Номер 112, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Последняя цифра степени. Глава 1. Дроби и проценты - номер 112, страница 36.

112 Назовите какое-нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой. Приведите еще примеры таких чисел.

Для того чтобы любая натуральная степень числа оканчивалась на одну и ту же цифру, необходимо, чтобы последняя цифра этого числа обладала таким свойством. Последняя цифра результата возведения в степень зависит только от последней цифры основания. Пусть $x$ — искомое число, а $d$ — его последняя цифра. Тогда последняя цифра числа $x^n$ (где $n$ — любое натуральное число) будет такой же, как последняя цифра числа $d^n$. Нам нужно найти такие цифры $d$, отличные от 0 и 1, для которых $d^n$ всегда оканчивается на $d$.

Проанализируем поведение последних цифр степеней для цифр от 2 до 9:

• Степени чисел, оканчивающихся на 2, 3, 4, 7, 8, 9, имеют циклически меняющиеся последние цифры. Например, для числа, оканчивающегося на 2: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$ (последняя цифра 6), $2^5=32$ (последняя цифра 2). Цикл последних цифр: 2, 4, 8, 6.
• Степени чисел, оканчивающихся на 5, всегда оканчиваются на 5. Например, $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$.
• Степени чисел, оканчивающихся на 6, всегда оканчиваются на 6. Например, $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$.

Из анализа видно, что только числа, оканчивающиеся на 5 или 6, удовлетворяют условию задачи (помимо 0 и 1, которые исключены).

Назовите какое-нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой.
Примером такого числа является 5. Любая его натуральная степень ($5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$ и так далее) оканчивается на цифру 5.

Приведите ещё примеры таких чисел.
Другими примерами являются все числа, оканчивающиеся на 5 или 6. Например: 6 (все его степени оканчиваются на 6), 15, 16, 25, 36, 105, 116.

Ответ: 5. Ещё примеры: 6, 15, 16, 25, 36.