Страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1. Сравните числа:
а) $\frac{8}{17}$ и $\frac{11}{21}$;
б) 0,6 и $\frac{4}{7}$;
в) $\frac{6}{25}$ и 0,219.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{8}{17}$ и $\frac{11}{21}$, можно воспользоваться методом перекрестного умножения. Для этого нужно сравнить произведение числителя первой дроби на знаменатель второй ($8 \times 21$) с произведением числителя второй дроби на знаменатель первой ($11 \times 17$).

Вычисляем произведения:

$8 \times 21 = 168$

$11 \times 17 = 187$

Так как $168 < 187$, то и первая дробь меньше второй.

Ответ: $\frac{8}{17} < \frac{11}{21}$.

б) Чтобы сравнить числа $0,6$ и $\frac{4}{7}$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь сравним дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$ методом перекрестного умножения. Сравним произведения $3 \times 7$ и $5 \times 4$.

$3 \times 7 = 21$

$5 \times 4 = 20$

Так как $21 > 20$, то $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$.

Ответ: $0,6 > \frac{4}{7}$.

в) Чтобы сравнить числа $\frac{6}{25}$ и $0,219$, представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого приведем знаменатель к 100, умножив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{6}{25} = \frac{6 \times 4}{25 \times 4} = \frac{24}{100} = 0,24$

Теперь сравним десятичные дроби $0,24$ и $0,219$. Для удобства можно уравнять количество знаков после запятой, добавив ноль: $0,24 = 0,240$.

Сравнивая $0,240$ и $0,219$, видим, что $240 > 219$.

Следовательно, $0,24 > 0,219$.

Ответ: $\frac{6}{25} > 0,219$.

2 Расположите в порядке возрастания числа: 0,4; $\frac{3}{8}$ и $\frac{2}{3}$.

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, их нужно привести к общему виду. В данном случае удобнее всего преобразовать все числа в десятичные дроби.

1. Первое число уже является десятичной дробью: $0,4$.

2. Второе число — обыкновенная дробь $\frac{3}{8}$. Чтобы перевести ее в десятичную, разделим числитель на знаменатель:
$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0,375$.

3. Третье число — обыкновенная дробь $\frac{2}{3}$. Переведем ее в десятичную дробь, также разделив числитель на знаменатель:
$\frac{2}{3} = 2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.

Теперь у нас есть три числа в виде десятичных дробей: $0,4$; $0,375$ и $0,666...$.
Сравним их. Для этого можно посмотреть на разряд десятых: у $0,375$ это $3$, у $0,4$ это $4$, а у $0,666...$ это $6$.
Так как $3 < 4 < 6$, то и соответствующие дроби располагаются в том же порядке: $0,375 < 0,4 < 0,666...$.

Теперь заменим десятичные дроби на их исходные представления, чтобы получить итоговый ответ:
$\frac{3}{8} < 0,4 < \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$; $0,4$; $\frac{2}{3}$.

3 В результате реконструкции на одном комбинате производство бумаги увеличилось с 10 до 12 т в месяц, а на другом – с 12 до 14 т в месяц. На каком комбинате произведена более эффективная реконструкция?

Для того чтобы определить, на каком комбинате реконструкция была более эффективной, необходимо сравнить относительный прирост производительности, а не абсолютный. Абсолютный прирост в обоих случаях одинаков и составляет 2 тонны в месяц ($12 - 10 = 2$ и $14 - 12 = 2$). Однако для оценки эффективности важно, какую долю этот прирост составляет от первоначального объема производства.

Первый комбинат
Производство увеличилось с $10$ т до $12$ т в месяц.
Найдем относительное увеличение производительности. Для этого разделим абсолютный прирост на первоначальный объем производства и умножим на 100%, чтобы получить результат в процентах.
Относительное увеличение: $\frac{12 - 10}{10} \times 100\% = \frac{2}{10} \times 100\% = 0,2 \times 100\% = 20\%$.

Второй комбинат
Производство увеличилось с $12$ т до $14$ т в месяц.
Найдем относительное увеличение производительности для этого комбината по той же формуле.
Относительное увеличение: $\frac{14 - 12}{12} \times 100\% = \frac{2}{12} \times 100\% = \frac{1}{6} \times 100\% \approx 16,7\%$.

Сравнение
Сравнив относительный прирост производительности на обоих комбинатах, получаем:
$20\%$ (первый комбинат) $>$ $\approx 16,7\%$ (второй комбинат).
Это означает, что реконструкция на первом комбинате была более эффективной, так как она привела к большему процентному росту производства.

Ответ: более эффективная реконструкция произведена на первом комбинате, поскольку рост производства на нём составил $20\%$, в то время как на втором комбинате рост составил приблизительно $16,7\%$.

4 Выполните действия:

а) $ \frac{3}{4} + 0,123; $

б) $ 0,3 - \frac{1}{6}; $

в) $ 0,15 \cdot \frac{3}{5}; $

г) $ \frac{6}{25} : 0,12. $

а) Чтобы выполнить сложение $\frac{3}{4} + 0,123$, удобнее всего представить обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого разделим числитель на знаменатель: $\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0,75$. Теперь выполним сложение десятичных дробей: $0,75 + 0,123 = 0,873$.
Ответ: 0,873

б) Чтобы выполнить вычитание $0,3 - \frac{1}{6}$, представим оба числа в виде обыкновенных дробей, так как $\frac{1}{6}$ является бесконечной периодической десятичной дробью. $0,3 = \frac{3}{10}$. Получаем выражение: $\frac{3}{10} - \frac{1}{6}$. Найдем общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное для 10 и 6 это 30. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{9}{30} - \frac{5}{30}$. Выполним вычитание: $\frac{9 - 5}{30} = \frac{4}{30}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.
Ответ: $\frac{2}{15}$

в) Для выполнения умножения $0,15 \cdot \frac{3}{5}$ можно перевести десятичную дробь в обыкновенную. $0,15 = \frac{15}{100}$. Сократим эту дробь на 5: $\frac{15:5}{100:5} = \frac{3}{20}$. Теперь выполним умножение дробей: $\frac{3}{20} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 5} = \frac{9}{100}$. Результат можно записать в виде десятичной дроби. $\frac{9}{100} = 0,09$.
Ответ: 0,09

г) Чтобы выполнить деление $\frac{6}{25} : 0,12$, представим десятичную дробь в виде обыкновенной. $0,12 = \frac{12}{100}$. Сократим эту дробь на 4: $\frac{12:4}{100:4} = \frac{3}{25}$. Теперь выражение выглядит так: $\frac{6}{25} : \frac{3}{25}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю: $\frac{6}{25} \cdot \frac{25}{3}$. Сократим 25 в числителе и знаменателе: $\frac{6 \cdot 25}{25 \cdot 3} = \frac{6}{3} = 2$.
Ответ: 2

5 Вычислите:

a) $ \frac{0,7 \cdot 0,02}{0,21} $;

б) $ 7,5 : 1,25 \cdot 0,015 $.

а)

Чтобы вычислить значение дроби $\frac{0,7 \cdot 0,02}{0,21}$, необходимо выполнить действия в следующем порядке: сначала умножение в числителе, а затем деление на знаменатель.

1. Вычислим произведение в числителе: $0,7 \cdot 0,02$.
Чтобы перемножить десятичные дроби, можно сначала перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые: $7 \cdot 2 = 14$.
Затем в полученном результате нужно отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. В числе 0,7 одна цифра после запятой, в числе 0,02 — две. Всего $1 + 2 = 3$ цифры.
Следовательно, $0,7 \cdot 0,02 = 0,014$.

2. Теперь разделим результат на знаменатель: $\frac{0,014}{0,21}$.
Чтобы выполнить деление десятичных дробей, можно домножить и числитель (делимое), и знаменатель (делитель) на $10, 100, 1000$ и т.д. так, чтобы в обоих числах запятая исчезла. В нашем случае нужно домножить на 1000:
$\frac{0,014 \cdot 1000}{0,21 \cdot 1000} = \frac{14}{210}$.

3. Сократим полученную обыкновенную дробь. И числитель 14, и знаменатель 210 делятся на 14:
$14 \div 14 = 1$
$210 \div 14 = 15$
Таким образом, $\frac{14}{210} = \frac{1}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$

б)

Чтобы вычислить значение выражения $7,5 : 1,25 \cdot 0,015$, нужно выполнять действия по порядку слева направо, так как деление и умножение имеют одинаковый приоритет.

1. Первое действие — деление: $7,5 : 1,25$.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их в делителе. В делителе 1,25 два знака после запятой, значит переносим запятую на два знака вправо в обоих числах:
$7,5 : 1,25 = 750 : 125$.
Выполним деление:
$750 \div 125 = 6$.

2. Второе действие — умножение. Результат первого действия умножаем на $0,015$:
$6 \cdot 0,015$.
Перемножим числа, не обращая внимания на запятую: $6 \cdot 15 = 90$.
Теперь в результате нужно отделить запятой столько цифр, сколько их в десятичном множителе, то есть три.
$6 \cdot 0,015 = 0,090$.
Последний ноль в дробной части можно отбросить: $0,090 = 0,09$.

Ответ: $0,09$

6 Найдите значение выражения:

a) $\frac{x+y}{z}$ при $x = 0,75$, $y = -2,25$, $z = -0,6$;

б) $\frac{a-x}{ax}$ при $a = 1,2$, $x = -0,3$.

а)

Чтобы найти значение выражения $\frac{x + y}{z}$, подставим в него заданные значения переменных $x = 0,75$, $y = -2,25$ и $z = -0,6$.

1. Сначала вычислим значение в числителе, то есть сумму $x + y$:
$x + y = 0,75 + (-2,25) = 0,75 - 2,25 = -1,5$.

2. Теперь разделим полученный результат на значение знаменателя $z$:
$\frac{-1,5}{-0,6}$.

3. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число. Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$\frac{1,5}{0,6} = \frac{1,5 \cdot 10}{0,6 \cdot 10} = \frac{15}{6}$.

4. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$\frac{15}{6} = \frac{15:3}{6:3} = \frac{5}{2}$.

5. Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{5}{2} = 2,5$.

Ответ: 2,5

б)

Чтобы найти значение выражения $\frac{a - x}{ax}$, подставим в него заданные значения переменных $a = 1,2$ и $x = -0,3$.

1. Вычислим значение числителя $(a - x)$:
$a - x = 1,2 - (-0,3) = 1,2 + 0,3 = 1,5$.

2. Вычислим значение знаменателя $(ax)$:
$ax = 1,2 \cdot (-0,3) = -0,36$.

3. Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:
$\frac{1,5}{-0,36}$.

4. Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100:
$\frac{1,5 \cdot 100}{-0,36 \cdot 100} = \frac{150}{-36} = -\frac{150}{36}$.

5. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 150 и 36 равен 6:
$-\frac{150:6}{36:6} = -\frac{25}{6}$.

6. Ответ можно представить в виде неправильной дроби или смешанного числа:
$-\frac{25}{6} = -4\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{25}{6}$

7 Найдите значение степени:

a) $(-2)^5$;

б) $(\frac{3}{5})^3$;

в) $(-0,1)^6$.

а) Для вычисления значения степени $(-2)^5$ необходимо число -2 (основание степени) умножить само на себя 5 раз (показатель степени). Поскольку основание степени является отрицательным числом, а показатель степени — нечетным, результат будет отрицательным.

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$.

Ответ: $-32$

б) Чтобы возвести обыкновенную дробь в степень, необходимо возвести в эту степень как числитель, так и знаменатель дроби.

$(\frac{3}{5})^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{27}{125}$.

Ответ: $\frac{27}{125}$

в) Для вычисления значения степени $(-0,1)^6$ необходимо число -0,1 умножить само на себя 6 раз. Поскольку основание степени является отрицательным числом, а показатель степени — четным, результат будет положительным.

$(-0,1)^6 = 0,1^6 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,000001$.

Также можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной и возвести в степень:

$(-0,1)^6 = (-\frac{1}{10})^6 = \frac{(-1)^6}{10^6} = \frac{1}{1000000} = 0,000001$.

Ответ: $0,000001$

8 Вычислите:

а) $-5 \cdot 3^3$

б) $0,01 \cdot (-3)^4$

в) $1 - 5 \cdot 0,4^2$

г) $10 \cdot (0,7 - 1,2)^3$

а) $-5 \cdot 3^3$

Согласно порядку выполнения действий, сначала возводим число в степень, а затем выполняем умножение.
1. Вычисляем степень: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
2. Выполняем умножение: $-5 \cdot 27 = -135$.

Ответ: -135

б) $0,01 \cdot (-3)^4$

Сначала возводим в степень, а затем выполняем умножение.
1. Возводим отрицательное число в четную степень, поэтому результат будет положительным: $(-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81$.
2. Умножаем десятичную дробь на число: $0,01 \cdot 81 = 0,81$.

Ответ: 0,81

в) $1 - 5 \cdot 0,4^2$

Порядок действий: сначала возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.
1. Вычисляем степень: $0,4^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16$.
2. Выполняем умножение: $5 \cdot 0,16 = 0,8$.
3. Выполняем вычитание: $1 - 0,8 = 0,2$.

Ответ: 0,2

г) $10 \cdot (0,7 - 1,2)^3$

Порядок действий: сначала выполняем действие в скобках, затем возводим результат в степень и в конце выполняем умножение.
1. Вычисляем выражение в скобках: $0,7 - 1,2 = -0,5$.
2. Возводим в степень. Так как основание отрицательное, а показатель степени нечетный, результат будет отрицательным: $(-0,5)^3 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25 \cdot (-0,5) = -0,125$.
3. Выполняем умножение: $10 \cdot (-0,125) = -1,25$.

Ответ: -1,25

9 Объём треугольной призмы, в основании которой равнобедренный прямоугольный тре-угольник (рис. 1.14), вычисляется по формуле

$V = \frac{a^2h}{2}$. Найдите объём призмы, если $a = 8$ см, $h = 15$ см.

Рис. 1.14

Для нахождения объёма треугольной призмы воспользуемся предоставленной формулой:
$V = \frac{a^2h}{2}$
где a – длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника в основании, а h – высота призмы.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие значения:
a = 8 см
h = 15 см

Подставим эти значения в формулу для вычисления объёма:
$V = \frac{8^2 \cdot 15}{2}$

Сначала возведём в квадрат значение a:
$8^2 = 64$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу:
$V = \frac{64 \cdot 15}{2}$

Выполним умножение в числителе:
$64 \cdot 15 = 960$

Осталось разделить результат на 2, чтобы найти окончательный объём:
$V = \frac{960}{2} = 480$

Так как исходные линейные размеры были даны в сантиметрах (см), то объём измеряется в кубических сантиметрах (см³).

Ответ: 480 см³.

10 Выразите в процентах десятичные дроби: $0.7$; $0.15$; $0.06$; $0.075$; $0.005$.

Чтобы выразить десятичную дробь в процентах, необходимо умножить эту дробь на 100 и добавить знак процента (%). Это действие равносильно переносу запятой в десятичной дроби на два знака вправо.

0,7
Умножаем десятичную дробь 0,7 на 100:
$0,7 \times 100\% = 70\%$
Ответ: 70%.

0,15
Умножаем десятичную дробь 0,15 на 100:
$0,15 \times 100\% = 15\%$
Ответ: 15%.

0,06
Умножаем десятичную дробь 0,06 на 100:
$0,06 \times 100\% = 6\%$
Ответ: 6%.

0,075
Умножаем десятичную дробь 0,075 на 100:
$0,075 \times 100\% = 7,5\%$
Ответ: 7,5%.

0,005
Умножаем десятичную дробь 0,005 на 100:
$0,005 \times 100\% = 0,5\%$
Ответ: 0,5%.

11 Выразите десятичной дробью: 42%, 30%, 8%, 19,3%, 0,7%.

Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, необходимо числовое значение процентов разделить на 100. Это действие равносильно переносу запятой на два знака влево.

42%
Для перевода 42% в десятичную дробь выполним деление на 100.
$42\% = 42 / 100 = 0,42$
Ответ: 0,42.

30%
Для перевода 30% в десятичную дробь выполним деление на 100.
$30\% = 30 / 100 = 0,3$
Ответ: 0,3.

8%
Для перевода 8% в десятичную дробь выполним деление на 100.
$8\% = 8 / 100 = 0,08$
Ответ: 0,08.

19,3%
Для перевода 19,3% в десятичную дробь выполним деление на 100.
$19,3\% = 19,3 / 100 = 0,193$
Ответ: 0,193.

0,7%
Для перевода 0,7% в десятичную дробь выполним деление на 100.
$0,7\% = 0,7 / 100 = 0,007$
Ответ: 0,007.

12 Цена товара 1200 р. Сколько заплатит покупатель за этот товар, если он продаётся со скидкой 3,5%?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Найти размер скидки и вычесть его из цены

1. Сначала вычислим, сколько составляет скидка в рублях. Для этого найдем 3,5% от 1200 рублей. Переведем проценты в десятичную дробь: $3,5\% = 3,5 / 100 = 0,035$.

Сумма скидки: $1200 \cdot 0,035 = 42$ рубля.

2. Теперь вычтем полученную сумму скидки из первоначальной цены товара:

Итоговая цена: $1200 - 42 = 1158$ рублей.

Способ 2: Найти оставшийся процент стоимости

1. Если скидка составляет 3,5%, то покупатель должен заплатить $100\% - 3,5\% = 96,5\%$ от полной стоимости товара.

2. Теперь найдем 96,5% от 1200 рублей. Переведем проценты в десятичную дробь: $96,5\% = 96,5 / 100 = 0,965$.

Итоговая цена: $1200 \cdot 0,965 = 1158$ рублей.

Ответ: 1158 р.

13 На первый курс медицинского колледжа может быть зачислено 60 учащихся. Поданные заявления составили $160\%$ от этого числа. Без собеседования были зачислены $25\%$ поступающих. Сколько человек были зачислены без собеседования?

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить два шага.

1. Найдём общее количество поступающих.

В условии сказано, что количество мест на курсе — 60, а число поданных заявлений составило 160% от этого числа. Чтобы найти общее количество абитуриентов (поступающих), нужно вычислить 160% от 60.

Для этого можно составить пропорцию или перевести проценты в десятичную дробь: $160\% = 1.6$.

Теперь умножим количество мест на полученный коэффициент:

$60 \cdot 1.6 = 96$ (человек)

Итак, всего было 96 поступающих.

2. Найдём количество человек, зачисленных без собеседования.

Согласно условию, без собеседования зачислили 25% от числа поступающих. Мы уже выяснили, что поступающих было 96 человек. Теперь найдём 25% от 96.

Переведём проценты в десятичную дробь: $25\% = 0.25$.

Вычислим количество зачисленных без собеседования:

$96 \cdot 0.25 = 24$ (человека)

Это же вычисление можно провести, зная, что 25% — это одна четверть числа: $96 / 4 = 24$.

Ответ: 24 человека были зачислены без собеседования.

14 В прошлом году в школе училось 600 учащихся, а в этом году их стало 660. На сколько процентов увеличилось число учащихся школы?

Для того чтобы определить, на сколько процентов увеличилось число учащихся, необходимо сначала найти разницу в количестве учащихся, а затем вычислить, какую долю эта разница составляет от первоначального количества учащихся, и выразить эту долю в процентах.

1. Находим абсолютное увеличение числа учащихся

Вычтем из количества учащихся в этом году количество учащихся в прошлом году:

$660 - 600 = 60$ (учащихся)

Число учащихся увеличилось на 60 человек.

2. Рассчитываем процентное увеличение

Теперь нужно определить, сколько процентов составляют 60 учащихся от первоначального количества в 600 учащихся. Первоначальное количество (600) принимается за 100%. Чтобы найти процентное увеличение, нужно абсолютное увеличение разделить на первоначальное значение и умножить на 100%.

Используем формулу:

Процентное увеличение $= \frac{\text{абсолютное увеличение}}{\text{первоначальное значение}} \times 100\%$

Подставляем наши значения:

$\frac{60}{600} \times 100\% = \frac{1}{10} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Следовательно, число учащихся в школе увеличилось на 10%.

Ответ: на 10%.

15 Найдите среднее арифметическое, моду и размах ряда

$4, 5, 5, 7, 5, 7, 9, 12.$

среднее арифметическое

Среднее арифметическое — это сумма всех чисел в ряду, деленная на их количество.
Дан ряд чисел: 4, 5, 5, 7, 5, 7, 9, 12. В этом ряду 8 чисел.
1. Находим сумму всех чисел ряда:
$4 + 5 + 5 + 7 + 5 + 7 + 9 + 12 = 54$
2. Делим полученную сумму на количество чисел:
$54 \div 8 = 6.75$
Ответ: 6.75

мода

Мода — это число, которое встречается в ряду данных чаще всего.
В ряду 4, 5, 5, 7, 5, 7, 9, 12 посчитаем, сколько раз встречается каждое число: число 4 – один раз, число 5 – три раза, число 7 – два раза, а числа 9 и 12 – по одному разу.
Чаще всего (3 раза) встречается число 5. Следовательно, оно и является модой данного ряда.
Ответ: 5

размах

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
В ряду 4, 5, 5, 7, 5, 7, 9, 12:
- Наибольшее значение (максимум) равно 12.
- Наименьшее значение (минимум) равно 4.
Находим размах как разность между максимумом и минимумом:
$12 - 4 = 8$
Ответ: 8