Страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

130 При очистке орехов 60% уходит в отходы. Как вы думаете, что выгоднее — купить неочищенные орехи по цене 100 р. за килограмм или очищенные орехи по цене 250 р. за килограмм?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассчитать фактическую стоимость одного килограмма очищенных орехов, если покупать их в скорлупе, и сравнить эту стоимость с ценой уже очищенных орехов.

1. Расчет стоимости 1 кг очищенных орехов при покупке неочищенных

Цена за 1 кг неочищенных орехов составляет 100 рублей.

Согласно условию, 60% от общей массы составляют отходы (скорлупа). Это значит, что съедобная часть (ядра) составляет оставшуюся долю от общей массы:

$100\% - 60\% = 40\%$

Теперь найдем, сколько килограммов очищенных ядер получится из 1 кг неочищенных орехов:

$1 \text{ кг} \times 0.40 = 0.4 \text{ кг}$

Таким образом, покупая 1 кг неочищенных орехов за 100 рублей, мы получаем 0.4 кг очищенных ядер. Чтобы найти стоимость 1 кг очищенных ядер, разделим затраченную сумму на массу полученных ядер:

$\text{Стоимость} = \frac{100 \text{ рублей}}{0.4 \text{ кг}} = 250 \text{ рублей/кг}$

2. Сравнение стоимости

Фактическая стоимость 1 кг очищенных орехов, полученных из неочищенных, составляет 250 рублей.

Цена за 1 кг уже очищенных орехов, по условию, также составляет 250 рублей.

Сравнивая эти две цены ($250 \text{ руб./кг}$ и $250 \text{ руб./кг}$), мы видим, что они равны. Следовательно, с финансовой точки зрения оба варианта одинаково выгодны. Однако, стоит учесть, что покупка неочищенных орехов потребует дополнительных затрат времени и усилий на их очистку.

Ответ: Оба варианта покупки одинаковы по стоимости.

131 Сколько килограммов сливочного масла можно получить из 1000 кг молока жирностью $4,5\%$, если содержание жира в масле составляет в среднем $75\%$?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти общее количество жира в молоке, а затем, зная, что этот жир составляет 75% от массы сливочного масла, вычислить итоговую массу масла.

1. Находим массу жира в молоке

Дано 1000 кг молока с жирностью 4,5%. Чтобы найти массу жира, нужно общую массу молока умножить на процентное содержание жира, выраженное в виде десятичной дроби.

Процент жирности в виде десятичной дроби: $4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045$.

Вычисляем массу жира:

$1000 \text{ кг} \times 0,045 = 45 \text{ кг}$.

Таким образом, в 1000 кг молока содержится 45 кг чистого жира.

2. Находим массу сливочного масла

Предполагается, что весь жир, полученный из молока, переходит в сливочное масло. В сливочном масле эти 45 кг жира составляют 75% от его общей массы. Обозначим искомую массу сливочного масла за $x$. Тогда можно составить уравнение:

$x \times 75\% = 45 \text{ кг}$

Переведем проценты в десятичную дробь: $75\% = 0,75$.

$x \times 0,75 = 45$

Теперь найдем $x$, разделив массу жира на его долю в масле:

$x = \frac{45}{0,75} = 60 \text{ кг}$.

Следовательно, из 1000 кг молока можно получить 60 кг сливочного масла.

Ответ: 60 кг.

132 За час до киносеанса оставались непроданными $30\%$ всех билетов. Но через полчаса к кинотеатру подъехала группа туристов и купила 45 билетов, что составило $20\%$ билетов, оставшихся в кассе. Сколько всего мест в кинотеатре?

Для решения задачи разобьем ее на два действия.

1. Найдем, сколько билетов оставалось в кассе за час до киносеанса.
Из условия известно, что группа туристов купила 45 билетов, и это составило 20% от всех билетов, которые были в кассе на тот момент (то есть за час до сеанса). Обозначим количество оставшихся в кассе билетов за $y$. Тогда можно составить пропорцию:
45 билетов — это 20%
$y$ билетов — это 100%
Чтобы найти $y$, можно воспользоваться правилом пропорции или выразить 20% в виде десятичной дроби (0.2) и составить уравнение:
$0.2 \cdot y = 45$
Отсюда находим $y$:
$y = \frac{45}{0.2} = \frac{450}{2} = 225$ билетов.
Ответ: за час до киносеанса в кассе оставалось 225 билетов.

2. Найдем, сколько всего мест в кинотеатре.
По условию, 225 непроданных билетов, которые оставались за час до сеанса, составляют 30% от общего количества мест в кинотеатре. Обозначим общее количество мест за $x$. Составим новую пропорцию:
225 мест — это 30%
$x$ мест — это 100%
Снова выразим проценты в виде десятичной дроби (0.3) и решим уравнение:
$0.3 \cdot x = 225$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{225}{0.3} = \frac{2250}{3} = 750$ мест.
Ответ: всего в кинотеатре 750 мест.

133 Собранный урожай яблок распределили следующим образом: 75% всех яблок засушили, 40% остатка пошло на варенье, а из оставшихся 3 кг яблок сварили компот. Сколько всего собрали яблок?

Пусть $x$ кг — это общая масса собранного урожая яблок. Решим задачу поэтапно.

1. Найдем, какая часть урожая осталась после засушки.

На засушку отправили 75% всех яблок. Следовательно, осталась следующая часть от общего количества:

$100\% - 75\% = 25\%$

Чтобы использовать это значение в расчетах, переведем проценты в десятичную дробь: $25\% = 0.25$. Таким образом, масса оставшихся яблок составляет $0.25x$ кг.

2. Найдем, какая часть остатка пошла на компот.

Из полученного остатка ($0.25x$ кг) 40% пошло на варенье. Значит, на компот была использована оставшаяся от этого остатка часть:

$100\% - 40\% = 60\%$

Переведем 60% в десятичную дробь: $60\% = 0.6$. Это означает, что на компот пошло $0.6$ от остатка. Масса яблок для компота равна:

$0.6 \cdot (0.25x)$ кг.

3. Составим и решим уравнение.

По условию задачи, масса яблок, из которых сварили компот, равна 3 кг. Мы можем приравнять это значение к выражению, которое мы получили на предыдущем шаге:

$0.6 \cdot 0.25x = 3$

Сначала вычислим произведение десятичных дробей в левой части уравнения:

$0.15x = 3$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0.15$:

$x = \frac{3}{0.15}$

Для удобства вычислений можно избавиться от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{3 \cdot 100}{0.15 \cdot 100} = \frac{300}{15} = 20$

Следовательно, общая масса собранного урожая яблок составляет 20 кг.

Ответ: 20 кг.

134 Бюджетные деньги, выделенные на школы двух районов, распределили между этими районами в отношении $3 : 5$. Сколько процентов бюджетных денег досталось каждому району?

Бюджетные деньги распределены между двумя районами в соотношении $3:5$. Это означает, что всю сумму можно представить как состоящую из нескольких равных частей.

Найдем общее количество частей, на которые были разделены все деньги. Для этого сложим числа из отношения:

$3 + 5 = 8$ (частей)

Таким образом, весь бюджет, который мы принимаем за $100\%$, состоит из $8$ равных частей.

Теперь определим, какая доля от общего бюджета досталась каждому району.

Первый район получил $3$ части из $8$, что составляет дробь $ \frac{3}{8} $ от всей суммы.

Второй район получил $5$ частей из $8$, что составляет дробь $ \frac{5}{8} $ от всей суммы.

Чтобы выразить эти доли в процентах, необходимо умножить каждую дробь на $100\%$.

Вычислим процент для первого района:

$ \frac{3}{8} \times 100\% = 0.375 \times 100\% = 37.5\% $

Вычислим процент для второго района:

$ \frac{5}{8} \times 100\% = 0.625 \times 100\% = 62.5\% $

Можно выполнить проверку: $37.5\% + 62.5\% = 100\%$. Расчеты верны.

Ответ: первому району досталось $37.5\%$ бюджетных денег, а второму — $62.5\%$.

135 В пансионате имеются однокомнатные и двухкомнатные номера в отношении $5 : 3$. Для отдыха с маленькими детьми оборудовано $16\%$ однокомнатных и $4\%$ двухкомнатных номеров. Сколько всего процентов номеров оборудовано для отдыхающих с маленькими детьми?

Для решения этой задачи найдем, какую долю от общего числа номеров составляют однокомнатные и двухкомнатные номера, а затем вычислим, какая часть из них оборудована для отдыха с детьми.

1. Определение долей номеров.

Соотношение однокомнатных и двухкомнатных номеров равно $5:3$. Это значит, что на каждые 5 однокомнатных номеров приходится 3 двухкомнатных. Общее количество условных частей равно $5 + 3 = 8$.

Следовательно, доля однокомнатных номеров от их общего числа составляет $ \frac{5}{8} $.

Доля двухкомнатных номеров от их общего числа составляет $ \frac{3}{8} $.

2. Расчет доли оборудованных номеров от общего числа.

Известно, что $16\%$ однокомнатных номеров оборудовано для отдыха с детьми. Найдем, какую долю от общего числа номеров они составляют. Для этого умножим долю однокомнатных номеров на процент их оборудованности:

$ \frac{5}{8} \times 16\% = \frac{5 \times 16}{8} \% = 5 \times 2\% = 10\% $

Таким образом, оборудованные однокомнатные номера составляют $10\%$ от всех номеров в пансионате.

Аналогично поступим с двухкомнатными номерами. Известно, что $4\%$ из них оборудованы. Найдем их долю от общего числа номеров:

$ \frac{3}{8} \times 4\% = \frac{3 \times 4}{8} \% = \frac{12}{8} \% = 1.5\% $

Таким образом, оборудованные двухкомнатные номера составляют $1.5\%$ от всех номеров в пансионате.

3. Нахождение общего процента оборудованных номеров.

Чтобы найти, сколько всего процентов номеров оборудовано, сложим проценты оборудованных однокомнатных и двухкомнатных номеров:

$10\% + 1.5\% = 11.5\%$

Ответ: $11.5\%$ номеров оборудовано для отдыхающих с маленькими детьми.

136 Все числа ряда равны между собой. Чему равно их среднее арифметическое?

Среднее арифметическое ряда чисел определяется как сумма всех чисел этого ряда, деленная на их количество.

Допустим, у нас есть числовой ряд, состоящий из $n$ элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Формула для нахождения их среднего арифметического ($M$) выглядит следующим образом:

$M = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Согласно условию задачи, все числа в данном ряду равны между собой. Обозначим это единое значение буквой $a$. Это значит, что для любого элемента ряда выполняется равенство:

$x_1 = x_2 = \dots = x_n = a$

Теперь мы можем подставить это значение в формулу среднего арифметического. Сумма всех чисел ряда будет представлять собой сумму $n$ одинаковых слагаемых $a$:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n = \underbrace{a + a + \dots + a}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot a$

Подставим полученную сумму обратно в формулу для $M$:

$M = \frac{n \cdot a}{n}$

Сократив $n$ в числителе и знаменателе, мы получаем:

$M = a$

Таким образом, среднее арифметическое ряда, состоящего из одинаковых чисел, равно значению любого из этих чисел.

Ответ: Среднее арифметическое такого ряда равно любому из его чисел.

ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ (137–138)

137 Придумайте три разных числа, таких, чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом. Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел? с наименьшим?

Придумайте три разных числа, таких, чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом.

Обозначим три разных числа как $a$, $b$ и $c$. Расположим их в порядке возрастания: $a < b < c$. В этом случае вторым по величине числом будет $b$.

Среднее арифметическое этих трёх чисел вычисляется по формуле: $$ \frac{a+b+c}{3} $$

По условию задачи, среднее арифметическое должно совпадать со вторым по величине числом, то есть с $b$: $$ \frac{a+b+c}{3} = b $$

Умножим обе части уравнения на 3: $$ a+b+c = 3b $$

Вычтем $b$ из обеих частей: $$ a+c = 2b $$

Разделим обе части на 2: $$ b = \frac{a+c}{2} $$

Это равенство означает, что среднее число $b$ является средним арифметическим двух крайних чисел $a$ и $c$. Такие числа образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, нам нужно подобрать любые три разных числа, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Например, выберем числа 4, 8 и 12. Они различны.

Проверим условие:

• Второе по величине число: 8.
• Среднее арифметическое: $\frac{4+8+12}{3} = \frac{24}{3} = 8$.

Условие выполняется.

Ответ: Например, числа 4, 8, 12. Подойдут любые три разных числа, образующие арифметическую прогрессию.

Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел?

Пусть, как и ранее, три разных числа в порядке возрастания – это $a < b < c$. Наибольшее из них – $c$.

Предположим, что их среднее арифметическое равно наибольшему числу: $$ \frac{a+b+c}{3} = c $$

Умножим обе части на 3: $$ a+b+c = 3c $$

Вычтем $c$ из обеих частей: $$ a+b = 2c $$

Поскольку числа $a, b, c$ разные и $c$ – наибольшее, то выполняются неравенства: $a < c$ и $b < c$.

Сложим эти два неравенства: $$ a+b < c+c $$ $$ a+b < 2c $$

Мы получили противоречие: из нашего предположения следует, что $a+b = 2c$, но из условия, что числа разные, следует, что $a+b < 2c$. Равенство $a+b = 2c$ могло бы выполняться только в том случае, если $a=c$ и $b=c$, но это противоречит условию, что числа должны быть разными.

Следовательно, среднее арифметическое трёх разных чисел не может быть равно наибольшему из них.

Ответ: Нет, не может.

Может ли среднее арифметическое совпадать с наименьшим из трёх чисел?

Пусть три разных числа в порядке возрастания – это $a < b < c$. Наименьшее из них – $a$.

Предположим, что их среднее арифметическое равно наименьшему числу: $$ \frac{a+b+c}{3} = a $$

Умножим обе части на 3: $$ a+b+c = 3a $$

Вычтем $a$ из обеих частей: $$ b+c = 2a $$

Поскольку числа $a, b, c$ разные и $a$ – наименьшее, то выполняются неравенства: $b > a$ и $c > a$.

Сложим эти два неравенства: $$ b+c > a+a $$ $$ b+c > 2a $$

Мы снова получили противоречие: из нашего предположения следует, что $b+c = 2a$, но из условия, что числа разные, следует, что $b+c > 2a$. Равенство $b+c = 2a$ могло бы выполняться только в том случае, если $b=a$ и $c=a$, но это противоречит условию, что числа должны быть разными.

Следовательно, среднее арифметическое трёх разных чисел не может быть равно наименьшему из них.

Ответ: Нет, не может.