Номер 124, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Дроби и проценты - номер 124, страница 38.

124 Расположите в порядке возрастания числа:

a) $-0,11$, $(-0,11)^2$, $(-0,11)^3$, $(-0,11)^4$;

б) $(\frac{1}{3})^{30}$, $(-\frac{1}{5})^{30}$, $-(\frac{1}{7})^{30}$.

а)

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо определить их знаки и сравнить их значения. Даны числа: $-0,11$; $(-0,11)^2$; $(-0,11)^3$; $(-0,11)^4$.

1. Определим знак каждого числа. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным, а в нечетную — отрицательным.
- Число $-0,11$ — отрицательное.
- Число $(-0,11)^2$ — положительное, так как степень 2 (четная). $(-0,11)^2 = 0,11^2 = 0,0121$.
- Число $(-0,11)^3$ — отрицательное, так как степень 3 (нечетная). $(-0,11)^3 = -0,11^3 = -0,001331$.
- Число $(-0,11)^4$ — положительное, так как степень 4 (четная). $(-0,11)^4 = 0,11^4 = 0,00014641$.

2. Сравним отрицательные числа: $-0,11$ и $(-0,11)^3 = -0,001331$.
Сравниваем их модули: $|-0,11| = 0,11$ и $|-0,001331| = 0,001331$.
Поскольку $0,11 > 0,001331$, то для отрицательных чисел соотношение обратное: $-0,11 < -0,001331$.
Значит, самое маленькое число — это $-0,11$.

3. Сравним положительные числа: $(-0,11)^2 = 0,0121$ и $(-0,11)^4 = 0,00014641$.
Рассмотрим основание $0,11$. Так как $0 < 0,11 < 1$, то при увеличении степени значение положительного числа будет уменьшаться.
Следовательно, $0,11^2 > 0,11^4$.
То есть, $(-0,11)^2 > (-0,11)^4$.

4. Теперь объединим все числа в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные (от меньшего к большему), затем положительные (также от меньшего к большему).
$-0,11 < (-0,11)^3 < (-0,11)^4 < (-0,11)^2$.

Ответ: $-0,11$; $(-0,11)^3$; $(-0,11)^4$; $(-0,11)^2$.

б)

Даны числа: $(\frac{1}{3})^{30}$; $(-\frac{1}{5})^{30}$; $-(\frac{1}{7})^{30}$.

1. Определим знак каждого числа.
- Число $(\frac{1}{3})^{30}$ является положительным, так как это степень положительного числа.
- Число $(-\frac{1}{5})^{30}$ является положительным, так как отрицательное основание возводится в четную степень (30). $(-\frac{1}{5})^{30} = (\frac{1}{5})^{30}$.
- Число $-(\frac{1}{7})^{30}$ является отрицательным, так как это число, противоположное положительному числу $(\frac{1}{7})^{30}$.

2. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому наименьшим числом в данном наборе является $-(\frac{1}{7})^{30}$.

3. Теперь сравним два положительных числа: $(\frac{1}{3})^{30}$ и $(-\frac{1}{5})^{30} = (\frac{1}{5})^{30}$.
Для сравнения степеней с одинаковыми положительными показателями достаточно сравнить их основания.
Сравним основания $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$.
Так как $3 < 5$, то для обратных величин выполняется неравенство $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.
Поскольку основания положительны, то при возведении в одну и ту же положительную степень (30) знак неравенства сохранится.
Следовательно, $(\frac{1}{3})^{30} > (\frac{1}{5})^{30}$.

4. Расположим числа в порядке возрастания.
$-(\frac{1}{7})^{30} < (\frac{1}{5})^{30} < (\frac{1}{3})^{30}$.
Заменив $(\frac{1}{5})^{30}$ на исходное выражение $(-\frac{1}{5})^{30}$, получаем окончательный порядок:
$-(\frac{1}{7})^{30} < (-\frac{1}{5})^{30} < (\frac{1}{3})^{30}$.

Ответ: $-(\frac{1}{7})^{30}$; $(-\frac{1}{5})^{30}$; $(\frac{1}{3})^{30}$.