Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какое из данных чисел наименьшее?

1) 0,44

2) 0,8

3) $\frac{2}{5}$

4) $\frac{4}{9}$

Чтобы найти наименьшее из предложенных чисел, необходимо привести их все к одному виду. Удобнее всего представить все числа в виде десятичных дробей и затем сравнить их.

1) 0,44

Это число уже записано в виде десятичной дроби.

2) 0,8

Это число также является десятичной дробью.

3) $\frac{2}{5}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно домножить числитель и знаменатель на 2, чтобы получить в знаменателе 10:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

4) $\frac{4}{9}$

Переведем эту дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:

$4 \div 9 = 0,444... = 0,(4)$

Теперь у нас есть четыре числа в десятичном представлении, которые нужно сравнить: 0,44; 0,8; 0,4 и 0,444...

Для наглядности сравнения запишем их, уравняв количество знаков после запятой (где это возможно) до трех:

• $0,440$
• $0,800$
• $0,400$
• $0,444...$

Сравнивая числа поразрядно, начиная с самого старшего разряда (десятых), мы видим, что у числа $0,8$ в разряде десятых стоит цифра 8, а у остальных — 4. Следовательно, $0,8$ — наибольшее число.

Теперь сравним оставшиеся числа: $0,44$, $0,4$ и $0,444...$. У всех у них в разряде десятых стоит 4. Переходим к разряду сотых.

• У числа $0,44$ в разряде сотых стоит 4.
• У числа $0,4$ (которое равно $0,40$) в разряде сотых стоит 0.
• У числа $0,444...$ в разряде сотых стоит 4.

Наименьшая цифра в разряде сотых — это 0, которая принадлежит числу $0,4$. Следовательно, $0,4$ является наименьшим из всех представленных чисел.

Число $0,4$ соответствует исходной дроби $\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

2 Даны дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $. Выберите из данных значений $a$ и $b$ такие, при которых $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $.

1) $a = 16, b = 15$

2) $a = -16, b = -15$

3) $a = -15, b = -16$

4) $a = -15, b = 16$

Для решения задачи необходимо проверить выполнение неравенства $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ для каждой из предложенных пар значений $a$ и $b$.

1) $a = 16, b = 15$

Подставляем значения в неравенство: $\frac{1}{16} > \frac{1}{15}$.

При сравнении двух положительных дробей с одинаковыми числителями, большей является та, у которой знаменатель меньше. Так как $16 > 15$, то $\frac{1}{16} < \frac{1}{15}$. Неравенство не выполняется.

Ответ: неверно.

2) $a = -16, b = -15$

Подставляем значения: $\frac{1}{-16} > \frac{1}{-15}$, что равносильно $-\frac{1}{16} > -\frac{1}{15}$.

Известно, что $\frac{1}{16} < \frac{1}{15}$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число ($-1$), знак неравенства меняется на противоположный. Получаем $-\frac{1}{16} > -\frac{1}{15}$. Неравенство выполняется.

Ответ: верно.

3) $a = -15, b = -16$

Подставляем значения: $\frac{1}{-15} > \frac{1}{-16}$, что равносильно $-\frac{1}{15} > -\frac{1}{16}$.

Известно, что $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$. Умножая обе части на $-1$, получаем $-\frac{1}{15} < -\frac{1}{16}$. Неравенство не выполняется.

Ответ: неверно.

4) $a = -15, b = 16$

Подставляем значения: $\frac{1}{-15} > \frac{1}{16}$.

Слева в неравенстве находится отрицательное число ($-\frac{1}{15}$), а справа — положительное ($\frac{1}{16}$). Любое отрицательное число меньше любого положительного, следовательно, $-\frac{1}{15} < \frac{1}{16}$. Неравенство не выполняется.

Ответ: неверно.

3 Найдите значение выражения $\frac{0.3 \cdot 0.25}{0.45}$.

Для решения данной задачи представим все десятичные дроби в виде обыкновенных дробей. Это упростит вычисления и сокращение.

1. Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

• $0.3 = \frac{3}{10}$
• $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
• $0.45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$

2. Подставим полученные обыкновенные дроби в исходное выражение:

$\frac{0.3 \cdot 0.25}{0.45} = \frac{\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{9}{20}}$

3. Сначала выполним операцию умножения в числителе:

$\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{10 \cdot 4} = \frac{3}{40}$

4. Теперь наше выражение выглядит как деление двух дробей:

$\frac{\frac{3}{40}}{\frac{9}{20}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{3}{40} \div \frac{9}{20} = \frac{3}{40} \cdot \frac{20}{9}$

5. Выполним умножение, предварительно сократив числители и знаменатели:

$\frac{3}{40} \cdot \frac{20}{9} = \frac{3 \cdot 20}{40 \cdot 9} = \frac{3 \cdot 20}{2 \cdot 20 \cdot 3 \cdot 3}$

Сокращаем общие множители (3 и 20):

$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{20}}{2 \cdot \cancel{20} \cdot \cancel{3} \cdot 3} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

4 Даны выражения:

1) $2,37 \div (1,15 \cdot 0,18)$

2) $(2,37 \div 1,15) \cdot 0,18$

3) $2,37 \div (1,15 \div 0,18)$

4) $(2,37 \div 1,15) \div 0,18$

Укажите номера выражений, которые могут быть преобразованы к виду $\frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$.

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений можно преобразовать к виду дроби $\frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$, необходимо проанализировать каждое выражение. Запись в виде дроби $\frac{a}{b \cdot c}$ эквивалентна выражению в строчку $a : (b \cdot c)$.

1) $2,37 : (1,15 \cdot 0,18)$
Это выражение представляет собой деление числа 2,37 на произведение $1,15 \cdot 0,18$. При замене знака деления на черту дроби, делимое (2,37) становится числителем, а делитель ($1,15 \cdot 0,18$) — знаменателем. Таким образом, $2,37 : (1,15 \cdot 0,18) = \frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$. Данное выражение совпадает с требуемым.

2) $(2,37 : 1,15) \cdot 0,18$
Здесь сначала выполняется деление в скобках, а затем умножение. Преобразуем это выражение: $(2,37 : 1,15) \cdot 0,18 = \frac{2,37}{1,15} \cdot 0,18$. При умножении дроби на число, числитель дроби умножается на это число, что приводит к выражению $\frac{2,37 \cdot 0,18}{1,15}$. Этот результат не совпадает с требуемым.

3) $2,37 : (1,15 : 0,18)$
Сначала выполним действие в скобках: $1,15 : 0,18 = \frac{1,15}{0,18}$. Теперь исходное выражение выглядит как $2,37 : \frac{1,15}{0,18}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь: $2,37 \cdot \frac{0,18}{1,15} = \frac{2,37 \cdot 0,18}{1,15}$. Этот результат не совпадает с требуемым.

4) $(2,37 : 1,15) : 0,18$
Порядок действий здесь — слева направо. Сначала $2,37$ делится на $1,15$, а затем результат делится на $0,18$. Запишем это поэтапно: $(2,37 : 1,15) : 0,18 = \frac{2,37}{1,15} : 0,18$. При делении дроби на число, знаменатель дроби умножается на это число. В итоге получаем: $\frac{2,37}{1,15 \cdot 0,18}$. Данное выражение совпадает с требуемым.

Таким образом, выражения под номерами 1 и 4 могут быть преобразованы к заданному виду.

Ответ: 1, 4.

5. Найдите значение выражения $\frac{(a+x)(a-x)}{ax}$ при $a = -2$, $x = -0.2$.

Для нахождения значения выражения $\frac{(a+x)(a-x)}{ax}$ при заданных значениях $a = -2$ и $x = -0,2$, мы можем пойти двумя путями: сразу подставить значения или сначала упростить выражение.

1. Упрощение выражения.

Заметим, что в числителе дроби находится формула разности квадратов: $(a+x)(a-x) = a^2 - x^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

$\frac{a^2 - x^2}{ax}$

Теперь разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{a^2}{ax} - \frac{x^2}{ax}$

Сократим каждую дробь:

$\frac{a}{x} - \frac{x}{a}$

2. Подстановка значений и вычисление.

Теперь подставим значения $a = -2$ и $x = -0,2$ в упрощенное выражение $\frac{a}{x} - \frac{x}{a}$:

$\frac{-2}{-0,2} - \frac{-0,2}{-2}$

Выполним вычисления:

$\frac{-2}{-0,2} = \frac{2}{0,2} = 10$

$\frac{-0,2}{-2} = \frac{0,2}{2} = 0,1$

Теперь выполним вычитание:

$10 - 0,1 = 9,9$

Таким образом, значение выражения равно 9,9.

Ответ: 9,9

6 На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из следующих неравенств неверно?

1) $ \frac{1}{a} < -1 $

2) $ -\frac{1}{a} > 1 $

3) $ \frac{1}{a} < a $

4) $ -\frac{1}{a} < a $

Для решения задачи проанализируем положение числа $a$ на координатной прямой. Из рисунка видно, что число $a$ находится в интервале от -1 до 0, то есть $-1 < a < 0$. Это означает, что $a$ — отрицательное число, модуль которого меньше единицы. Чтобы определить, какое из предложенных неравенств неверно, проверим каждое из них. Для удобства можно использовать тестовое значение из этого интервала, например, $a = -0.5$.

1) $\frac{1}{a} < -1$

Так как $-1 < a < 0$, то $a$ — отрицательное число, и его модуль $|a| < 1$. Когда мы берем обратное число $\frac{1}{a}$, оно также будет отрицательным. При этом его модуль будет больше 1, так как $|\frac{1}{a}| = \frac{1}{|a|} > 1$. Следовательно, число $\frac{1}{a}$ будет меньше, чем -1. Неравенство верно.
Проверим с $a = -0.5$: $\frac{1}{-0.5} < -1$
$-2 < -1$
Неравенство верное.
Ответ: верно.

2) $-\frac{1}{a} > 1$

Это неравенство можно получить из первого ($\frac{1}{a} < -1$), умножив обе его части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{a} \cdot (-1) > -1 \cdot (-1)$
$-\frac{1}{a} > 1$
Неравенство верно.
Проверим с $a = -0.5$:
$-\frac{1}{-0.5} > 1$
$-(-2) > 1$
$2 > 1$
Неравенство верное.
Ответ: верно.

3) $\frac{1}{a} < a$

Из первого пункта мы установили, что $\frac{1}{a} < -1$. Из условия задачи мы знаем, что $-1 < a$. Объединяя эти два неравенства, получаем $\frac{1}{a} < -1 < a$, из чего следует, что $\frac{1}{a} < a$. Неравенство верно.
Проверим с $a = -0.5$:
$\frac{1}{-0.5} < -0.5$
$-2 < -0.5$
Неравенство верное.
Ответ: верно.

4) $-\frac{1}{a} < a$

Из второго пункта мы знаем, что $-\frac{1}{a} > 1$. Это означает, что левая часть неравенства — это положительное число, большее 1. Правая часть неравенства, число $a$, по условию является отрицательным числом ($a < 0$). Положительное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, это неравенство неверно.
Проверим с $a = -0.5$:
$-\frac{1}{-0.5} < -0.5$
$2 < -0.5$
Неравенство неверное.
Ответ: неверно.

Таким образом, неверным является неравенство, представленное под номером 4.

7 Как можно записать короче выражение

$7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 7$ (10 множителей) $\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 5$ (20 множителей)?

1) $7^{10} \cdot 5^{20}$

2) $7^{10} + 5^{20}$

3) $10^7 \cdot 20^5$

4) $10^7 + 20^5$

Чтобы записать данное выражение короче, воспользуемся определением степени числа. Степенью числа a с натуральным показателем n ($n > 1$) называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Это записывается как $a^n$.

В нашем выражении есть две группы множителей.

Первая группа — это произведение числа 7 самого на себя 10 раз.
$\underbrace{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 7}_{10 \text{ множителей}}$
Согласно определению степени, это можно записать как $7^{10}$.

Вторая группа — это произведение числа 5 самого на себя 20 раз.
$\underbrace{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 5}_{20 \text{ множителей}}$
Аналогично, это можно записать как $5^{20}$.

Исходное выражение является произведением этих двух групп. Поэтому, чтобы записать его короче, нужно перемножить полученные степени:
$7^{10} \cdot 5^{20}$

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

1) $7^{10} \cdot 5^{20}$
Этот вариант совпадает с нашим решением.

2) $7^{10} + 5^{20}$
Этот вариант неверный, так как между группами множителей стоит знак умножения, а не сложения.

3) $10^7 \cdot 20^5$
Этот вариант неверный. Здесь основание степени и показатель степени перепутаны местами.

4) $10^7 + 20^5$
Этот вариант неверный по двум причинам: перепутаны основание и показатель, и используется сложение вместо умножения.

Таким образом, правильный вариант — первый.

Ответ: 1

8. Вычислите: $10 \cdot (-0,3)^3$.

Чтобы вычислить значение выражения $10 \cdot (-0,3)^3$, необходимо выполнить действия в соответствии с порядком их выполнения: сначала возведение в степень, а затем умножение.

Шаг 1: Возведение в степень.
Нам нужно возвести число $-0,3$ в третью степень. Это означает умножить число само на себя три раза.
$(-0,3)^3 = (-0,3) \cdot (-0,3) \cdot (-0,3)$
При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае 3) результат будет отрицательным.
Вычислим $0,3^3$:
$0,3 \cdot 0,3 = 0,09$
$0,09 \cdot 0,3 = 0,027$
Следовательно, $(-0,3)^3 = -0,027$.

Шаг 2: Умножение.
Теперь умножим результат, полученный на первом шаге, на 10.
$10 \cdot (-0,027) = -0,27$
При умножении десятичной дроби на 10 запятая сдвигается на один знак вправо.

Таким образом, полное вычисление выглядит так:
$10 \cdot (-0,3)^3 = 10 \cdot (-0,027) = -0,27$

Ответ: $-0,27$.

9 Расположите в порядке возрастания числа: $-1,7$; $(-1,7)^2$; $(-1,7)^3$.

1) $-1,7$; $(-1,7)^2$; $(-1,7)^3$
2) $(-1,7)^3$; $(-1,7)^2$; $-1,7$ 3) $(-1,7)^3$; $-1,7$; $(-1,7)^2$
4) $-1,7$; $(-1,7)^3$; $(-1,7)^2$

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого выражения и сравнить их между собой.

Нам даны три числа: $-1,7$; $(-1,7)^2$; $(-1,7)^3$.

1. Первое число уже представлено в своей конечной форме: $-1,7$.

2. Второе число — это $(-1,7)^2$. Возведение отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) всегда дает положительный результат.

$(-1,7)^2 = (-1,7) \cdot (-1,7) = 1,7 \cdot 1,7 = 2,89$.

3. Третье число — это $(-1,7)^3$. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае в куб) всегда дает отрицательный результат.

$(-1,7)^3 = (-1,7) \cdot (-1,7) \cdot (-1,7) = 2,89 \cdot (-1,7) = -4,913$.

Теперь у нас есть три числовых значения: $-1,7$; $2,89$ и $-4,913$.

Расположим эти значения в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему). Из двух отрицательных чисел меньшим является то, у которого больше модуль. Положительное число всегда больше любого отрицательного.

Сравниваем: $-4,913 < -1,7 < 2,89$.

Теперь заменим полученные значения на их исходные выражения, сохраняя тот же порядок:

$(-1,7)^3 < -1,7 < (-1,7)^2$.

Таким образом, искомая последовательность чисел в порядке возрастания: $(-1,7)^3; -1,7; (-1,7)^2$.

Этот порядок соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $(-1,7)^3; -1,7; (-1,7)^2$

10 Найдите значение выражения $ -(((-1)^{10} - (-1)^{11})^2)$.

1) -4

2) -2

3) 0

4) 4

Чтобы найти значение выражения $ -((-1)^{10} - (-1)^{11})^2 $, необходимо выполнить действия в правильном порядке.

1. Сначала вычислим значения выражений в скобках, начиная со степеней.
Вспомним свойство степеней для отрицательных чисел:

• Число $-1$ в четной степени равно $1$. Поскольку 10 – четное число, то $(-1)^{10} = 1$.
• Число $-1$ в нечетной степени равно $-1$. Поскольку 11 – нечетное число, то $(-1)^{11} = -1$.

2. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$ -((1) - (-1))^2 $

3. Выполним вычитание внутри скобок:
$1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

4. Выражение принимает вид:
$ -(2)^2 $

5. Возводим число 2 в квадрат:
$2^2 = 4$

6. Применяем знак минуса, стоящий перед скобкой:
$-4$

Таким образом, значение выражения равно $-4$.

Ответ: $-4$.

11 Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты.

Дроби: А) $ \frac{3}{5} $ Б) $ \frac{3}{10} $ В) 0,07 Г) 0,7

Проценты: 1) 7% 2) 60% 3) 70% 4) 30%

Чтобы соотнести дроби с соответствующими им процентами, необходимо каждую дробь перевести в проценты. Для этого значение дроби нужно умножить на 100%.

А)

Рассмотрим дробь $\frac{3}{5}$. Сначала преобразуем ее в десятичную дробь: $\frac{3}{5} = 3 \div 5 = 0,6$.

Теперь умножим полученное значение на 100%, чтобы выразить его в виде процентов: $0,6 \times 100\% = 60\%$.

Следовательно, дроби $\frac{3}{5}$ соответствует вариант 2) 60%.

Ответ: А) – 2.

Б)

Рассмотрим дробь $\frac{3}{10}$. В десятичном виде она равна $0,3$.

Переведем ее в проценты, умножив на 100%: $0,3 \times 100\% = 30\%$.

Следовательно, дроби $\frac{3}{10}$ соответствует вариант 4) 30%.

Ответ: Б) – 4.

В)

Рассмотрим десятичную дробь $0,07$. Умножим ее на 100%, чтобы перевести в проценты: $0,07 \times 100\% = 7\%$.

Следовательно, дроби $0,07$ соответствует вариант 1) 7%.

Ответ: В) – 1.

Г)

Рассмотрим десятичную дробь $0,7$. Переведем ее в проценты путем умножения на 100%: $0,7 \times 100\% = 70\%$.

Следовательно, дроби $0,7$ соответствует вариант 3) 70%.

Ответ: Г) – 3.

12 На сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM?

Для решения задачи проанализируем изображение. Большой квадрат ABCD разделен на четыре равных по площади малых квадрата. Квадрат AKLM является одним из этих малых квадратов.

Обозначим площадь малого квадрата AKLM как $S$.
$S_{AKLM} = S$

Поскольку большой квадрат ABCD состоит из четырех таких же квадратов, его площадь в четыре раза больше площади квадрата AKLM.
$S_{ABCD} = 4 \cdot S_{AKLM} = 4S$

Чтобы найти, на сколько процентов площадь квадрата ABCD больше площади квадрата AKLM, необходимо найти разницу между их площадями и определить, какую долю эта разница составляет от площади меньшего квадрата (AKLM), выраженную в процентах.

1. Найдем абсолютную разницу площадей:
$\Delta S = S_{ABCD} - S_{AKLM} = 4S - S = 3S$

2. Вычислим, сколько процентов составляет эта разница от площади квадрата AKLM. Площадь AKLM принимается за 100%.
Процентное увеличение = $\frac{\text{Разница площадей}}{\text{Площадь AKLM}} \cdot 100\% = \frac{3S}{S} \cdot 100\% = 3 \cdot 100\% = 300\%$

Таким образом, площадь квадрата ABCD на 300% больше площади квадрата AKLM.

Ответ: на 300%.

13 На сколько процентов площадь квадрата $AKLM$ меньше площади квадрата $ABCD$?

Для решения этой задачи нужно найти разницу между площадями квадратов ABCD и AKLM и выразить ее в процентах от площади большего квадрата ABCD.

1. Определение соотношения сторон и площадей.

Из рисунка видно, что большой квадрат ABCD разделен на четыре одинаковых малых квадрата. Квадрат AKLM является одним из этих четырех квадратов.

Пусть сторона большого квадрата ABCD равна $a$. Тогда его площадь $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = a^2$

Точки K и M являются серединами сторон AB и AD соответственно. Это означает, что сторона малого квадрата AKLM равна половине стороны большого квадрата:

$AK = AM = \frac{a}{2}$

Тогда площадь малого квадрата AKLM, $S_{AKLM}$, равна:

$S_{AKLM} = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}$

Таким образом, площадь малого квадрата составляет $\frac{1}{4}$ площади большого квадрата.

2. Расчет процентной разницы.

Чтобы найти, на сколько процентов площадь квадрата AKLM меньше площади квадрата ABCD, сначала найдем абсолютную разницу площадей:

$\Delta S = S_{ABCD} - S_{AKLM} = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2$

Теперь выразим эту разницу в процентах от площади большого квадрата $S_{ABCD}$, которую мы принимаем за 100%.

Процентное уменьшение = $\frac{\Delta S}{S_{ABCD}} \times 100\% = \frac{\frac{3}{4}a^2}{a^2} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 75\%$

Альтернативный способ: если площадь $S_{AKLM}$ составляет $\frac{1}{4}$ от $S_{ABCD}$, то в процентах это $0.25 \times 100\% = 25\%$. Чтобы найти, на сколько она меньше, вычитаем это значение из 100%:

$100\% - 25\% = 75\%$

Ответ: на 75%.

14 Издательство выпустило 10 наименований книг для взрослых и 40 наименований книг для детей.

Сколько процентов всех книг составляют книги для взрослых?

1) $10\%$

2) $15\%$

3) $20\%$

4) $25\%$

Для того чтобы определить, сколько процентов от общего количества выпущенных книг составляют книги для взрослых, необходимо выполнить два основных шага.

Сначала найдем общее количество наименований книг. Для этого сложим количество наименований книг для взрослых и количество наименований книг для детей:

$10 + 40 = 50$

Таким образом, издательство всего выпустило 50 наименований книг.

Теперь, чтобы найти процентное соотношение, нужно количество книг для взрослых разделить на общее количество книг и умножить полученный результат на 100%.

Процент книг для взрослых = $(\frac{\text{Количество книг для взрослых}}{\text{Общее количество книг}}) \times 100\%$

Подставим числовые значения в формулу:

$(\frac{10}{50}) \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Следовательно, книги для взрослых составляют 20% от всех выпущенных книг. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) 20%

15 Цена акции за неделю понизилась на 10% и стала равной 3 р. 60 к. Сколько стоила акция неделю назад?

1) 4 р.

2) 3 р. 96 к.

3) 3 р. 24 к.

4) 36 р.

Пусть $x$ — это первоначальная цена акции. Эту цену мы принимаем за 100%.
Согласно условию, цена акции понизилась на 10%. Следовательно, новая цена составляет:
$100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной цены.
Новая цена равна 3 р. 60 к. Для удобства вычислений переведем эту сумму в рубли:
$3 \text{ р. } 60 \text{ к.} = 3.6 \text{ р.}$
Теперь мы можем составить пропорцию, чтобы найти первоначальную цену $x$:
$x$ рублей — это 100%
$3.6$ рубля — это 90%
Из пропорции получаем уравнение:
$\frac{x}{100} = \frac{3.6}{90}$
Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения:
$x = \frac{3.6 \cdot 100}{90}$
$x = \frac{360}{90}$
$x = 4$
Таким образом, первоначальная цена акции составляла 4 рубля.
Ответ: 4 р.

16 Седьмой класс писал контрольную работу по геометрии. В результате выяснилось, что 14 человек решили все 3 задачи контрольной работы, 11 человек решили 2 задачи, 5 человек – 1 задачу и 3 человека не решили ни одной задачи. Определите среднее число задач, решённых одним учеником.

1) $1\frac{1}{3}$

2) 2

3) $2\frac{1}{11}$

4) 3

Для определения среднего числа задач, решённых одним учеником, необходимо общее количество решённых задач разделить на общее количество учеников.

1. Найдём общее количество учеников, писавших контрольную работу. Для этого сложим количество учеников из всех групп:

$14 \text{ человек} + 11 \text{ человек} + 5 \text{ человек} + 3 \text{ человека} = 33 \text{ ученика}$

2. Теперь рассчитаем общее количество решённых задач. Для этого умножим количество учеников в каждой группе на число решённых ими задач и просуммируем результаты:

$(14 \times 3) + (11 \times 2) + (5 \times 1) + (3 \times 0) = 42 + 22 + 5 + 0 = 69 \text{ задач}$

3. Найдём среднее число задач, разделив общее количество решённых задач на общее количество учеников:

$\text{Среднее число задач} = \frac{\text{Общее количество решённых задач}}{\text{Общее количество учеников}} = \frac{69}{33}$

4. Сократим полученную дробь. И числитель 69, и знаменатель 33 делятся на 3:

$\frac{69 \div 3}{33 \div 3} = \frac{23}{11}$

5. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$\frac{23}{11} = 2\frac{1}{11}$

Ответ: $2\frac{1}{11}$