Номер 137, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Дроби и проценты - номер 137, страница 39.

ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ (137–138)

137 Придумайте три разных числа, таких, чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом. Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел? с наименьшим?

Придумайте три разных числа, таких, чтобы их среднее арифметическое совпадало со вторым по величине числом.

Обозначим три разных числа как $a$, $b$ и $c$. Расположим их в порядке возрастания: $a < b < c$. В этом случае вторым по величине числом будет $b$.

Среднее арифметическое этих трёх чисел вычисляется по формуле: $$ \frac{a+b+c}{3} $$

По условию задачи, среднее арифметическое должно совпадать со вторым по величине числом, то есть с $b$: $$ \frac{a+b+c}{3} = b $$

Умножим обе части уравнения на 3: $$ a+b+c = 3b $$

Вычтем $b$ из обеих частей: $$ a+c = 2b $$

Разделим обе части на 2: $$ b = \frac{a+c}{2} $$

Это равенство означает, что среднее число $b$ является средним арифметическим двух крайних чисел $a$ и $c$. Такие числа образуют арифметическую прогрессию. Следовательно, нам нужно подобрать любые три разных числа, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Например, выберем числа 4, 8 и 12. Они различны.

Проверим условие:

• Второе по величине число: 8.
• Среднее арифметическое: $\frac{4+8+12}{3} = \frac{24}{3} = 8$.

Условие выполняется.

Ответ: Например, числа 4, 8, 12. Подойдут любые три разных числа, образующие арифметическую прогрессию.

Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел?

Пусть, как и ранее, три разных числа в порядке возрастания – это $a < b < c$. Наибольшее из них – $c$.

Предположим, что их среднее арифметическое равно наибольшему числу: $$ \frac{a+b+c}{3} = c $$

Умножим обе части на 3: $$ a+b+c = 3c $$

Вычтем $c$ из обеих частей: $$ a+b = 2c $$

Поскольку числа $a, b, c$ разные и $c$ – наибольшее, то выполняются неравенства: $a < c$ и $b < c$.

Сложим эти два неравенства: $$ a+b < c+c $$ $$ a+b < 2c $$

Мы получили противоречие: из нашего предположения следует, что $a+b = 2c$, но из условия, что числа разные, следует, что $a+b < 2c$. Равенство $a+b = 2c$ могло бы выполняться только в том случае, если $a=c$ и $b=c$, но это противоречит условию, что числа должны быть разными.

Следовательно, среднее арифметическое трёх разных чисел не может быть равно наибольшему из них.

Ответ: Нет, не может.

Может ли среднее арифметическое совпадать с наименьшим из трёх чисел?

Пусть три разных числа в порядке возрастания – это $a < b < c$. Наименьшее из них – $a$.

Предположим, что их среднее арифметическое равно наименьшему числу: $$ \frac{a+b+c}{3} = a $$

Умножим обе части на 3: $$ a+b+c = 3a $$

Вычтем $a$ из обеих частей: $$ b+c = 2a $$

Поскольку числа $a, b, c$ разные и $a$ – наименьшее, то выполняются неравенства: $b > a$ и $c > a$.

Сложим эти два неравенства: $$ b+c > a+a $$ $$ b+c > 2a $$

Мы снова получили противоречие: из нашего предположения следует, что $b+c = 2a$, но из условия, что числа разные, следует, что $b+c > 2a$. Равенство $b+c = 2a$ могло бы выполняться только в том случае, если $b=a$ и $c=a$, но это противоречит условию, что числа должны быть разными.

Следовательно, среднее арифметическое трёх разных чисел не может быть равно наименьшему из них.

Ответ: Нет, не может.