Номер 100, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.5. Статистические характеристики. Глава 1. Дроби и проценты - номер 100, страница 33.

100 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Средняя масса волнистых попугайчиков школьного живого уголка 42 г. Масса попугайчика Кеши равна 43 г. Верны ли следующие утверждения?

а) Все попугайчики, кроме Кеши, имеют массу 42 г.

б) Масса каждого попугайчика, кроме Кеши, меньше 42 г.

в) В живом уголке есть попугайчик, масса которого меньше 42 г.

г) В живом уголке есть попугайчик, масса которого равна 41 г.

Для решения этой задачи проанализируем каждое утверждение, используя основные понятия статистики, в частности, определение среднего арифметического.

Пусть $n$ — общее количество попугайчиков в живом уголке, а $m_1, m_2, ..., m_n$ — их массы. Средняя масса, по условию, равна 42 г. Это значит:

$M_{ср} = \frac{m_1 + m_2 + ... + m_n}{n} = 42$

Отсюда, суммарная масса всех попугайчиков: $S_{общ} = m_1 + m_2 + ... + m_n = 42n$.

Масса одного попугайчика, Кеши, известна и равна $m_{К} = 43$ г.

а) Все попугайчики, кроме Кеши, имеют массу 42 г.

Предположим, что это утверждение верно. Тогда в живом уголке есть Кеша массой 43 г и еще $n-1$ попугайчиков, масса каждого из которых 42 г. Найдем суммарную массу всех попугайчиков при таком условии:

$S_{общ} = m_{К} + (n-1) \times 42 = 43 + 42n - 42 = 42n + 1$ г.

Теперь вычислим среднюю массу:

$M_{ср} = \frac{S_{общ}}{n} = \frac{42n + 1}{n} = 42 + \frac{1}{n}$ г.

Полученное значение $42 + \frac{1}{n}$ всегда больше 42, что противоречит условию задачи, где средняя масса равна ровно 42 г. Следовательно, это утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

б) Масса каждого попугайчика, кроме Кеши, меньше 42 г.

Это утверждение не обязательно является верным. Средняя масса всех попугаев, кроме Кеши, действительно меньше 42 г. Сумма их масс равна $S_{ост} = 42n - 43$. Их средняя масса равна $M_{ср\_ост} = \frac{42n - 43}{n-1} = \frac{42(n-1) - 1}{n-1} = 42 - \frac{1}{n-1}$.

Однако то, что средняя масса группы меньше 42 г, не означает, что масса каждого члена группы меньше 42 г. Рассмотрим контрпример. Пусть всего попугайчиков три ($n=3$).

Их общая масса: $S_{общ} = 3 \times 42 = 126$ г.

Масса Кеши — 43 г. Значит, сумма масс двух других попугайчиков ($m_1$ и $m_2$) равна $126 - 43 = 83$ г.

Можно подобрать такие массы, которые в сумме дают 83 г, но при этом одна из них не будет меньше 42 г. Например, пусть масса одного попугайчика $m_1 = 42.5$ г (что больше 42 г), а другого $m_2 = 40.5$ г (что меньше 42 г). Условия задачи выполнены, но утверждение "масса каждого попугайчика, кроме Кеши, меньше 42 г" — ложно.

Ответ: Неверно.

в) В живом уголке есть попугайчик, масса которого меньше 42 г.

Это утверждение верно. Средняя масса составляет 42 г. Один из попугайчиков, Кеша, имеет массу 43 г, что больше среднего значения. Чтобы "уравновесить" его "избыточную" массу и получить среднее значение 42 г, в группе должен быть хотя бы один попугайчик с массой меньше 42 г.

Докажем от противного. Предположим, что все остальные попугайчики (кроме Кеши) имеют массу, равную или большую 42 г ($m_i \ge 42$ г). Тогда общая масса всех попугайчиков будет:

$S_{общ} = m_К + \sum_{i \neq К} m_i \ge 43 + (n-1) \times 42 = 43 + 42n - 42 = 42n + 1$

А средняя масса будет:

$M_{ср} = \frac{S_{общ}}{n} \ge \frac{42n + 1}{n} = 42 + \frac{1}{n}$

Это противоречит условию, что средняя масса равна 42 г. Следовательно, наше предположение неверно, и обязательно есть попугайчик с массой меньше 42 г.

Ответ: Верно.

г) В живом уголке есть попугайчик, масса которого равна 41 г.

Это утверждение не обязательно верно. Хотя мы и доказали, что есть попугайчик с массой меньше 42 г, его масса не обязана быть ровно 41 г.

Рассмотрим случай, когда в живом уголке всего два попугайчика ($n=2$). Их общая масса $2 \times 42 = 84$ г. Если масса Кеши 43 г, то масса второго попугайчика должна быть $84 - 43 = 41$ г. В этом частном случае утверждение верно.

Однако, если попугайчиков больше, это не гарантировано. Возьмем пример из пункта (б), где $n=3$. Сумма масс двух попугайчиков, кроме Кеши, равна 83 г. Их массы могут быть $m_1 = 41.5$ г и $m_2 = 41.5$ г. В этом случае ни у одного из них масса не равна 41 г. Так как можно привести контрпример, утверждение в общем случае неверно.

Ответ: Неверно.