Номер 172, страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 2.2. Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность - номер 172, страница 56.

172 а) Четыре машинистки, работающие с одинаковой производительностью, за 3 дня напечатали 222 страницы. Сколько страниц могут напечатать две из этих машинисток за 12 дней?

б) Из 180 г шерсти можно связать шарф шириной 12 см и длиной 2 м. Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и длиной 1 м?

а) Объём выполненной работы (количество напечатанных страниц) прямо пропорционален произведению количества машинисток на время их работы. Пусть $P$ — количество страниц, $N$ — количество машинисток, а $D$ — количество дней. Так как производительность машинисток одинакова, мы можем составить пропорцию, связывающую два случая.

В первом случае имеем:
$N_1 = 4$ машинистки, $D_1 = 3$ дня, $P_1 = 222$ страницы.

Во втором случае:
$N_2 = 2$ машинистки, $D_2 = 12$ дней. Требуется найти $P_2$.

Соотношение между объемом работы, количеством работников и временем можно выразить так: $\frac{P_1}{N_1 \times D_1} = \frac{P_2}{N_2 \times D_2}$.
Подставим известные значения в формулу:
$\frac{222}{4 \times 3} = \frac{P_2}{2 \times 12}$
$\frac{222}{12} = \frac{P_2}{24}$
Теперь выразим $P_2$:
$P_2 = \frac{222 \times 24}{12}$
Сократив дробь, получаем:
$P_2 = 222 \times 2 = 444$
Таким образом, две машинистки за 12 дней напечатают 444 страницы.
Ответ: 444 страницы.

б) Количество шерсти, которое требуется для вязания шарфа, прямо пропорционально его площади (при условии, что плотность и толщина вязки одинаковы). Площадь шарфа $S$ вычисляется как произведение его ширины $W$ на длину $L$.

Для начала приведем все единицы измерения к одной, например, к сантиметрам.
Параметры первого шарфа:
Масса шерсти $M_1 = 180$ г.
Ширина $W_1 = 12$ см.
Длина $L_1 = 2$ м $= 200$ см.
Площадь первого шарфа: $S_1 = W_1 \times L_1 = 12 \text{ см} \times 200 \text{ см} = 2400 \text{ см}^2$.

Параметры второго шарфа:
Ширина $W_2 = 36$ см.
Длина $L_2 = 1$ м $= 100$ см.
Площадь второго шарфа: $S_2 = W_2 \times L_2 = 36 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 3600 \text{ см}^2$.

Теперь составим пропорцию, чтобы найти необходимую массу шерсти $M_2$ для второго шарфа:
$\frac{M_1}{S_1} = \frac{M_2}{S_2}$
Подставим известные значения:
$\frac{180}{2400} = \frac{M_2}{3600}$
Выразим $M_2$:
$M_2 = \frac{180 \times 3600}{2400}$
Упростим выражение:
$M_2 = \frac{180 \times 36}{24}$
Сократим дробь на 12 ($36/12 = 3$, $24/12 = 2$):
$M_2 = \frac{180 \times 3}{2} = 90 \times 3 = 270$ г.
Следовательно, на второй шарф потребуется 270 г шерсти.
Ответ: 270 г шерсти.