Номер 1, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 1. Дроби и проценты - номер 1, страница 40.

1. Сформулируйте перекрёстное правило сравнения дробей. Проиллюстрируйте его на примере дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$. Как ещё можно сравнить эти дроби?

Сформулируйте перекрестное правило сравнения дробей.

Перекрестное правило сравнения дробей (или правило «крест-накрест») для двух дробей с положительными знаменателями $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ заключается в сравнении произведений числителя первой дроби на знаменатель второй ($a \cdot d$) и знаменателя первой дроби на числитель второй ($b \cdot c$).

• Если произведение $a \cdot d$ больше произведения $b \cdot c$, то и первая дробь больше второй: $a \cdot d > b \cdot c \Rightarrow \frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
• Если произведение $a \cdot d$ меньше произведения $b \cdot c$, то и первая дробь меньше второй: $a \cdot d < b \cdot c \Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
• Если произведения равны, то и дроби равны: $a \cdot d = b \cdot c \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Ответ: Для сравнения дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ (где $b>0, d>0$) нужно сравнить произведения $a \cdot d$ и $b \cdot c$. Знак отношения между дробями будет таким же, как и знак отношения между этими произведениями.

Проиллюстрируйте его на примере дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$ по перекрестному правилу, вычислим два произведения:

1. Числитель первой дроби умножаем на знаменатель второй: $20 \cdot 22 = 440$.

2. Знаменатель первой дроби умножаем на числитель второй: $33 \cdot 9 = 297$.

Теперь сравним полученные результаты: $440 > 297$.

Поскольку первое произведение больше второго, то и первая дробь больше второй.

Ответ: $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

Как ещё можно сравнить эти дроби?

Эти дроби можно сравнить и другими способами, например, приведением к общему знаменателю или преобразованием в десятичные дроби.

1. Приведение к общему знаменателю.

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{20}{33}$ и $\frac{9}{22}$. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 33 и 22.

Разложим знаменатели на простые множители: $33 = 3 \cdot 11$; $22 = 2 \cdot 11$.

НОК(33, 22) = $2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$.

Приведем дроби к знаменателю 66:

$\frac{20}{33} = \frac{20 \cdot 2}{33 \cdot 2} = \frac{40}{66}$

$\frac{9}{22} = \frac{9 \cdot 3}{22 \cdot 3} = \frac{27}{66}$

Теперь сравним дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{40}{66}$ и $\frac{27}{66}$. Так как $40 > 27$, то $\frac{40}{66} > \frac{27}{66}$. Следовательно, $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

2. Преобразование в десятичные дроби.

Преобразуем каждую дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель.

$\frac{20}{33} = 20 \div 33 = 0.606060... = 0.(60)$

$\frac{9}{22} = 9 \div 22 = 0.409090... = 0.4(09)$

Сравниваем полученные десятичные дроби: $0.6060... > 0.4090...$. Следовательно, $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.

Ответ: Дроби можно сравнить, приведя их к общему знаменателю 66 (получим $\frac{40}{66}$ и $\frac{27}{66}$) или преобразовав в десятичные дроби ($0.(60)$ и $0.4(09)$). Оба способа показывают, что $\frac{20}{33} > \frac{9}{22}$.