Номер 107, страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.5. Статистические характеристики. Глава 1. Дроби и проценты - номер 107, страница 35.

107 Исследуем

1) Вычислите среднее арифметическое ряда

2, 8, 16, 24, 30, 40.

Используя полученный результат, попробуйте догадаться, чему равны средние арифметические следующих рядов:

а) 12, 18, 26, 34, 40, 50;

б) 20, 80, 160, 240, 300, 400.

Проверьте себя с помощью вычислений.

2) Как изменится среднее арифметическое ряда, если:

а) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число;

б) все члены ряда умножить на одно и то же положительное число?

Изменятся ли при этом мода и размах?

1)

Среднее арифметическое ряда чисел — это сумма этих чисел, деленная на их количество. Вычислим среднее арифметическое для исходного ряда: 2, 8, 16, 24, 30, 40.

Количество членов ряда $n = 6$.

Сумма членов ряда: $S = 2 + 8 + 16 + 24 + 30 + 40 = 120$.

Среднее арифметическое: $M = \frac{S}{n} = \frac{120}{6} = 20$.

Теперь, используя этот результат, проанализируем следующие ряды.

а) 12, 18, 26, 34, 40, 50;

Сравним этот ряд с исходным. Каждый член нового ряда на 10 больше соответствующего члена исходного ряда: $12 = 2 + 10$; $18 = 8 + 10$; $26 = 16 + 10$; $34 = 24 + 10$; $40 = 30 + 10$; $50 = 40 + 10$.

Можно предположить, что среднее арифметическое этого ряда также будет на 10 больше, чем у исходного. Предполагаемое среднее арифметическое: $20 + 10 = 30$.

Проверка:

Сумма членов нового ряда: $12 + 18 + 26 + 34 + 40 + 50 = 180$.

Среднее арифметическое: $\frac{180}{6} = 30$.

Предположение оказалось верным.

Ответ: Среднее арифметическое исходного ряда равно 20. Среднее арифметическое ряда а) равно 30.

б) 20, 80, 160, 240, 300, 400.

Сравним этот ряд с исходным (2, 8, 16, 24, 30, 40). Каждый член нового ряда в 10 раз больше соответствующего члена исходного ряда: $20 = 2 \cdot 10$; $80 = 8 \cdot 10$; $160 = 16 \cdot 10$; $240 = 24 \cdot 10$; $300 = 30 \cdot 10$; $400 = 40 \cdot 10$.

Можно предположить, что среднее арифметическое этого ряда также будет в 10 раз больше, чем у исходного. Предполагаемое среднее арифметическое: $20 \cdot 10 = 200$.

Проверка:

Сумма членов нового ряда: $20 + 80 + 160 + 240 + 300 + 400 = 1200$.

Среднее арифметическое: $\frac{1200}{6} = 200$.

Предположение оказалось верным.

Ответ: Среднее арифметическое ряда б) равно 200.

2)

Обобщим наблюдения из пункта 1. Пусть у нас есть ряд чисел $x_1, x_2, ..., x_n$. Его среднее арифметическое равно $M = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$.

а) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число;

Пусть к каждому члену ряда прибавили число $c$. Новый ряд будет: $x_1+c, x_2+c, ..., x_n+c$. Найдем его среднее арифметическое $M_{new}$: $M_{new} = \frac{(x_1+c) + (x_2+c) + ... + (x_n+c)}{n} = \frac{(x_1+x_2+...+x_n) + n \cdot c}{n} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} + \frac{n \cdot c}{n} = M + c$.

Ответ: Если ко всем членам ряда прибавить одно и то же число $c$, то среднее арифметическое ряда увеличится на это же число $c$.

б) все члены ряда умножить на одно и то же положительное число;

Пусть каждый член ряда умножили на число $k$. Новый ряд будет: $k \cdot x_1, k \cdot x_2, ..., k \cdot x_n$. Найдем его среднее арифметическое $M_{new}$: $M_{new} = \frac{k \cdot x_1 + k \cdot x_2 + ... + k \cdot x_n}{n} = \frac{k \cdot (x_1+x_2+...+x_n)}{n} = k \cdot (\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}) = k \cdot M$.

Ответ: Если все члены ряда умножить на одно и то же положительное число $k$, то среднее арифметическое ряда умножится на это же число $k$.

Изменятся ли при этом мода и размах?

Мода — это значение в ряду, которое встречается чаще всего.

• При прибавлении числа $c$ к каждому члену ряда, каждый член изменится, включая и моду. Новая мода будет равна $M_o + c$, где $M_o$ — старая мода. Таким образом, мода изменится.
• При умножении каждого члена ряда на число $k$, новая мода будет равна $M_o \cdot k$, где $M_o$ — старая мода. Таким образом, мода изменится.

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда. Пусть $x_{max}$ — максимальное значение, а $x_{min}$ — минимальное. Размах $R = x_{max} - x_{min}$.

• При прибавлении числа $c$ к каждому члену ряда, новое максимальное значение станет $x_{max}+c$, а новое минимальное — $x_{min}+c$. Новый размах $R_{new} = (x_{max}+c) - (x_{min}+c) = x_{max} - x_{min} = R$. Размах не изменится.
• При умножении каждого члена ряда на положительное число $k$, новое максимальное значение станет $k \cdot x_{max}$, а новое минимальное — $k \cdot x_{min}$. Новый размах $R_{new} = k \cdot x_{max} - k \cdot x_{min} = k \cdot (x_{max} - x_{min}) = k \cdot R$. Размах изменится (умножится на $k$).

Ответ: При прибавлении ко всем членам ряда одного и того же числа мода изменится (увеличится на это число), а размах не изменится. При умножении всех членов ряда на одно и то же положительное число изменятся и мода, и размах (умножатся на это число).