Номер 153, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.1. Зависимости и формулы. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 153, страница 48.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (153–155)

153 Олег живёт в многоэтажном доме. Он сосчитал число ступенек, ведущих от входа в подъезд к площадке каждого из первых пяти этажей, и составил таблицу. Если бы Олег продолжил заполнение таблицы, какое число он записал бы в клетке, соответствующей 6-му этажу? 10-му этажу? Составьте формулу, выражающую зависимость числа ступенек $N$ от этажа $n$. Какие значения могут принимать переменные $n$ и $N$? Найдите $N$, если $n=15$.

Этаж: 1, 2, 3, 4, 5

Число ступенек: 5, 21, 37, 53, 69

Для решения задачи проанализируем данные из таблицы. Обозначим номер этажа как $n$, а общее число ступенек от входа до площадки этого этажа как $N$.

Из таблицы имеем следующие данные:
При $n=1$, $N=5$.
При $n=2$, $N=21$.
При $n=3$, $N=37$.
При $n=4$, $N=53$.
При $n=5$, $N=69$.

Найдем разницу в количестве ступенек между соседними этажами:
Между 2-м и 1-м этажами: $21 - 5 = 16$ ступенек.
Между 3-м и 2-м этажами: $37 - 21 = 16$ ступенек.
Между 4-м и 3-м этажами: $53 - 37 = 16$ ступенек.
Между 5-м и 4-м этажами: $69 - 53 = 16$ ступенек.

Можно сделать вывод, что от входа в подъезд до площадки 1-го этажа ведут 5 ступенек, а каждый лестничный пролет между этажами состоит из 16 ступенек. Эта зависимость является линейной и описывает арифметическую прогрессию.

Какое число он записал бы в клетке, соответствующей 6-му этажу? 10-му этажу?

Чтобы найти количество ступенек до 6-го этажа, нужно к количеству ступенек до 5-го этажа ($N=69$) прибавить еще 16 (количество ступенек в одном пролете):
$N(6) = 69 + 16 = 85$.
Для нахождения числа ступенек до 10-го этажа воспользуемся общей формулой, которую выведем ниже: $N = 16n - 11$. Подставим $n=10$:
$N(10) = 16 \cdot 10 - 11 = 160 - 11 = 149$.

Ответ: для 6-го этажа — 85; для 10-го этажа — 149.

Составьте формулу, выражающую зависимость числа ступенек N от этажа n.

Общее число ступенек $N$ до этажа $n$ складывается из 5 ступенек до 1-го этажа и $(n-1)$ лестничных пролетов по 16 ступенек в каждом.
Математически это можно записать так:
$N = 5 + (n-1) \cdot 16$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$N = 5 + 16n - 16$
$N = 16n - 11$

Ответ: $N = 16n - 11$.

Какие значения могут принимать переменные n и N?

Переменная $n$ обозначает номер этажа. Номера этажей являются целыми положительными числами (натуральными числами), начиная с 1. Таким образом, $n$ может быть любым натуральным числом: $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.
Переменная $N$ обозначает общее количество ступенек. Так как число ступенек может быть только целым и положительным, $N$ также является натуральным числом. Его значение напрямую зависит от $n$ и определяется по формуле $N = 16n - 11$.

Ответ: $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), $N$ — натуральное число, являющееся значением функции $N(n)$.

Найдите N, если n = 15.

Для нахождения $N$ при $n=15$ подставим это значение в выведенную нами формулу:
$N = 16n - 11$
$N = 16 \cdot 15 - 11$
$N = 240 - 11$
$N = 229$

Ответ: $N = 229$.