Номер 113, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.6. Последняя цифра степени. Глава 1. Дроби и проценты - номер 113, страница 37.

113 Сформулируйте условие, при котором числа $4^m$ и $4^n$, где $m \in N, n \in N, m \neq n$, оканчиваются одной и той же цифрой.

Чтобы определить условие, при котором числа $4^m$ и $4^n$ оканчиваются на одну и ту же цифру, проанализируем, как меняется последняя цифра степеней числа 4.

Рассмотрим несколько первых натуральных степеней числа 4 и их последние цифры:

• $4^1 = 4$
• $4^2 = 16$ (оканчивается на 6)
• $4^3 = 64$ (оканчивается на 4)
• $4^4 = 256$ (оканчивается на 6)
• $4^5 = 1024$ (оканчивается на 4)

Из этого ряда видно, что последняя цифра степеней числа 4 циклически повторяется с периодом 2. А именно:

• Если показатель степени — нечетное число ($k = 1, 3, 5, \dots$), то число $4^k$ оканчивается на цифру 4.
• Если показатель степени — четное число ($k = 2, 4, 6, \dots$), то число $4^k$ оканчивается на цифру 6.

Следовательно, числа $4^m$ и $4^n$ будут оканчиваться одной и той же цифрой в двух случаях:

1. Оба числа оканчиваются на 4. Это произойдет, если оба показателя степени, $m$ и $n$, являются нечетными числами.
2. Оба числа оканчиваются на 6. Это произойдет, если оба показателя степени, $m$ и $n$, являются четными числами.

Таким образом, для того чтобы числа $4^m$ и $4^n$ (где $m, n \in \mathbb{N}$, $m \neq n$) оканчивались на одну и ту же цифру, необходимо и достаточно, чтобы показатели степеней $m$ и $n$ имели одинаковую четность.

Математически это условие можно записать как $m \equiv n \pmod{2}$, что означает, что числа $m$ и $n$ дают одинаковый остаток при делении на 2. Это эквивалентно тому, что их разность $(m-n)$ является четным числом.

Ответ: Числа $4^m$ и $4^n$ оканчиваются одной и той же цифрой при условии, что показатели степеней $m$ и $n$ имеют одинаковую четность, то есть либо оба являются четными, либо оба являются нечетными.