Номер 123, страница 38 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Дроби и проценты - номер 123, страница 38.

123. Сравните значения выражений:

a) $-\frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^3$ И $-\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^3;$

б) $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 - \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{2}$ И $\left(-\frac{1}{5}\right)^3 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{5}.$

а) Чтобы сравнить значения выражений, необходимо вычислить значение каждого из них.

1. Вычислим значение первого выражения: $A = -\frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^3$.
Сначала возведем в степень: $\left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$ и $\left(-\frac{1}{4}\right)^3 = -\frac{1}{64}$.
Подставим значения в выражение: $A = -\frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 64:
$A = -\frac{1 \cdot 16}{4 \cdot 16} + \frac{1 \cdot 4}{16 \cdot 4} - \frac{1}{64} = -\frac{16}{64} + \frac{4}{64} - \frac{1}{64} = \frac{-16+4-1}{64} = -\frac{13}{64}$.

2. Вычислим значение второго выражения: $B = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^3$.
Возводим в степень: $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ и $\left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$.
Подставим значения в выражение: $B = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - (-\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 27:
$B = -\frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27} = -\frac{9}{27} - \frac{3}{27} + \frac{1}{27} = \frac{-9-3+1}{27} = -\frac{11}{27}$.

3. Сравним полученные результаты: $A = -\frac{13}{64}$ и $B = -\frac{11}{27}$.
Чтобы сравнить две отрицательные дроби, нужно сравнить их модули. Чем меньше модуль, тем больше число. Сравним $|\frac{13}{64}|$ и $|\frac{11}{27}|$. Используем перекрестное умножение:
$13 \times 27 = 351$
$11 \times 64 = 704$
Поскольку $351 < 704$, то $|\frac{13}{64}| < |\frac{11}{27}|$.
Следовательно, $-\frac{13}{64} > -\frac{11}{27}$.
Ответ: $-\frac{1}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^3 > -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right)^3$.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычислим значения выражений.

1. Вычислим значение первого выражения: $C = \left(-\frac{1}{2}\right)^5 - \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{2}$.
Возводим в степень: $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32}$ и $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$.
Подставим значения: $C = -\frac{1}{32} - (-\frac{1}{8}) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{32} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 32:
$C = -\frac{1}{32} + \frac{1 \cdot 4}{8 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{1}{32} + \frac{4}{32} - \frac{16}{32} = \frac{-1+4-16}{32} = -\frac{13}{32}$.

2. Вычислим значение второго выражения: $D = \left(-\frac{1}{5}\right)^3 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{5}$.
Возводим в степень: $\left(-\frac{1}{5}\right)^3 = -\frac{1}{125}$ и $\left(-\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$.
Подставим значения: $D = -\frac{1}{125} - \frac{1}{25} - \frac{1}{5}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 125:
$D = -\frac{1}{125} - \frac{1 \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 25}{5 \cdot 25} = -\frac{1}{125} - \frac{5}{125} - \frac{25}{125} = \frac{-1-5-25}{125} = -\frac{31}{125}$.

3. Сравним полученные результаты: $C = -\frac{13}{32}$ и $D = -\frac{31}{125}$.
Сравним модули дробей $|\frac{13}{32}|$ и $|\frac{31}{125}|$ с помощью перекрестного умножения:
$13 \times 125 = 1625$
$32 \times 31 = 992$
Поскольку $1625 > 992$, то $|\frac{13}{32}| > |\frac{31}{125}|$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, число с большим модулем будет меньше. Следовательно, $-\frac{13}{32} < -\frac{31}{125}$.
Ответ: $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 - \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{1}{2} < \left(-\frac{1}{5}\right)^3 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 - \frac{1}{5}$.