Страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

122 Найдите значение выражения при заданных значениях пере-менных:

а) $ \frac{(x + y)^2}{x - y} $ при $x = -7, y = 3$; при $x = 9, y = 11$;

б) $ \frac{a^3 - b^3}{a b} $ при $a = 5, b = -1$; при $a = -2, b = 3$.

а)
Вычислим значение выражения $\frac{(x+y)^2}{x-y}$ для двух пар переменных.

1. При $x = -7$ и $y = 3$:
Подставим значения в выражение:
$\frac{(-7+3)^2}{-7-3} = \frac{(-4)^2}{-10} = \frac{16}{-10} = -1.6$
Ответ: -1.6

2. При $x = 9$ и $y = 11$:
Подставим значения в выражение:
$\frac{(9+11)^2}{9-11} = \frac{20^2}{-2} = \frac{400}{-2} = -200$
Ответ: -200

б)
Вычислим значение выражения $\frac{a^3-b^3}{ab}$ для двух пар переменных.

1. При $a = 5$ и $b = -1$:
Подставим значения в выражение:
$\frac{5^3 - (-1)^3}{5 \cdot (-1)} = \frac{125 - (-1)}{-5} = \frac{125+1}{-5} = \frac{126}{-5} = -25.2$
Ответ: -25.2

2. При $a = -2$ и $b = 3$:
Подставим значения в выражение:
$\frac{(-2)^3 - 3^3}{(-2) \cdot 3} = \frac{-8 - 27}{-6} = \frac{-35}{-6} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6}$
Ответ: $5\frac{5}{6}$

123. Сравните значения выражений:

a) $-\frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^3$ И $-\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^3;$

б) $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 - \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{2}$ И $\left(-\frac{1}{5}\right)^3 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{5}.$

а) Чтобы сравнить значения выражений, необходимо вычислить значение каждого из них.

1. Вычислим значение первого выражения: $A = -\frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^3$.
Сначала возведем в степень: $\left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$ и $\left(-\frac{1}{4}\right)^3 = -\frac{1}{64}$.
Подставим значения в выражение: $A = -\frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 64:
$A = -\frac{1 \cdot 16}{4 \cdot 16} + \frac{1 \cdot 4}{16 \cdot 4} - \frac{1}{64} = -\frac{16}{64} + \frac{4}{64} - \frac{1}{64} = \frac{-16+4-1}{64} = -\frac{13}{64}$.

2. Вычислим значение второго выражения: $B = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^3$.
Возводим в степень: $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ и $\left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$.
Подставим значения в выражение: $B = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - (-\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 27:
$B = -\frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27} = -\frac{9}{27} - \frac{3}{27} + \frac{1}{27} = \frac{-9-3+1}{27} = -\frac{11}{27}$.

3. Сравним полученные результаты: $A = -\frac{13}{64}$ и $B = -\frac{11}{27}$.
Чтобы сравнить две отрицательные дроби, нужно сравнить их модули. Чем меньше модуль, тем больше число. Сравним $|\frac{13}{64}|$ и $|\frac{11}{27}|$. Используем перекрестное умножение:
$13 \times 27 = 351$
$11 \times 64 = 704$
Поскольку $351 < 704$, то $|\frac{13}{64}| < |\frac{11}{27}|$.
Следовательно, $-\frac{13}{64} > -\frac{11}{27}$.
Ответ: $-\frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^3 > -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^3$.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычислим значения выражений.

1. Вычислим значение первого выражения: $C = \left(-\frac{1}{2}\right)^5 - \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{2}$.
Возводим в степень: $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32}$ и $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$.
Подставим значения: $C = -\frac{1}{32} - (-\frac{1}{8}) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{32} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 32:
$C = -\frac{1}{32} + \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{1}{32} + \frac{4}{32} - \frac{16}{32} = \frac{-1+4-16}{32} = -\frac{13}{32}$.

2. Вычислим значение второго выражения: $D = \left(-\frac{1}{5}\right)^3 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{5}$.
Возводим в степень: $\left(-\frac{1}{5}\right)^3 = -\frac{1}{125}$ и $\left(-\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$.
Подставим значения: $D = -\frac{1}{125} - \frac{1}{25} - \frac{1}{5}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 125:
$D = -\frac{1}{125} - \frac{1 \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 25}{5 \cdot 25} = -\frac{1}{125} - \frac{5}{125} - \frac{25}{125} = \frac{-1-5-25}{125} = -\frac{31}{125}$.

3. Сравним полученные результаты: $C = -\frac{13}{32}$ и $D = -\frac{31}{125}$.
Сравним модули дробей $|\frac{13}{32}|$ и $|\frac{31}{125}|$ с помощью перекрестного умножения:
$13 \times 125 = 1625$
$32 \times 31 = 992$
Поскольку $1625 > 992$, то $|\frac{13}{32}| > |\frac{31}{125}|$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, число с большим модулем будет меньше. Следовательно, $-\frac{13}{32} < -\frac{31}{125}$.
Ответ: $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 - \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{2} < \left(-\frac{1}{5}\right)^3 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{5}$.

124 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $-0,11$, $(-0,11)^2$, $(-0,11)^3$, $(-0,11)^4$;

б) $(\frac{1}{3})^{30}$, $(-\frac{1}{5})^{30}$, $-(\frac{1}{7})^{30}$.

а)

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо определить их знаки и сравнить их значения. Даны числа: $-0,11$; $(-0,11)^2$; $(-0,11)^3$; $(-0,11)^4$.

1. Определим знак каждого числа. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным, а в нечетную — отрицательным.
- Число $-0,11$ — отрицательное.
- Число $(-0,11)^2$ — положительное, так как степень 2 (четная). $(-0,11)^2 = 0,11^2 = 0,0121$.
- Число $(-0,11)^3$ — отрицательное, так как степень 3 (нечетная). $(-0,11)^3 = -0,11^3 = -0,001331$.
- Число $(-0,11)^4$ — положительное, так как степень 4 (четная). $(-0,11)^4 = 0,11^4 = 0,00014641$.

2. Сравним отрицательные числа: $-0,11$ и $(-0,11)^3 = -0,001331$.
Сравниваем их модули: $|-0,11| = 0,11$ и $|-0,001331| = 0,001331$.
Поскольку $0,11 > 0,001331$, то для отрицательных чисел соотношение обратное: $-0,11 < -0,001331$.
Значит, самое маленькое число — это $-0,11$.

3. Сравним положительные числа: $(-0,11)^2 = 0,0121$ и $(-0,11)^4 = 0,00014641$.
Рассмотрим основание $0,11$. Так как $0 < 0,11 < 1$, то при увеличении степени значение положительного числа будет уменьшаться.
Следовательно, $0,11^2 > 0,11^4$.
То есть, $(-0,11)^2 > (-0,11)^4$.

4. Теперь объединим все числа в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные (от меньшего к большему), затем положительные (также от меньшего к большему).
$-0,11 < (-0,11)^3 < (-0,11)^4 < (-0,11)^2$.

Ответ: $-0,11$; $(-0,11)^3$; $(-0,11)^4$; $(-0,11)^2$.

б)

Даны числа: $(\frac{1}{3})^{30}$; $(-\frac{1}{5})^{30}$; $-(\frac{1}{7})^{30}$.

1. Определим знак каждого числа.
- Число $(\frac{1}{3})^{30}$ является положительным, так как это степень положительного числа.
- Число $(-\frac{1}{5})^{30}$ является положительным, так как отрицательное основание возводится в четную степень (30). $(-\frac{1}{5})^{30} = (\frac{1}{5})^{30}$.
- Число $-(\frac{1}{7})^{30}$ является отрицательным, так как это число, противоположное положительному числу $(\frac{1}{7})^{30}$.

2. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому наименьшим числом в данном наборе является $-(\frac{1}{7})^{30}$.

3. Теперь сравним два положительных числа: $(\frac{1}{3})^{30}$ и $(-\frac{1}{5})^{30} = (\frac{1}{5})^{30}$.
Для сравнения степеней с одинаковыми положительными показателями достаточно сравнить их основания.
Сравним основания $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.
Так как $3 < 5$, то для обратных величин выполняется неравенство $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.
Поскольку основания положительны, то при возведении в одну и ту же положительную степень (30) знак неравенства сохранится.
Следовательно, $(\frac{1}{3})^{30} > (\frac{1}{5})^{30}$.

4. Расположим числа в порядке возрастания.
$-(\frac{1}{7})^{30} < (\frac{1}{5})^{30} < (\frac{1}{3})^{30}$.
Заменив $(\frac{1}{5})^{30}$ на исходное выражение $(-\frac{1}{5})^{30}$, получаем окончательный порядок:
$-(\frac{1}{7})^{30} < (-\frac{1}{5})^{30} < (\frac{1}{3})^{30}$.

Ответ: $-(\frac{1}{7})^{30}$; $(-\frac{1}{5})^{30}$; $(\frac{1}{3})^{30}$.

125 Изюм, получаемый при сушке винограда, составляет $32\%$ его массы.

а) Сколько изюма получится из 5 кг винограда?

б) Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?

а) Чтобы найти, сколько изюма получится из 5 кг винограда, нужно найти 32% от 5 кг. Для этого сначала переведем проценты в десятичную дробь, разделив на 100.

$32\% = 32 / 100 = 0.32$

Теперь умножим массу винограда на полученную десятичную дробь, чтобы найти массу изюма:

$5 \text{ кг} \cdot 0.32 = 1.6 \text{ кг}$

Ответ: из 5 кг винограда получится 1.6 кг изюма.

б) В этом случае нам известно, что 2 кг изюма составляют 32% от исходной массы винограда. Нам нужно найти целое (100%) по его части (32%, что равно 2 кг). Обозначим искомую массу винограда за $x$.

Можно составить пропорцию:

$x \text{ кг винограда} - 100\%$

$2 \text{ кг изюма} - 32\%$

Из пропорции находим $x$:

$x = \frac{2 \cdot 100}{32} = \frac{200}{32}$

Сократим дробь и вычислим значение:

$x = \frac{200}{32} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6.25 \text{ кг}$

Другой способ — это разделить массу изюма на долю, которую он составляет от массы винограда:

$2 \text{ кг} / 0.32 = 6.25 \text{ кг}$

Ответ: чтобы получить 2 кг изюма, потребуется 6.25 кг винограда.

126 a) Банк выплачивает владельцу денежного вклада 8% годовых. Какую сумму надо положить в банк, чтобы по истечении года получить доход в 1000 р.?

б) Магазин предлагает за 2000 р. дисконтную карту на год, которая даёт право на 10% скидки при покупке товаров в этом магазине. На какую минимальную сумму необходимо приобрести товаров за этот год, чтобы покупка дисконтной карты оправдалась?

а) Пусть искомая сумма вклада равна $S$. Процентная ставка по вкладу составляет 8% годовых, что в виде десятичной дроби равно $0,08$. Доход, полученный за год, равен произведению суммы вклада на годовую процентную ставку. По условию, этот доход должен составить 1000 рублей.
Составим и решим уравнение:
$S \times 0,08 = 1000$
Чтобы найти $S$, нужно разделить доход на процентную ставку:
$S = \frac{1000}{0,08}$
$S = 12500$
Таким образом, чтобы получить доход в 1000 рублей за год, нужно положить в банк 12500 рублей.
Ответ: 12500 р.

б) Пусть $X$ — это минимальная общая стоимость покупок, при которой покупка дисконтной карты становится выгодной. Стоимость карты составляет 2000 рублей. Карта дает скидку 10%, или $0,1$ от суммы покупок.
Покупка карты "оправдается", если общая сумма скидки за год будет не меньше стоимости самой карты. Минимальная необходимая сумма покупок соответствует случаю, когда общая скидка равна стоимости карты.
Сумма скидки вычисляется по формуле: $X \times 0,1$.
Приравняем сумму скидки к стоимости карты:
$X \times 0,1 = 2000$
Теперь найдем $X$:
$X = \frac{2000}{0,1}$
$X = 20000$
Следовательно, чтобы покупка дисконтной карты оправдалась, необходимо приобрести товаров на минимальную сумму 20000 рублей.
Ответ: 20000 р.

127 Среди участников кросса 35% — студенты, остальные — старшеклассники, причём их на 252 человека больше, чем студентов. Сколько спортсменов участвует в кроссе?

Пусть общее количество участников кросса равно $X$.

Из условия задачи известно, что 35% участников — студенты. Следовательно, их количество составляет $0.35X$.

Остальные участники — старшеклассники. Найдем их долю в процентах:

$100\% - 35\% = 65\%$

Таким образом, количество старшеклассников составляет $0.65X$.

По условию, старшеклассников на 252 человека больше, чем студентов. Это можно записать в виде уравнения:

(количество старшеклассников) - (количество студентов) = 252

$0.65X - 0.35X = 252$

Решим полученное уравнение:

$0.30X = 252$

$X = \frac{252}{0.30}$

$X = \frac{2520}{3}$

$X = 840$

Следовательно, общее количество спортсменов, участвующих в кроссе, равно 840.

Ответ: 840 спортсменов.

128 После повышения цены на 30% книга стала стоить 182 р.
Сколько стоила книга до повышения цены?

Для решения этой задачи обозначим первоначальную цену книги за $x$ рублей. Эта цена соответствует 100%.

После повышения цены на 30%, новая цена стала составлять $100\% + 30\% = 130\%$ от первоначальной цены.

Новая цена известна и равна 182 рубля. Мы можем составить пропорцию, чтобы найти первоначальную цену $x$:

$x$ рублей — $100\%$
182 рубля — $130\%$

Из пропорции следует уравнение:

$\frac{x}{182} = \frac{100}{130}$

Выразим $x$:

$x = \frac{182 \cdot 100}{130}$

Сократим дробь, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе:

$x = \frac{182 \cdot 10}{13}$

Теперь выполним вычисления:

$x = \frac{1820}{13}$

$x = 140$

Таким образом, первоначальная стоимость книги составляла 140 рублей.

Проверка:
Найдем 30% от первоначальной цены: $140 \cdot 0,30 = 42$ рубля.
Прибавим эту сумму к первоначальной цене: $140 + 42 = 182$ рубля.
Полученная цена совпадает с ценой, указанной в условии, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 140 р.

129 Школьная баскетбольная команда из 16 игр, сыгранных на соревнованиях за год, выиграла 12. В следующем году она планирует сыграть на соревнованиях 22 игры. Сколько игр ей надо выиграть, чтобы её результат в процентном отношении оказался по крайней мере не хуже?

Для решения задачи сначала необходимо определить процент побед команды в прошлом году. Команда сыграла 16 игр и выиграла 12 из них.

Процентное отношение выигранных игр к общему числу игр вычисляется по формуле:

$ \text{Процент побед} = \frac{\text{Количество побед}}{\text{Общее количество игр}} \times 100\% $

В прошлом году этот показатель составил:

$ \frac{12}{16} \times 100\% = \frac{3}{4} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\% $

Условие "результат в процентном отношении оказался по крайней мере не хуже" означает, что новый процент побед должен быть больше или равен прошлогоднему, то есть не менее 75%.

В следующем году команда планирует сыграть 22 игры. Пусть $x$ — это минимальное количество игр, которые команде нужно выиграть. Тогда доля побед в следующем году составит $ \frac{x}{22} $.

Составим и решим неравенство, чтобы найти $x$:

$ \frac{x}{22} \ge \frac{12}{16} $

Упростим правую часть:

$ \frac{x}{22} \ge \frac{3}{4} $

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 22:

$ x \ge \frac{3 \times 22}{4} $

$ x \ge \frac{66}{4} $

$ x \ge 16.5 $

Поскольку количество выигранных игр может быть только целым числом, а оно должно быть больше или равно 16.5, то наименьшее подходящее целое число — это 17.

Таким образом, чтобы результат в процентном отношении был не хуже, чем в прошлом году, команде необходимо выиграть как минимум 17 игр.

Ответ: 17 игр.