Номер 6, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 1. Дроби и проценты - номер 6, страница 42.

6 На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из следующих неравенств неверно?

1) $ \frac{1}{a} < -1 $

2) $ -\frac{1}{a} > 1 $

3) $ \frac{1}{a} < a $

4) $ -\frac{1}{a} < a $

Для решения задачи проанализируем положение числа $a$ на координатной прямой. Из рисунка видно, что число $a$ находится в интервале от -1 до 0, то есть $-1 < a < 0$. Это означает, что $a$ — отрицательное число, модуль которого меньше единицы. Чтобы определить, какое из предложенных неравенств неверно, проверим каждое из них. Для удобства можно использовать тестовое значение из этого интервала, например, $a = -0.5$.

1) $\frac{1}{a} < -1$

Так как $-1 < a < 0$, то $a$ — отрицательное число, и его модуль $|a| < 1$. Когда мы берем обратное число $\frac{1}{a}$, оно также будет отрицательным. При этом его модуль будет больше 1, так как $|\frac{1}{a}| = \frac{1}{|a|} > 1$. Следовательно, число $\frac{1}{a}$ будет меньше, чем -1. Неравенство верно.
Проверим с $a = -0.5$: $\frac{1}{-0.5} < -1$
$-2 < -1$
Неравенство верное.
Ответ: верно.

2) $-\frac{1}{a} > 1$

Это неравенство можно получить из первого ($\frac{1}{a} < -1$), умножив обе его части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{a} \cdot (-1) > -1 \cdot (-1)$
$-\frac{1}{a} > 1$
Неравенство верно.
Проверим с $a = -0.5$:
$-\frac{1}{-0.5} > 1$
$-(-2) > 1$
$2 > 1$
Неравенство верное.
Ответ: верно.

3) $\frac{1}{a} < a$

Из первого пункта мы установили, что $\frac{1}{a} < -1$. Из условия задачи мы знаем, что $-1 < a$. Объединяя эти два неравенства, получаем $\frac{1}{a} < -1 < a$, из чего следует, что $\frac{1}{a} < a$. Неравенство верно.
Проверим с $a = -0.5$:
$\frac{1}{-0.5} < -0.5$
$-2 < -0.5$
Неравенство верное.
Ответ: верно.

4) $-\frac{1}{a} < a$

Из второго пункта мы знаем, что $-\frac{1}{a} > 1$. Это означает, что левая часть неравенства — это положительное число, большее 1. Правая часть неравенства, число $a$, по условию является отрицательным числом ($a < 0$). Положительное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, это неравенство неверно.
Проверим с $a = -0.5$:
$-\frac{1}{-0.5} < -0.5$
$2 < -0.5$
Неравенство неверное.
Ответ: неверно.

Таким образом, неверным является неравенство, представленное под номером 4.