Номер 119, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Дроби и проценты - номер 119, страница 37.

119 Вычислите и запишите ответ в виде десятичной дроби:

а) $\frac{\frac{4,5}{10,5} + \frac{10,5}{4,5}}{\frac{4,5}{10,5} - \frac{10,5}{4,5}}$

б) $\frac{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} + \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} - \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}$

a)

Рассмотрим выражение $\frac{\frac{4,5}{10,5} + \frac{10,5}{4,5}}{\frac{4,5}{10,5} - \frac{10,5}{4,5}}$.

Можно заметить, что это выражение имеет вид $\frac{A + B}{A - B}$, где $A = \frac{4,5}{10,5}$ и $B = \frac{10,5}{4,5}$.

Для упрощения введем обозначения $x = 4,5$ и $y = 10,5$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$

Приведем к общему знаменателю дроби в числителе и знаменателе основного выражения.

Числитель: $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

Знаменатель: $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходную дробь:

$\frac{\frac{x^2 + y^2}{xy}}{\frac{x^2 - y^2}{xy}} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

Теперь подставим числовые значения $x=4,5$ и $y=10,5$.

$x^2 = 4,5^2 = 20,25$

$y^2 = 10,5^2 = 110,25$

Подставим значения квадратов в упрощенное выражение:

$\frac{20,25 + 110,25}{20,25 - 110,25} = \frac{130,5}{-90}$

Выполним деление, чтобы получить десятичную дробь:

$\frac{130,5}{-90} = -1,45$

Ответ: -1,45

б)

Рассмотрим выражение $\frac{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} + \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}{\frac{0,5 - 1}{0,5 + 1} - \frac{0,5 + 1}{0,5 - 1}}$.

Для упрощения сначала вычислим значения выражений в числителях и знаменателях внутренних дробей. Обозначим $x = 0,5 - 1$ и $y = 0,5 + 1$.

$x = 0,5 - 1 = -0,5$

$y = 0,5 + 1 = 1,5$

Теперь выражение можно переписать в виде:

$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$

Это выражение аналогично выражению из пункта а), и его можно упростить до вида:

$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

Теперь вычислим квадраты $x$ и $y$:

$x^2 = (-0,5)^2 = 0,25$

$y^2 = (1,5)^2 = 2,25$

Подставим полученные значения в упрощенное выражение:

$\frac{0,25 + 2,25}{0,25 - 2,25} = \frac{2,5}{-2}$

Выполним деление:

$\frac{2,5}{-2} = -1,25$

Ответ: -1,25