Номер 108, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Последняя цифра степени. Глава 1. Дроби и проценты - номер 108, страница 36.

108 Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 3? Какой цифрой оканчивается число: $3^{10}$; $3^{15}$; $3^{120}$; $3^{126}$?

Чтобы определить, какими цифрами могут оканчиваться степени числа 3, рассмотрим несколько первых степеней и проследим за последней цифрой результата. Последняя цифра произведения двух чисел зависит только от последних цифр этих чисел.

• $3^1 = 3$. Последняя цифра – 3.
• $3^2 = 9$. Последняя цифра – 9.
• $3^3 = 27$. Последняя цифра – 7.
• $3^4 = 81$. Последняя цифра – 1.
• $3^5 = 243$. Последняя цифра – 3.
• $3^6 = 729$. Последняя цифра – 9.

Как видно, последние цифры степеней числа 3 повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Это означает, что при возведении числа 3 в степень, результат может оканчиваться только на одну из этих четырех цифр.

Ответ: Числа, получающиеся при возведении в степень числа 3, могут оканчиваться цифрами 3, 9, 7, 1.

Теперь определим, какой цифрой оканчивается каждое из указанных чисел. Для этого нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.

• Если остаток равен 1, то последняя цифра будет 3 (как у $3^1$).
• Если остаток равен 2, то последняя цифра будет 9 (как у $3^2$).
• Если остаток равен 3, то последняя цифра будет 7 (как у $3^3$).
• Если остаток равен 0 (т.е. показатель степени делится на 4 без остатка), то последняя цифра будет 1 (как у $3^4$).

$3^{10}$

Найдем остаток от деления показателя степени 10 на 4.
$10 \div 4 = 2$ (остаток 2).
Остаток 2 соответствует второй цифре в цикле (3, 9, 7, 1), то есть 9.

Ответ: 9.

$3^{15}$

Найдем остаток от деления показателя степени 15 на 4.
$15 \div 4 = 3$ (остаток 3).
Остаток 3 соответствует третьей цифре в цикле (3, 9, 7, 1), то есть 7.

Ответ: 7.

$3^{120}$

Найдем остаток от деления показателя степени 120 на 4.
$120 \div 4 = 30$ (остаток 0).
Остаток 0 соответствует четвертой цифре в цикле (3, 9, 7, 1), то есть 1.

Ответ: 1.

$3^{126}$

Найдем остаток от деления показателя степени 126 на 4.
$126 \div 4 = 31$ (остаток 2).
Остаток 2 соответствует второй цифре в цикле (3, 9, 7, 1), то есть 9.

Ответ: 9.