Страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Директор фирмы решил начать борьбу с курением и провёл анализ заболеваемости своих сотрудников. Он выписал число рабочих дней, пропущенных в течение года по болезни каждым сотрудником, предварительно разбив сотрудников на две группы — курящие и некурящие. Получились такие результаты:

Курящие: 7, 5, 2, 6, 4, 4, 6, 7, 9, 7, 0, 8, 11, 8.

Некурящие: 3, 3, 6, 0, 3, 6, 2, 2, 4, 5, 13, 4, 3, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 4.

Директор сделал по этим результатам убедительные выводы о вреде курения. Сделайте и вы то же самое.

Для того чтобы сделать убедительные выводы о вреде курения на основе представленных данных, необходимо проанализировать статистические показатели для каждой группы и сравнить их между собой. Основными показателями для сравнения будут среднее арифметическое, медиана и общее количество пропущенных дней.

Анализ группы "Курящие"

Исходные данные (количество пропущенных дней): 7, 5, 2, 6, 4, 4, 6, 7, 9, 7, 0, 8, 11, 8.
1. Количество сотрудников в группе: $n_1 = 14$ человек.
2. Общее число пропущенных дней: $S_1 = 7 + 5 + 2 + 6 + 4 + 4 + 6 + 7 + 9 + 7 + 0 + 8 + 11 + 8 = 84$ дня.
3. Среднее арифметическое числа пропущенных дней: Это среднее количество дней, которое один курящий сотрудник пропускает за год. $ \bar{x}_1 = \frac{S_1}{n_1} = \frac{84}{14} = 6 $ дней.
4. Медиана: Чтобы найти медиану, упорядочим ряд данных по возрастанию: 0, 2, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 11. Так как в ряду четное число элементов (14), медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений (7-го и 8-го): $ M_1 = \frac{6 + 7}{2} = 6.5 $ дней.

Ответ: В среднем каждый курящий сотрудник пропустил по болезни 6 дней в году. Медианное значение составляет 6.5 дней, что показывает, что половина курящих сотрудников болела 6.5 дней или больше.

Анализ группы "Некурящие"

Исходные данные (количество пропущенных дней): 3, 3, 6, 0, 3, 6, 2, 2, 4, 5, 13, 4, 3, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 4.
1. Количество сотрудников в группе: $n_2 = 20$ человек.
2. Общее число пропущенных дней: $S_2 = 3 + 3 + 6 + 0 + 3 + 6 + 2 + 2 + 4 + 5 + 13 + 4 + 3 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 4 = 80$ дней.
3. Среднее арифметическое числа пропущенных дней: $ \bar{x}_2 = \frac{S_2}{n_2} = \frac{80}{20} = 4 $ дня.
4. Медиана: Упорядочим ряд данных по возрастанию: 0, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 13. В ряду 20 элементов, поэтому медиана равна среднему арифметическому 10-го и 11-го значений: $ M_2 = \frac{3 + 4}{2} = 3.5 $ дня.

Ответ: В среднем каждый некурящий сотрудник пропустил по болезни 4 дня в году. Медианное значение составляет 3.5 дня, что показывает, что половина некурящих сотрудников болела 3.5 дня или меньше.

Сравнение групп и выводы

Сравнивая полученные результаты, можно сделать следующие убедительные выводы:

1. Среднее число пропущенных дней у курящих ($6$) на 50% выше, чем у некурящих ($4$). Это означает, что в среднем курящий сотрудник отсутствует на работе из-за болезни на 2 дня в год дольше, чем некурящий.

2. Медианное значение у курящих ($6.5$) почти в два раза выше, чем у некурящих ($3.5$). Это говорит о том, что "типичный" курящий сотрудник болеет значительно чаще, чем "типичный" некурящий. Медиана является более устойчивым показателем, так как на нее меньше влияет единичный случай длительной болезни (например, 13 дней у одного из некурящих).

3. Суммарные потери рабочего времени. Несмотря на то, что курящих сотрудников в выборке меньше (14 человек против 20), они суммарно пропустили больше рабочих дней (84 дня против 80). Это наглядно демонстрирует экономический ущерб для фирмы от курения сотрудников.

Ответ: Статистический анализ однозначно показывает, что курящие сотрудники болеют чаще и дольше, чем некурящие. Это приводит к большим потерям рабочего времени и подтверждает тезис о вреде курения как для здоровья самих сотрудников, так и для эффективности работы фирмы.

107 Исследуем

1) Вычислите среднее арифметическое ряда

2, 8, 16, 24, 30, 40.

Используя полученный результат, попробуйте догадаться, чему равны средние арифметические следующих рядов:

а) 12, 18, 26, 34, 40, 50;

б) 20, 80, 160, 240, 300, 400.

Проверьте себя с помощью вычислений.

2) Как изменится среднее арифметическое ряда, если:

а) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число;

б) все члены ряда умножить на одно и то же положительное число?

Изменятся ли при этом мода и размах?

1)

Среднее арифметическое ряда чисел — это сумма этих чисел, деленная на их количество. Вычислим среднее арифметическое для исходного ряда: 2, 8, 16, 24, 30, 40.

Количество членов ряда $n = 6$.

Сумма членов ряда: $S = 2 + 8 + 16 + 24 + 30 + 40 = 120$.

Среднее арифметическое: $M = \frac{S}{n} = \frac{120}{6} = 20$.

Теперь, используя этот результат, проанализируем следующие ряды.

а) 12, 18, 26, 34, 40, 50;

Сравним этот ряд с исходным. Каждый член нового ряда на 10 больше соответствующего члена исходного ряда: $12 = 2 + 10$; $18 = 8 + 10$; $26 = 16 + 10$; $34 = 24 + 10$; $40 = 30 + 10$; $50 = 40 + 10$.

Можно предположить, что среднее арифметическое этого ряда также будет на 10 больше, чем у исходного. Предполагаемое среднее арифметическое: $20 + 10 = 30$.

Проверка:

Сумма членов нового ряда: $12 + 18 + 26 + 34 + 40 + 50 = 180$.

Среднее арифметическое: $\frac{180}{6} = 30$.

Предположение оказалось верным.

Ответ: Среднее арифметическое исходного ряда равно 20. Среднее арифметическое ряда а) равно 30.

б) 20, 80, 160, 240, 300, 400.

Сравним этот ряд с исходным (2, 8, 16, 24, 30, 40). Каждый член нового ряда в 10 раз больше соответствующего члена исходного ряда: $20 = 2 \cdot 10$; $80 = 8 \cdot 10$; $160 = 16 \cdot 10$; $240 = 24 \cdot 10$; $300 = 30 \cdot 10$; $400 = 40 \cdot 10$.

Можно предположить, что среднее арифметическое этого ряда также будет в 10 раз больше, чем у исходного. Предполагаемое среднее арифметическое: $20 \cdot 10 = 200$.

Проверка:

Сумма членов нового ряда: $20 + 80 + 160 + 240 + 300 + 400 = 1200$.

Среднее арифметическое: $\frac{1200}{6} = 200$.

Предположение оказалось верным.

Ответ: Среднее арифметическое ряда б) равно 200.

2)

Обобщим наблюдения из пункта 1. Пусть у нас есть ряд чисел $x_1, x_2, ..., x_n$. Его среднее арифметическое равно $M = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$.

а) ко всем членам ряда прибавить одно и то же число;

Пусть к каждому члену ряда прибавили число $c$. Новый ряд будет: $x_1+c, x_2+c, ..., x_n+c$. Найдем его среднее арифметическое $M_{new}$: $M_{new} = \frac{(x_1+c) + (x_2+c) + ... + (x_n+c)}{n} = \frac{(x_1+x_2+...+x_n) + n \cdot c}{n} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} + \frac{n \cdot c}{n} = M + c$.

Ответ: Если ко всем членам ряда прибавить одно и то же число $c$, то среднее арифметическое ряда увеличится на это же число $c$.

б) все члены ряда умножить на одно и то же положительное число;

Пусть каждый член ряда умножили на число $k$. Новый ряд будет: $k \cdot x_1, k \cdot x_2, ..., k \cdot x_n$. Найдем его среднее арифметическое $M_{new}$: $M_{new} = \frac{k \cdot x_1 + k \cdot x_2 + ... + k \cdot x_n}{n} = \frac{k \cdot (x_1+x_2+...+x_n)}{n} = k \cdot (\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}) = k \cdot M$.

Ответ: Если все члены ряда умножить на одно и то же положительное число $k$, то среднее арифметическое ряда умножится на это же число $k$.

Изменятся ли при этом мода и размах?

Мода — это значение в ряду, которое встречается чаще всего.

• При прибавлении числа $c$ к каждому члену ряда, каждый член изменится, включая и моду. Новая мода будет равна $M_o + c$, где $M_o$ — старая мода. Таким образом, мода изменится.
• При умножении каждого члена ряда на число $k$, новая мода будет равна $M_o \cdot k$, где $M_o$ — старая мода. Таким образом, мода изменится.

Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда. Пусть $x_{max}$ — максимальное значение, а $x_{min}$ — минимальное. Размах $R = x_{max} - x_{min}$.

• При прибавлении числа $c$ к каждому члену ряда, новое максимальное значение станет $x_{max}+c$, а новое минимальное — $x_{min}+c$. Новый размах $R_{new} = (x_{max}+c) - (x_{min}+c) = x_{max} - x_{min} = R$. Размах не изменится.
• При умножении каждого члена ряда на положительное число $k$, новое максимальное значение станет $k \cdot x_{max}$, а новое минимальное — $k \cdot x_{min}$. Новый размах $R_{new} = k \cdot x_{max} - k \cdot x_{min} = k \cdot (x_{max} - x_{min}) = k \cdot R$. Размах изменится (умножится на $k$).

Ответ: При прибавлении ко всем членам ряда одного и того же числа мода изменится (увеличится на это число), а размах не изменится. При умножении всех членов ряда на одно и то же положительное число изменятся и мода, и размах (умножатся на это число).