Номер 171, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.2. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 171, страница 55.

171 Определите, является прямой или обратной пропорциональностью зависимость:

а) периметра квадрата от длины его стороны;

б) площади квадрата от длины его стороны;

в) величины одного из смежных углов от величины другого;

г) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны.

Для определения типа зависимости между двумя величинами $x$ и $y$ вспомним определения:

• Прямая пропорциональность: зависимость, которую можно записать в виде $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. При увеличении одной величины в несколько раз, другая увеличивается во столько же раз.
• Обратная пропорциональность: зависимость, которую можно записать в виде $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. При увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Рассмотрим каждую зависимость отдельно.

а) периметра квадрата от длины его стороны;

Пусть $P$ — периметр квадрата, а $a$ — длина его стороны. Периметр квадрата вычисляется как сумма длин всех его четырех равных сторон. Формула для периметра:

$P = a + a + a + a = 4a$

Эта зависимость имеет вид $y = kx$, где $y=P$, $x=a$ и коэффициент пропорциональности $k=4$. Если мы увеличим длину стороны $a$ в $n$ раз, то периметр $P$ также увеличится в $n$ раз: $P_{новое} = 4 \cdot (na) = n \cdot (4a) = n \cdot P_{старое}$. Следовательно, это прямая пропорциональность.

Ответ: прямая пропорциональность.

б) площади квадрата от длины его стороны;

Пусть $S$ — площадь квадрата, а $a$ — длина его стороны. Площадь квадрата вычисляется как произведение двух его сторон. Формула для площади:

$S = a \cdot a = a^2$

Проверим, является ли эта зависимость пропорциональной. Отношение $S/a = a^2/a = a$. Так как это отношение не является постоянной величиной (оно зависит от $a$), то это не прямая пропорциональность. Произведение $S \cdot a = a^2 \cdot a = a^3$. Так как это произведение не является постоянной величиной, то это не обратная пропорциональность. Это квадратичная зависимость.

Ответ: не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

в) величины одного из смежных углов от величины другого;

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — величины смежных углов. По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Выразим зависимость одного угла от другого: $\alpha = 180^\circ - \beta$. Эта зависимость не имеет вида $y=kx$ или $y=k/x$. Например, если $\beta = 30^\circ$, то $\alpha = 150^\circ$. Если увеличить $\beta$ вдвое до $60^\circ$, то $\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Величина $\alpha$ не уменьшилась вдвое ($150^\circ / 2 = 75^\circ$). Следовательно, это не прямая и не обратная пропорциональность.

Ответ: не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью.

г) длины одной из сторон прямоугольника данной площади от длины другой его стороны.

Пусть $a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника, а $S$ — его площадь. По условию, площадь $S$ является данной, то есть постоянной величиной. Обозначим эту постоянную площадь как $k$.

Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$.

Так как $S = k$ (константа), мы имеем:

$a \cdot b = k$

Выразим зависимость длины одной стороны, например $a$, от длины другой стороны $b$:

$a = \frac{k}{b}$

Эта зависимость имеет вид $y = k/x$, где $y=a$, $x=b$, а $k=S$ — коэффициент пропорциональности. Это определение обратной пропорциональности. При увеличении одной стороны, другая должна уменьшиться во столько же раз, чтобы их произведение (площадь) осталось неизменным.

Ответ: обратная пропорциональность.