Страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

145 Если автомобиль едет со скоростью $v$ км/ч, то его тормозной путь в метрах можно приближённо вычислить по формуле $s = 0,2v + 0,005v^2$ (тормозной путь автомобиля — это расстояние, которое он проезжает после того, как водитель нажал на тормоз).

a) Вычислите тормозной путь автомобиля, который едет со скоростью 60 км/ч; 100 км/ч.

б) Во сколько раз больше тормозной путь автомобиля при скорости 80 км/ч, чем при скорости 40 км/ч?

$S = ah$

В задаче дана формула для приближенного вычисления тормозного пути $s$ в метрах в зависимости от скорости автомобиля $v$ в км/ч:

$s = 0,2v + 0,005v^2$

а) Вычислите тормозной путь автомобиля, который едет со скоростью 60 км/ч; 100 км/ч.

1. Для скорости $v = 60$ км/ч подставим это значение в формулу:

$s = 0,2 \cdot 60 + 0,005 \cdot 60^2 = 12 + 0,005 \cdot 3600 = 12 + 18 = 30$ м.

2. Для скорости $v = 100$ км/ч выполним аналогичную подстановку:

$s = 0,2 \cdot 100 + 0,005 \cdot 100^2 = 20 + 0,005 \cdot 10000 = 20 + 50 = 70$ м.

Ответ: при скорости 60 км/ч тормозной путь равен 30 м, а при скорости 100 км/ч — 70 м.

б) Во сколько раз больше тормозной путь автомобиля при скорости 80 км/ч, чем при скорости 40 км/ч?

Для ответа на этот вопрос сначала вычислим тормозной путь для каждой из указанных скоростей.

1. Тормозной путь при скорости $v = 80$ км/ч (обозначим его $s_{80}$):

$s_{80} = 0,2 \cdot 80 + 0,005 \cdot 80^2 = 16 + 0,005 \cdot 6400 = 16 + 32 = 48$ м.

2. Тормозной путь при скорости $v = 40$ км/ч (обозначим его $s_{40}$):

$s_{40} = 0,2 \cdot 40 + 0,005 \cdot 40^2 = 8 + 0,005 \cdot 1600 = 8 + 8 = 16$ м.

3. Теперь найдем отношение тормозных путей, чтобы узнать, во сколько раз один больше другого:

$\frac{s_{80}}{s_{40}} = \frac{48}{16} = 3$

Ответ: тормозной путь при скорости 80 км/ч в 3 раза больше, чем при скорости 40 км/ч.

146 Формула $F = 1.8C + 32$ выражает зависимость между температурой в градусах Фаренгейта $(\text{^\circ F})$ и температурой в градусах Цельсия $(\text{^\circ C})$. В России нормальной температурой тела человека считается $36.6^\circ \text{C}$, а в странах, использующих шкалу Фаренгейта, $98.8^\circ \text{F}$. Где в качестве нормальной принята более высокая температура тела человека?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить две указанные температуры, приведя их к одной шкале. Для этого переведем нормальную температуру тела, принятую в России ($36,6^\circ C$), в градусы Фаренгейта, используя данную в условии формулу $F = 1,8C + 32$.

Подставим значение температуры в градусах Цельсия ($C = 36,6$) в формулу:

$F = 1,8 \times 36,6 + 32$

Выполним вычисления:

1. Умножим $1,8$ на $36,6$:

$1,8 \times 36,6 = 65,88$

2. К полученному результату прибавим $32$:

$F = 65,88 + 32 = 97,88$

Таким образом, температура $36,6^\circ C$ эквивалентна $97,88^\circ F$.

Теперь сравним полученное значение с нормальной температурой, принятой в странах, использующих шкалу Фаренгейта, — $98,8^\circ F$.

$97,88^\circ F < 98,8^\circ F$

Следовательно, в странах, использующих шкалу Фаренгейта, в качестве нормальной принята более высокая температура тела человека.

Ответ: В странах, использующих шкалу Фаренгейта.

147 Решите задачу, пользуясь формулой $s = vt$:

а) Скорость автомобиля, движущегося по шоссе, 80 км/ч. За сколько секунд он проезжает расстояние между соседними километровыми столбами?

б) Расстояние между соседними километровыми столбами электропоезд проходит за 1 мин 12 с. Найдите скорость электропоезда, выразив её в километрах в час.

а)

Для решения задачи воспользуемся основной формулой для равномерного движения: $s = vt$, где $s$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Скорость автомобиля $v = 80$ км/ч.
• Расстояние между соседними километровыми столбами $s = 1$ км.

Необходимо найти время $t$ в секундах.

Сначала выразим время из формулы: $t = \frac{s}{v}$.

Подставим известные значения, чтобы рассчитать время в часах:

$t = \frac{1 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = \frac{1}{80}$ часа.

Теперь переведем полученное время из часов в секунды. Мы знаем, что в одном часе содержится 3600 секунд ($1$ час $= 60$ минут $\times 60$ секунд/минута $= 3600$ секунд).

$t = \frac{1}{80} \text{ часа} \times 3600 \frac{\text{секунд}}{\text{час}} = \frac{3600}{80} \text{ с} = 45 \text{ с}$.

Таким образом, автомобиль проезжает расстояние в 1 км за 45 секунд.

Ответ: 45 секунд.

б)

В этой задаче мы также используем формулу $s = vt$.

Известные данные:

• Расстояние между столбами $s = 1$ км.
• Время в пути $t = 1$ мин 12 с.

Необходимо найти скорость электропоезда $v$ и выразить ее в километрах в час (км/ч).

Выразим скорость из формулы: $v = \frac{s}{t}$.

Для того чтобы получить скорость в км/ч, нам нужно, чтобы расстояние было в километрах (что уже так и есть), а время — в часах. Поэтому переведем заданное время в часы.

Сначала переведем время в секунды:

$t = 1 \text{ мин } 12 \text{ с} = 60 \text{ с} + 12 \text{ с} = 72 \text{ с}$.

Теперь переведем 72 секунды в часы, зная, что 1 час = 3600 секунд:

$t = \frac{72}{3600}$ часа.

Сократим полученную дробь: $\frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$.

Итак, $t = \frac{1}{50}$ часа.

Теперь мы можем рассчитать скорость:

$v = \frac{s}{t} = \frac{1 \text{ км}}{\frac{1}{50} \text{ ч}} = 1 \times 50 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 50 \text{ км/ч}$.

Ответ: 50 км/ч.

148 Выразите высоту $h$ из формулы:

а) площади параллелограмма $S = ah$ (рис. 2.4);

б) объёма цилиндра $V = Sh$ (рис. 2.5).

$S = ah$

$h$

$a$

Рис. 2.4

$V = Sh$

$h$

$S$ – площадь основания

Рис. 2.5

а) Дана формула площади параллелограмма $S = ah$. В этом выражении $S$ – это площадь, $a$ – длина основания, а $h$ – высота. Чтобы выразить высоту $h$, необходимо рассматривать это равенство как уравнение, в котором $h$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение ($S$) разделить на известный множитель ($a$). Таким образом, разделив обе части уравнения на $a$, мы получим формулу для высоты:
$h = \frac{S}{a}$
Ответ: $h = \frac{S}{a}$

б) Дана формула объёма цилиндра $V = Sh$. В этом выражении $V$ – это объём, $S$ – площадь основания, а $h$ – высота. Аналогично предыдущему случаю, чтобы выразить высоту $h$, мы рассматриваем ее как неизвестный множитель. Чтобы найти $h$, необходимо произведение, которым является объём $V$, разделить на известный множитель – площадь основания $S$. Таким образом, разделив обе части уравнения на $S$, мы получим формулу для высоты:
$h = \frac{V}{S}$
Ответ: $h = \frac{V}{S}$

149 а) Из формулы площади треугольника

$S = \frac{ah}{2}$ (рис. 2.6) выразите h и а.

б) Из формулы объёма пирамиды $V=\frac{Sh}{3}$

(рис. 2.7) выразите h и S.

$S = \frac{ah}{2}$

h

a

Рис. 2.6

$V = \frac{Sh}{3}$

h

S – площадь основания

Рис. 2.7

а) Дана формула площади треугольника $S = \frac{ah}{2}$. Чтобы выразить из этой формулы переменные $h$ и $a$, необходимо выполнить ряд алгебраических преобразований.

Выразим высоту h:

1. Сначала избавимся от знаменателя в правой части формулы. Для этого умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot S = 2 \cdot \frac{ah}{2}$
$2S = ah$

2. Теперь, чтобы найти $h$, разделим обе части полученного уравнения на $a$ (длину основания):
$\frac{2S}{a} = \frac{ah}{a}$
$h = \frac{2S}{a}$

Выразим основание a:

1. Аналогично предыдущему шагу, начнем с уравнения $2S = ah$.

2. Чтобы найти $a$, разделим обе части этого уравнения на $h$ (высоту):
$\frac{2S}{h} = \frac{ah}{h}$
$a = \frac{2S}{h}$

Ответ: $h = \frac{2S}{a}$, $a = \frac{2S}{h}$.

б) Дана формула объёма пирамиды $V = \frac{Sh}{3}$. Выразим из неё переменные $h$ и $S$.

Выразим высоту h:

1. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3 \cdot V = 3 \cdot \frac{Sh}{3}$
$3V = Sh$

2. Чтобы выразить $h$, разделим обе части полученного уравнения на $S$ (площадь основания):
$\frac{3V}{S} = \frac{Sh}{S}$
$h = \frac{3V}{S}$

Выразим площадь основания S:

1. Вернемся к уравнению, полученному после первого шага: $3V = Sh$.

2. Чтобы найти $S$, разделим обе части этого уравнения на $h$ (высоту):
$\frac{3V}{h} = \frac{Sh}{h}$
$S = \frac{3V}{h}$

Ответ: $h = \frac{3V}{S}$, $S = \frac{3V}{h}$.