Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

164 a) Заготовленного запаса кормов хватит двум кроликам на 120 дней. На сколько дней такого же запаса кормов хватит 10 кроликам? 12 кроликам?

б) Три трактора могут вспахать поле за 18 ч. Сколько потребуется тракторов, чтобы вспахать это поле за 9 ч? за 27 ч?

а)

Данная задача описывает обратно пропорциональную зависимость: чем больше кроликов, тем на меньшее количество дней хватит одного и того же запаса кормов. Это означает, что произведение количества кроликов на количество дней является постоянной величиной.

1. Сначала найдем общий объем заготовленного корма. Условно его можно измерить в "кролико-днях".
$2 \text{ кролика} \times 120 \text{ дней} = 240 \text{ кролико-дней}$

2. Теперь, зная общий объем корма, можно найти, на сколько дней его хватит для 10 кроликов. Для этого разделим общий объем на новое количество кроликов:
$240 \text{ кролико-дней} \div 10 \text{ кроликов} = 24 \text{ дня}$

3. Аналогично рассчитаем, на сколько дней хватит корма для 12 кроликов:
$240 \text{ кролико-дней} \div 12 \text{ кроликов} = 20 \text{ дней}$

Ответ: 10 кроликам запаса хватит на 24 дня, а 12 кроликам — на 20 дней.

б)

Эта задача также на обратную пропорциональность: чем больше тракторов работает одновременно, тем меньше времени им понадобится, чтобы вспахать поле. Объем работы (произведение количества тракторов на время работы) остается неизменным.

1. Найдем общий объем работы в "тракторо-часах", необходимый для вспашки всего поля:
$3 \text{ трактора} \times 18 \text{ часов} = 54 \text{ тракторо-часа}$

2. Рассчитаем, сколько тракторов потребуется, чтобы выполнить этот объем работы за 9 часов. Для этого разделим общий объем работы на заданное время:
$54 \text{ тракторо-часа} \div 9 \text{ часов} = 6 \text{ тракторов}$

3. Аналогично рассчитаем, сколько тракторов потребуется, чтобы вспахать поле за 27 часов:
$54 \text{ тракторо-часа} \div 27 \text{ часов} = 2 \text{ трактора}$

Ответ: чтобы вспахать поле за 9 часов, потребуется 6 тракторов, а за 27 часов — 2 трактора.

165 Среди зависимостей, заданных формулой, определите те, которые являются обратной пропорциональностью, найдите произведение соответственных значений переменных и объясните смысл этого произведения:

а) $h = \frac{60}{a^2}$, где $a$ — сторона квадрата, лежащего в основании параллелепипеда, $h$ — высота параллелепипеда;

б) $a = \frac{12}{h}$, где $h$ — ширина прямоугольника, $a$ — его длина;

в) $n = \frac{100}{m}$, где $m$ — грузоподъёмность машины, $n$ — число машин, необходимых для перевозки груза;

г) $n = \frac{M}{12}$, где $M$ — масса груза, который необходимо перевезти, $n$ — число машин, необходимых для перевозки груза.

Обратная пропорциональность — это зависимость между двумя переменными, при которой произведение этих переменных остается постоянным. Она описывается формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. Из этой формулы следует, что $y \cdot x = k$.

а) Зависимость, заданная формулой $h = \frac{60}{a^2}$, не является обратной пропорциональностью между переменными $h$ и $a$. В этой формуле переменная $h$ обратно пропорциональна квадрату переменной $a$ ($a^2$), а не самой переменной $a$. Произведение $h \cdot a = \frac{60}{a^2} \cdot a = \frac{60}{a}$ не является постоянной величиной, а зависит от $a$.
Ответ: Данная зависимость не является обратной пропорциональностью.

б) Зависимость, заданная формулой $a = \frac{12}{h}$, является обратной пропорциональностью, так как она соответствует виду $y = \frac{k}{x}$ (здесь $y=a$, $x=h$, $k=12$).
Произведение соответственных значений переменных можно найти, умножив обе части уравнения на $h$: $a \cdot h = 12$.
Смысл этого произведения: поскольку $a$ — это длина прямоугольника, а $h$ — его ширина, то их произведение $a \cdot h$ равно площади этого прямоугольника. Таким образом, площадь прямоугольника постоянна и равна 12 квадратным единицам.
Ответ: Произведение $a \cdot h = 12$. Это постоянная площадь прямоугольника.

в) Зависимость, заданная формулой $n = \frac{100}{m}$, является обратной пропорциональностью, так как она соответствует виду $y = \frac{k}{x}$ (здесь $y=n$, $x=m$, $k=100$).
Произведение соответственных значений переменных: $n \cdot m = 100$.
Смысл этого произведения: поскольку $m$ — это грузоподъемность одной машины, а $n$ — количество машин, то их произведение $n \cdot m$ равно общей массе груза, который необходимо перевезти. Таким образом, общая масса груза постоянна и равна 100 единицам массы (например, тоннам).
Ответ: Произведение $n \cdot m = 100$. Это общая масса перевозимого груза.

г) Зависимость, заданная формулой $n = \frac{M}{12}$ или $n = \frac{1}{12} M$, не является обратной пропорциональностью. Это зависимость вида $y = kx$ (здесь $y=n$, $x=M$, $k=\frac{1}{12}$), что является прямой пропорциональностью. С увеличением массы груза $M$ прямо пропорционально увеличивается и необходимое количество машин $n$.
Ответ: Данная зависимость является прямой пропорциональностью.

166 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Летний салат на 6 порций включает 300 г помидоров, 250 г молодого картофеля, 200 г огурцов, 3 яйца, 120 г зелёного лука, 50 г укропа, 100 г сметаны, 50 г майонеза.

Подсчитайте расход продуктов для 3 порций салата; для 12 порций салата.

В условии задачи дан рецепт салата на 6 порций. Нам нужно рассчитать количество продуктов для 3 и 12 порций. Для этого мы будем использовать метод пропорций.

для 3 порций салата

Чтобы рассчитать количество продуктов для 3 порций, нужно выяснить, во сколько раз 3 порции меньше 6. Для этого разделим 6 на 3: $6 \div 3 = 2$. Следовательно, количество каждого ингредиента нужно уменьшить в 2 раза, то есть разделить на 2.

Выполним расчеты для каждого продукта:

Помидоры: $300 \text{ г} \div 2 = 150 \text{ г}$

Молодой картофель: $250 \text{ г} \div 2 = 125 \text{ г}$

Огурцы: $200 \text{ г} \div 2 = 100 \text{ г}$

Яйца: $3 \text{ шт} \div 2 = 1,5 \text{ шт}$

Зелёный лук: $120 \text{ г} \div 2 = 60 \text{ г}$

Укроп: $50 \text{ г} \div 2 = 25 \text{ г}$

Сметана: $100 \text{ г} \div 2 = 50 \text{ г}$

Майонез: $50 \text{ г} \div 2 = 25 \text{ г}$

Ответ: для приготовления 3 порций салата потребуется: 150 г помидоров, 125 г молодого картофеля, 100 г огурцов, 1,5 яйца, 60 г зелёного лука, 25 г укропа, 50 г сметаны и 25 г майонеза.

для 12 порций салата

Чтобы рассчитать количество продуктов для 12 порций, нужно выяснить, во сколько раз 12 порций больше 6. Для этого разделим 12 на 6: $12 \div 6 = 2$. Следовательно, количество каждого ингредиента нужно увеличить в 2 раза, то есть умножить на 2.

Выполним расчеты для каждого продукта:

Помидоры: $300 \text{ г} \times 2 = 600 \text{ г}$

Молодой картофель: $250 \text{ г} \times 2 = 500 \text{ г}$

Огурцы: $200 \text{ г} \times 2 = 400 \text{ г}$

Яйца: $3 \text{ шт} \times 2 = 6 \text{ шт}$

Зелёный лук: $120 \text{ г} \times 2 = 240 \text{ г}$

Укроп: $50 \text{ г} \times 2 = 100 \text{ г}$

Сметана: $100 \text{ г} \times 2 = 200 \text{ г}$

Майонез: $50 \text{ г} \times 2 = 100 \text{ г}$

Ответ: для приготовления 12 порций салата потребуется: 600 г помидоров, 500 г молодого картофеля, 400 г огурцов, 6 яиц, 240 г зелёного лука, 100 г укропа, 200 г сметаны и 100 г майонеза.