Номер 138, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 1. Дроби и проценты - номер 138, страница 40.

138 Придумайте четыре разных числа, таких, чтобы их среднее арифметическое совпадало:

а) со вторым по величине числом;

б) с третьим по величине числом.

а) со вторым по величине числом;

Пусть у нас есть четыре разных числа. Расположим их в порядке возрастания: $a < b < c < d$. В этом ряду $d$ – наибольшее число, $c$ – второе по величине, $b$ – третье по величине, а $a$ – наименьшее.

Среднее арифметическое этих четырех чисел вычисляется по формуле: $M = \frac{a+b+c+d}{4}$

Согласно условию, среднее арифметическое должно совпадать со вторым по величине числом, то есть с $c$. $M = c$ $\frac{a+b+c+d}{4} = c$

Умножим обе части уравнения на 4: $a+b+c+d = 4c$

Вычтем $c$ из обеих частей, чтобы найти зависимость между числами: $a+b+d = 3c$

Теперь нам нужно подобрать четыре разных числа $a, b, c, d$, удовлетворяющих условиям $a < b < c < d$ и $a+b+d = 3c$. Сделать это можно, выбрав три числа и вычислив четвертое. Например, выберем произвольные числа $a, b$ и $c$ так, чтобы $a < b < c$, а затем найдем $d$.

Пусть $a = 1, b = 2, c = 3$. Подставим эти значения в уравнение: $1 + 2 + d = 3 \times 3$ $3 + d = 9$ $d = 9 - 3$ $d = 6$

Мы получили набор чисел: 1, 2, 3, 6. Проверим, подходят ли они под все условия. 1. Все числа разные? Да. 2. Соблюдается ли порядок $a < b < c < d$? Нет, у нас $a=1, b=2, c=3, d=6$. Если расположить их по возрастанию, то это 1, 2, 3, 6. В этом ряду второе по величине число - это 3. 3. Равно ли их среднее арифметическое второму по величине числу (то есть 3)? Проверим: $\frac{1+2+3+6}{4} = \frac{12}{4} = 3$. Да, среднее арифметическое равно 3, что является вторым по величине числом в этом наборе. Условия выполнены.

Ответ: например, числа 1, 2, 3, 6.

б) с третьим по величине числом.

Снова возьмем четыре разных числа, расположенных в порядке возрастания: $a < b < c < d$. Третье по величине число в этом ряду – это $b$.

Среднее арифметическое, $M = \frac{a+b+c+d}{4}$, должно быть равно $b$. $\frac{a+b+c+d}{4} = b$

Умножим обе части уравнения на 4: $a+b+c+d = 4b$

Вычтем $b$ из обеих частей: $a+c+d = 3b$

Теперь нам нужно подобрать четыре разных числа $a, b, c, d$, удовлетворяющих условиям $a < b < c < d$ и $a+c+d = 3b$. Для этого можно задать три числа и найти четвертое. Например, выберем $b, c, d$ так, чтобы $b < c < d$, и вычислим $a$.

Пусть $b = 10$. Нам нужно, чтобы $10 < c < d$. Возьмем $c = 11$ и $d = 12$. Теперь найдем $a$ из уравнения $a+c+d = 3b$: $a + 11 + 12 = 3 \times 10$ $a + 23 = 30$ $a = 30 - 23$ $a = 7$

Мы получили набор чисел: 7, 10, 11, 12. Проверим, подходят ли они. 1. Числа разные? Да. 2. Соблюдается ли порядок $a < b < c < d$? Да, $7 < 10 < 11 < 12$. 3. Равно ли их среднее арифметическое третьему по величине числу (10)? Проверим: $\frac{7+10+11+12}{4} = \frac{40}{4} = 10$. Да, среднее арифметическое равно 10, что является третьим по величине числом в наборе. Условия выполнены.

Ответ: например, числа 7, 10, 11, 12.