Номер 111, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Последняя цифра степени. Глава 1. Дроби и проценты - номер 111, страница 36.

111 Докажите, что числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой. Укажите ещё какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.

Докажите, что числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой.

Чтобы определить последнюю цифру степени числа, нужно найти закономерность в последних цифрах начальных степеней этого числа. Рассмотрим степени числа 3:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
• $3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
• $3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Следовательно, последняя цифра числа $3^n$ зависит от остатка от деления показателя $n$ на 4.

• Если $n \equiv 1 \pmod{4}$, последняя цифра — 3.
• Если $n \equiv 2 \pmod{4}$, последняя цифра — 9.
• Если $n \equiv 3 \pmod{4}$, последняя цифра — 7.
• Если $n \equiv 0 \pmod{4}$, последняя цифра — 1.

Теперь найдем остаток от деления на 4 для каждого из показателей: 33, 333 и 3333. Для определения остатка от деления числа на 4 достаточно рассмотреть число, образованное его двумя последними цифрами.

• Для 33: $33 = 4 \times 8 + 1 \implies 33 \equiv 1 \pmod{4}$.
• Для 333: остаток от деления 333 на 4 такой же, как у 33, то есть $333 \equiv 33 \equiv 1 \pmod{4}$.
• Для 3333: остаток от деления 3333 на 4 такой же, как у 33, то есть $3333 \equiv 33 \equiv 1 \pmod{4}$.

Поскольку все три показателя степени (33, 333 и 3333) дают остаток 1 при делении на 4, все три числа ($3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$) оканчиваются на одну и ту же цифру, соответствующую остатку 1. Это первая цифра в цикле — 3.

Ответ: Все три числа оканчиваются на цифру 3, так как их показатели степени при делении на 4 дают одинаковый остаток, равный 1.

Укажите ещё какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.

Мы ищем степень числа 3, которая оканчивается на цифру 3. Как было показано выше, это происходит, когда показатель степени при делении на 4 дает в остатке 1. То есть, нам нужно найти число $n$ (отличное от 33, 333, 3333) такое, что $n \equiv 1 \pmod{4}$.

Возьмем простой случай, например, $n=5$. Проверим: $5 = 4 \times 1 + 1$, то есть $5 \equiv 1 \pmod{4}$. Вычислим $3^5$: $3^5 = 243$. Это число действительно оканчивается на 3. Другим простым примером является $3^1=3$.

Ответ: $3^5$.