Номер 117, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Дроби и проценты - номер 117, страница 37.

117 Сравните дроби:

а) $ \frac{1,4 \cdot 6 \cdot 0,28}{0,24 \cdot 0,2 \cdot 21} $ и $ \frac{6,9 \cdot 9,6 \cdot 0,05}{4 \cdot 0,36} $;

б) $ \frac{1,5 \cdot 0,084}{0,18 \cdot 3,6} $ и $ \frac{0,27 \cdot 0,05}{0,062 \cdot 0,75} $.

а)

Чтобы сравнить дроби $\frac{1.4 \cdot 6 \cdot 0.28}{0.24 \cdot 0.2 \cdot 21}$ и $\frac{6.9 \cdot 9.6 \cdot 0.05}{4 \cdot 0.36}$, мы сначала упростим каждую из них.

1. Упростим первую дробь. Чтобы избавиться от десятичных знаков, умножим числитель и знаменатель на 1000 (так как $1.4$ имеет один знак после запятой, $0.28$ — два, $0.24$ — два и $0.2$ — один, общее число знаков в числителе и знаменателе совпадает и равно 3): $\frac{1.4 \cdot 6 \cdot 0.28}{0.24 \cdot 0.2 \cdot 21} = \frac{1.4 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 0.28 \cdot 100}{0.24 \cdot 100 \cdot 0.2 \cdot 10 \cdot 21} = \frac{14 \cdot 6 \cdot 28}{24 \cdot 2 \cdot 21}$. Теперь выполним сокращение: $\frac{14 \cdot 6 \cdot 28}{24 \cdot 2 \cdot 21} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot 6 \cdot 28}{(4 \cdot 6) \cdot 2 \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{28}{4 \cdot 3} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.

2. Упростим вторую дробь: $\frac{6.9 \cdot 9.6 \cdot 0.05}{4 \cdot 0.36}$. Выполним сокращение, разделив $9.6$ на $4$: $\frac{6.9 \cdot (2.4 \cdot 4) \cdot 0.05}{4 \cdot 0.36} = \frac{6.9 \cdot 2.4 \cdot 0.05}{0.36}$. Теперь вычислим произведение в числителе: $2.4 \cdot 0.05 = 0.12$. Получаем: $\frac{6.9 \cdot 0.12}{0.36}$. Сократим дробь $\frac{0.12}{0.36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$. Окончательно: $6.9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6.9}{3} = 2.3$.

3. Сравним полученные результаты: $\frac{7}{3}$ и $2.3$. Преобразуем $2.3$ в обыкновенную дробь: $2.3 = \frac{23}{10}$. Теперь сравним $\frac{7}{3}$ и $\frac{23}{10}$. Для этого приведем их к общему знаменателю $30$: $\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{70}{30}$. $\frac{23}{10} = \frac{23 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{69}{30}$. Так как $70 > 69$, то $\frac{70}{30} > \frac{69}{30}$, а значит $\frac{7}{3} > 2.3$.

Ответ: $\frac{1.4 \cdot 6 \cdot 0.28}{0.24 \cdot 0.2 \cdot 21} > \frac{6.9 \cdot 9.6 \cdot 0.05}{4 \cdot 0.36}$.

б)

Чтобы сравнить дроби $\frac{1.5 \cdot 0.084}{0.18 \cdot 3.6}$ и $\frac{0.27 \cdot 0.05}{0.062 \cdot 0.75}$, мы также упростим каждую из них.

1. Упростим первую дробь, сгруппировав множители для удобства: $\frac{1.5 \cdot 0.084}{0.18 \cdot 3.6} = \frac{1.5}{0.18} \cdot \frac{0.084}{3.6}$. Упростим каждую из полученных дробей: $\frac{1.5}{0.18} = \frac{150}{18} = \frac{25 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{25}{3}$. $\frac{0.084}{3.6} = \frac{84}{3600} = \frac{12 \cdot 7}{12 \cdot 300} = \frac{7}{300}$. Теперь перемножим результаты: $\frac{25}{3} \cdot \frac{7}{300} = \frac{25 \cdot 7}{3 \cdot (12 \cdot 25)} = \frac{7}{3 \cdot 12} = \frac{7}{36}$.

2. Упростим вторую дробь, используя тот же метод группировки: $\frac{0.27 \cdot 0.05}{0.062 \cdot 0.75} = \frac{0.27}{0.75} \cdot \frac{0.05}{0.062}$. Упростим каждую из дробей: $\frac{0.27}{0.75} = \frac{27}{75} = \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 25} = \frac{9}{25}$. $\frac{0.05}{0.062} = \frac{50}{62} = \frac{25}{31}$. Перемножим результаты: $\frac{9}{25} \cdot \frac{25}{31} = \frac{9}{31}$.

3. Сравним полученные дроби: $\frac{7}{36}$ и $\frac{9}{31}$. Для сравнения дробей используем перекрестное умножение. Сравним произведения $7 \cdot 31$ и $9 \cdot 36$. $7 \cdot 31 = 217$. $9 \cdot 36 = 324$. Так как $217 < 324$, то $\frac{7}{36} < \frac{9}{31}$.

Ответ: $\frac{1.5 \cdot 0.084}{0.18 \cdot 3.6} < \frac{0.27 \cdot 0.05}{0.062 \cdot 0.75}$.