Номер 116, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Дроби и проценты - номер 116, страница 37.

116 В числителе дроби запишите произведение всех натуральных чётных чисел, меньших 10, а в знаменателе — произведение всех натуральных нечётных чисел, меньших 10. Сократите по-лученную дробь и сравните её с дробью $\frac{1}{3}$.

Согласно условию задачи, в числитель дроби запишем произведение всех натуральных чётных чисел, меньших 10, а в знаменатель — произведение всех натуральных нечётных чисел, меньших 10.

Натуральные чётные числа, меньшие 10: 2, 4, 6, 8.
Их произведение: $2 \times 4 \times 6 \times 8 = 384$.

Натуральные нечётные числа, меньшие 10: 1, 3, 5, 7, 9.
Их произведение: $1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9 = 945$.

Таким образом, исходная дробь: $$ \frac{384}{945} $$

Сократите полученную дробь

Чтобы сократить дробь $ \frac{384}{945} $, найдём наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. Для этого разложим числа 384 и 945 на простые множители.

$384 = 2 \times 192 = 2 \times 2 \times 96 = 2^3 \times 48 = 2^4 \times 24 = 2^5 \times 12 = 2^6 \times 6 = 2^7 \times 3$

$945 = 3 \times 315 = 3 \times 3 \times 105 = 3^3 \times 35 = 3^3 \times 5 \times 7$

Единственный общий простой множитель — это 3. Следовательно, НОД(384, 945) = 3.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $$ \frac{384 \div 3}{945 \div 3} = \frac{128}{315} $$ Полученная дробь $ \frac{128}{315} $ является несократимой, так как у чисел 128 ($2^7$) и 315 ($3^3 \times 5 \times 7$) нет общих простых множителей.

Ответ: $ \frac{128}{315} $.

и сравните её с дробью $ \frac{1}{3} $

Нам нужно сравнить дроби $ \frac{128}{315} $ и $ \frac{1}{3} $.

Для этого приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель — 315.
Найдём дополнительный множитель для дроби $ \frac{1}{3} $: $315 \div 3 = 105$.

Приведём дробь $ \frac{1}{3} $ к знаменателю 315: $$ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 105}{3 \times 105} = \frac{105}{315} $$

Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $ \frac{128}{315} $ и $ \frac{105}{315} $.
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.
Так как $128 > 105$, то $ \frac{128}{315} > \frac{105}{315} $.

Следовательно, $ \frac{128}{315} > \frac{1}{3} $.

Ответ: полученная дробь $ \frac{128}{315} $ больше, чем дробь $ \frac{1}{3} $.