Страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

150 Из физической формулы выразите переменную m:

а) $\rho = \frac{m}{V}$;

б) $a = \frac{F}{m}$;

в) $Q = cmt$;

г) $E = \frac{mv^2}{2}$.

а)
Дана формула плотности: $\rho = \frac{m}{V}$. Чтобы выразить переменную $m$ (массу), необходимо умножить обе части уравнения на $V$ (объем). Это позволит избавиться от знаменателя в правой части.
$\rho \cdot V = \frac{m}{V} \cdot V$
$\rho V = m$
Поменяв части уравнения местами, получаем:
Ответ: $m = \rho V$

б)
Дана формула второго закона Ньютона: $a = \frac{F}{m}$. Здесь переменная $m$ находится в знаменателе. Чтобы выразить $m$, сначала умножим обе части уравнения на $m$.
$a \cdot m = \frac{F}{m} \cdot m$
$am = F$
Теперь, чтобы найти $m$, разделим обе части полученного уравнения на $a$ (ускорение).
$\frac{am}{a} = \frac{F}{a}$
Ответ: $m = \frac{F}{a}$

в)
Дана формула количества теплоты: $Q = cmt$. В этом уравнении $m$ является одним из сомножителей. Чтобы выразить $m$, необходимо разделить обе части уравнения на другие сомножители, то есть на $c$ (удельная теплоемкость) и $t$ (изменение температуры).
$\frac{Q}{ct} = \frac{cmt}{ct}$
$\frac{Q}{ct} = m$
Поменяв части уравнения местами, получаем:
Ответ: $m = \frac{Q}{ct}$

г)
Дана формула кинетической энергии: $E = \frac{mv^2}{2}$. Чтобы выразить $m$, сначала умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя.
$E \cdot 2 = \frac{mv^2}{2} \cdot 2$
$2E = mv^2$
Теперь переменная $m$ умножена на $v^2$ (квадрат скорости). Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на $v^2$.
$\frac{2E}{v^2} = \frac{mv^2}{v^2}$
$\frac{2E}{v^2} = m$
Поменяв части уравнения местами, получаем:
Ответ: $m = \frac{2E}{v^2}$

151 Наблюдатель во время грозы считает, сколько секунд (t) прошло между вспышкой молнии и раскатом грома, и определяет, на каком расстоянии (S) он находится от эпицентра грозы. Составьте формулу для вычисления этого расстояния в километрах, если известно, что звук распространяется в воздухе со скоростью 330 м/с. Формула: $S = 0.33t$. Определите по этой формуле, на каком расстоянии от эпицентра грозы вы находитесь, если между вспышкой молнии и громом вы насчитали 6 с.

Составьте формулу для вычисления этого расстояния в километрах

Для определения расстояния до эпицентра грозы используется основная формула пути: расстояние равно произведению скорости на время. В данном случае, расстояние $S$ — это путь, который проходит звук грома от молнии до наблюдателя, $v$ — это скорость звука, а $t$ — это время задержки между вспышкой молнии и раскатом грома. Скоростью света можно пренебречь, так как она настолько велика, что вспышку молнии мы видим практически мгновенно.

Таким образом, основная формула для расстояния в метрах: $S_м = v \cdot t$

По условию, скорость звука в воздухе $v = 330$ м/с. Подставляем это значение в формулу: $S_м = 330 \cdot t$

Нам необходимо получить формулу для расстояния $S$ в километрах. Поскольку 1 км = 1000 м, для перевода метров в километры нужно разделить полученное значение на 1000: $S_{км} = \frac{S_м}{1000} = \frac{330 \cdot t}{1000}$

Упростим полученное выражение: $S_{км} = 0.33 \cdot t$

Ответ: Формула для вычисления расстояния $S$ в километрах имеет вид: $S = 0.33 \cdot t$, где $t$ — время в секундах.

Определите по этой формуле, на каком расстоянии от эпицентра грозы вы находитесь, если между вспышкой молнии и громом вы насчитали 6 с.

Используем выведенную ранее формулу $S = 0.33 \cdot t$.

Подставим в нее известное значение времени задержки $t = 6$ с: $S = 0.33 \cdot 6$

Выполним вычисление: $S = 1.98$ км

Ответ: Если между вспышкой молнии и громом прошло 6 секунд, то расстояние до эпицентра грозы составляет 1,98 км.

152 За время $t$ человек, длина шага которого равна $l$, сделал $n$ шагов. Составьте формулу, выражающую зависимость его скорости $v$ от переменных $t$, $l$ и $n$. Найдите по этой формуле скорость пешехода, выразив её в метрах в минуту и в километрах в час, если длина его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов.

Составьте формулу, выражающую зависимость его скорости v от переменных t, l и n.

Скорость ($v$) определяется как отношение пройденного расстояния ($S$) ко времени ($t$), за которое это расстояние было пройдено. Математически это выражается формулой: $v = \frac{S}{t}$.
Общее расстояние $S$, пройденное человеком, можно найти, умножив количество сделанных шагов $n$ на длину одного шага $l$:
$S = n \cdot l$
Подставив это выражение для расстояния $S$ в формулу скорости, мы получим искомую зависимость:
$v = \frac{n \cdot l}{t}$
Ответ: $v = \frac{n \cdot l}{t}$

Найдите по этой формуле скорость пешехода, выразив её в метрах в минуту и в километрах в час, если длина его шага 60 см и за 5 мин он сделал 700 шагов.

Для расчета используем следующие данные из условия:
Длина шага: $l = 60$ см
Время: $t = 5$ мин
Количество шагов: $n = 700$

Расчет скорости в метрах в минуту (м/мин):
Сначала приведем единицы измерения к требуемым: расстояние в метрах, время в минутах.
Длина шага: $l = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$.
Время уже дано в минутах: $t = 5 \text{ мин}$.
Подставляем значения в формулу:
$v = \frac{n \cdot l}{t} = \frac{700 \cdot 0,6 \text{ м}}{5 \text{ мин}} = \frac{420 \text{ м}}{5 \text{ мин}} = 84 \text{ м/мин}$.

Расчет скорости в километрах в час (км/ч):
Теперь переведем полученную скорость из метров в минуту в километры в час.
Учитывая, что 1 км = 1000 м и 1 час = 60 мин:
$v = 84 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = 84 \cdot \frac{1/1000 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 84 \cdot \frac{60}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{5040}{1000} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 5,04 \text{ км/ч}$.
Ответ: Скорость пешехода составляет 84 м/мин или 5,04 км/ч.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (153–155)

153 Олег живёт в многоэтажном доме. Он сосчитал число ступенек, ведущих от входа в подъезд к площадке каждого из первых пяти этажей, и составил таблицу. Если бы Олег продолжил заполнение таблицы, какое число он записал бы в клетке, соответствующей 6-му этажу? 10-му этажу? Составьте формулу, выражающую зависимость числа ступенек $N$ от этажа $n$. Какие значения могут принимать переменные $n$ и $N$? Найдите $N$, если $n=15$.

Этаж: 1, 2, 3, 4, 5

Число ступенек: 5, 21, 37, 53, 69

Для решения задачи проанализируем данные из таблицы. Обозначим номер этажа как $n$, а общее число ступенек от входа до площадки этого этажа как $N$.

Из таблицы имеем следующие данные:
При $n=1$, $N=5$.
При $n=2$, $N=21$.
При $n=3$, $N=37$.
При $n=4$, $N=53$.
При $n=5$, $N=69$.

Найдем разницу в количестве ступенек между соседними этажами:
Между 2-м и 1-м этажами: $21 - 5 = 16$ ступенек.
Между 3-м и 2-м этажами: $37 - 21 = 16$ ступенек.
Между 4-м и 3-м этажами: $53 - 37 = 16$ ступенек.
Между 5-м и 4-м этажами: $69 - 53 = 16$ ступенек.

Можно сделать вывод, что от входа в подъезд до площадки 1-го этажа ведут 5 ступенек, а каждый лестничный пролет между этажами состоит из 16 ступенек. Эта зависимость является линейной и описывает арифметическую прогрессию.

Какое число он записал бы в клетке, соответствующей 6-му этажу? 10-му этажу?

Чтобы найти количество ступенек до 6-го этажа, нужно к количеству ступенек до 5-го этажа ($N=69$) прибавить еще 16 (количество ступенек в одном пролете):
$N(6) = 69 + 16 = 85$.
Для нахождения числа ступенек до 10-го этажа воспользуемся общей формулой, которую выведем ниже: $N = 16n - 11$. Подставим $n=10$:
$N(10) = 16 \cdot 10 - 11 = 160 - 11 = 149$.

Ответ: для 6-го этажа — 85; для 10-го этажа — 149.

Составьте формулу, выражающую зависимость числа ступенек N от этажа n.

Общее число ступенек $N$ до этажа $n$ складывается из 5 ступенек до 1-го этажа и $(n-1)$ лестничных пролетов по 16 ступенек в каждом.
Математически это можно записать так:
$N = 5 + (n-1) \cdot 16$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$N = 5 + 16n - 16$
$N = 16n - 11$

Ответ: $N = 16n - 11$.

Какие значения могут принимать переменные n и N?

Переменная $n$ обозначает номер этажа. Номера этажей являются целыми положительными числами (натуральными числами), начиная с 1. Таким образом, $n$ может быть любым натуральным числом: $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.
Переменная $N$ обозначает общее количество ступенек. Так как число ступенек может быть только целым и положительным, $N$ также является натуральным числом. Его значение напрямую зависит от $n$ и определяется по формуле $N = 16n - 11$.

Ответ: $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), $N$ — натуральное число, являющееся значением функции $N(n)$.

Найдите N, если n = 15.

Для нахождения $N$ при $n=15$ подставим это значение в выведенную нами формулу:
$N = 16n - 11$
$N = 16 \cdot 15 - 11$
$N = 240 - 11$
$N = 229$

Ответ: $N = 229$.

154 Электропоезд проходит расстояние между соседними километровыми столбами за 1,5 мин. На сколько километров в час надо увеличить скорость, чтобы сократить это время на полминуты?

Для решения этой задачи сначала определим начальную скорость электропоезда, а затем скорость, которую ему необходимо развить, чтобы сократить время в пути. Разница между этими скоростями и будет искомой величиной.

1. Расчет начальной скорости ($v_1$).

Расстояние ($S$) между соседними километровыми столбами составляет 1 км.Начальное время ($t_1$), за которое поезд проходит это расстояние, равно 1,5 минуты.Для вычисления скорости в километрах в час (км/ч) необходимо перевести время из минут в часы. Учитывая, что в одном часе 60 минут, получаем:$t_1 = 1,5 \text{ мин} = \frac{1,5}{60} \text{ ч} = \frac{1}{40} \text{ ч}$.

Теперь найдем начальную скорость по формуле $v = S/t$:$v_1 = \frac{1 \text{ км}}{1/40 \text{ ч}} = 40 \text{ км/ч}$.

2. Расчет новой скорости ($v_2$).

По условию, время необходимо сократить на полминуты, то есть на 0,5 минуты. Новое время в пути ($t_2$) будет:$t_2 = 1,5 \text{ мин} - 0,5 \text{ мин} = 1 \text{ мин}$.

Переведем новое время в часы:$t_2 = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$.

Новая скорость ($v_2$) для преодоления того же расстояния $S = 1$ км составит:$v_2 = \frac{1 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 60 \text{ км/ч}$.

3. Определение разницы скоростей.

Чтобы узнать, на сколько нужно увеличить скорость, вычтем из новой скорости начальную:$\Delta v = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость надо увеличить на 20 км/ч.

155 Легкоатлеты в процессе тренировки вырабатывают скоростную выносливость, увеличивая скорость во время бега. Например, бегун на дистанции $1500 \text{ м}$ пробежал первые $250 \text{ м}$ за $50 \text{ с}$, следующие $500 \text{ м}$ за $95 \text{ с}$ и оставшиеся $750 \text{ м}$ за $140 \text{ с}$. Какую скорость (в $\text{км/ч}$) развил этот бегун на каждом из участков дистанции? (Ответы округлите до десятых. Воспользуйтесь калькулятором.)

Для решения задачи необходимо рассчитать скорость бегуна на каждом из трёх участков дистанции. Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — это расстояние, а $t$ — время. Так как данные о расстоянии приведены в метрах (м), а время — в секундах (с), а результат требуется в километрах в час (км/ч), необходимо выполнить перевод единиц измерения. Для перевода скорости из м/с в км/ч нужно умножить значение на 3,6, так как $1 \text{ м/с} = 3,6 \text{ км/ч}$.

Скорость на первом участке

На первом участке бегун пробежал расстояние $S_1 = 250$ м за время $t_1 = 50$ с. Сначала вычислим скорость в м/с:

$v_1 = \frac{250 \text{ м}}{50 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

Теперь переведём это значение в км/ч:

$V_1 = 5 \times 3,6 = 18 \text{ км/ч}$

Согласно условию, ответ нужно округлить до десятых, поэтому скорость на первом участке составляет 18,0 км/ч.

Ответ: 18,0 км/ч.

Скорость на втором участке

На втором участке бегун пробежал расстояние $S_2 = 500$ м за время $t_2 = 95$ с. Вычислим скорость в м/с:

$v_2 = \frac{500 \text{ м}}{95 \text{ с}} \approx 5,263... \text{ м/с}$

Переведём скорость в км/ч:

$V_2 = \frac{500}{95} \times 3,6 = \frac{1800}{95} \approx 18,947... \text{ км/ч}$

Округлив до десятых, получаем 18,9 км/ч.

Ответ: 18,9 км/ч.

Скорость на третьем участке

На третьем, оставшемся, участке бегун пробежал расстояние $S_3 = 750$ м за время $t_3 = 140$ с. Вычислим скорость в м/с:

$v_3 = \frac{750 \text{ м}}{140 \text{ с}} = \frac{75}{14} \approx 5,357... \text{ м/с}$

Переведём скорость в км/ч:

$V_3 = \frac{750}{140} \times 3,6 = \frac{270}{14} \approx 19,285... \text{ км/ч}$

Округлив до десятых, получаем 19,3 км/ч.

Ответ: 19,3 км/ч.