$. Например, если $\beta = 30^\circ$, то $\alpha = 150^\circ$. Если увеличить $\beta$ вдвое до $60^\circ$, то $\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Величина $\alpha$ не уменьшилась вдвое ($150^\circ / 2 = 75^\circ$). Следовательно, это не прямая и не обратная пропорциональность.

Ответ: не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

г) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, а $S$ — его площадь. По условию, площадь $S$ является данной, то есть постоянной величиной. Обозначим эту постоянную площадь как $k$.

Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Так как $S = k$ (константа), мы имеем:

$a \cdot b = k$

Выразим зависимость длины одной стороны, например $a$, от длины другой стороны $b$:

$a = \frac{k}{b}$

Эта зависимость имеет вид $y = k/x$, где $y=a$, $x=b$, а $k=S$ — коэффициент пропорциональности. Это определение обратной пропорциональности. При увеличении одной стороны, другая должна уменьшиться во столько же раз, чтобы их произведение (площадь) осталось неизменным.

Ответ: обратная пропорциональность.