Страница 56 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

172 а) Четыре машинистки, работающие с одинаковой производительностью, за 3 дня напечатали 222 страницы. Сколько страниц могут напечатать две из этих машинисток за 12 дней?

б) Из 180 г шерсти можно связать шарф шириной 12 см и длиной 2 м. Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и длиной 1 м?

а) Объём выполненной работы (количество напечатанных страниц) прямо пропорционален произведению количества машинисток на время их работы. Пусть $P$ — количество страниц, $N$ — количество машинисток, а $D$ — количество дней. Так как производительность машинисток одинакова, мы можем составить пропорцию, связывающую два случая.

В первом случае имеем:
$N_1 = 4$ машинистки, $D_1 = 3$ дня, $P_1 = 222$ страницы.

Во втором случае:
$N_2 = 2$ машинистки, $D_2 = 12$ дней. Требуется найти $P_2$.

Соотношение между объемом работы, количеством работников и временем можно выразить так: $\frac{P_1}{N_1 \times D_1} = \frac{P_2}{N_2 \times D_2}$.
Подставим известные значения в формулу:
$\frac{222}{4 \times 3} = \frac{P_2}{2 \times 12}$
$\frac{222}{12} = \frac{P_2}{24}$
Теперь выразим $P_2$:
$P_2 = \frac{222 \times 24}{12}$
Сократив дробь, получаем:
$P_2 = 222 \times 2 = 444$
Таким образом, две машинистки за 12 дней напечатают 444 страницы.
Ответ: 444 страницы.

б) Количество шерсти, которое требуется для вязания шарфа, прямо пропорционально его площади (при условии, что плотность и толщина вязки одинаковы). Площадь шарфа $S$ вычисляется как произведение его ширины $W$ на длину $L$.

Для начала приведем все единицы измерения к одной, например, к сантиметрам.
Параметры первого шарфа:
Масса шерсти $M_1 = 180$ г.
Ширина $W_1 = 12$ см.
Длина $L_1 = 2$ м $= 200$ см.
Площадь первого шарфа: $S_1 = W_1 \times L_1 = 12 \text{ см} \times 200 \text{ см} = 2400 \text{ см}^2$.

Параметры второго шарфа:
Ширина $W_2 = 36$ см.
Длина $L_2 = 1$ м $= 100$ см.
Площадь второго шарфа: $S_2 = W_2 \times L_2 = 36 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 3600 \text{ см}^2$.

Теперь составим пропорцию, чтобы найти необходимую массу шерсти $M_2$ для второго шарфа:
$\frac{M_1}{S_1} = \frac{M_2}{S_2}$
Подставим известные значения:
$\frac{180}{2400} = \frac{M_2}{3600}$
Выразим $M_2$:
$M_2 = \frac{180 \times 3600}{2400}$
Упростим выражение:
$M_2 = \frac{180 \times 36}{24}$
Сократим дробь на 12 ($36/12 = 3$, $24/12 = 2$):
$M_2 = \frac{180 \times 3}{2} = 90 \times 3 = 270$ г.
Следовательно, на второй шарф потребуется 270 г шерсти.
Ответ: 270 г шерсти.

173 a) На облицовку плиткой подъезда в строящемся доме ушло 18 дней. За сколько дней можно было бы выполнить эту же работу, если повысить производительность труда на 20%?

б) Отчёт группы исследователей был распечатан на принтере за 30 мин. За какое время можно распечатать этот отчёт на принтере, производительность которого на 50% меньше?

а)

Это задача на обратную пропорциональность: чем выше производительность труда, тем меньше времени требуется для выполнения того же объема работы. Пусть $A$ — это общий объем работы (облицовка плиткой), $P_1$ — первоначальная производительность, а $T_1$ — первоначальное время, равное 18 дням.

Связь между этими величинами описывается формулой: $A = P_1 \times T_1$.

Производительность труда повысили на 20%. Это означает, что новая производительность $P_2$ составляет 100% + 20% = 120% от первоначальной. В десятичных долях это $1,2$.

Таким образом, $P_2 = 1,2 \times P_1$.

Пусть $T_2$ — это новое время, необходимое для выполнения того же объема работы $A$ с новой производительностью $P_2$. Тогда $A = P_2 \times T_2$.

Поскольку объем работы не изменился, мы можем приравнять выражения:

$P_1 \times T_1 = P_2 \times T_2$

Подставим выражение для $P_2$:

$P_1 \times 18 = (1,2 \times P_1) \times T_2$

Сократим $P_1$ в обеих частях уравнения (так как производительность не может быть равна нулю):

$18 = 1,2 \times T_2$

Теперь найдем новое время $T_2$:

$T_2 = \frac{18}{1,2} = \frac{180}{12} = 15$ дней.

Ответ: 15 дней.

б)

Эта задача также на обратную пропорциональность. Пусть $A$ — объем работы (печать отчёта), $P_1$ — производительность первого принтера, а $T_1$ — время печати, равное 30 минутам.

Объем работы можно выразить как: $A = P_1 \times T_1$.

Производительность второго принтера $P_2$ на 50% меньше, чем у первого. Это значит, что она составляет 100% - 50% = 50% от производительности первого. В десятичных долях это $0,5$.

Таким образом, $P_2 = 0,5 \times P_1$.

Пусть $T_2$ — это время, которое потребуется второму принтеру для печати того же отчёта $A$. Тогда $A = P_2 \times T_2$.

Объем работы $A$ остался прежним, поэтому приравниваем два выражения:

$P_1 \times T_1 = P_2 \times T_2$

Подставим известные значения и выражение для $P_2$:

$P_1 \times 30 = (0,5 \times P_1) \times T_2$

Сократим $P_1$ в обеих частях уравнения:

$30 = 0,5 \times T_2$

Найдем новое время $T_2$:

$T_2 = \frac{30}{0,5} = 60$ минут.

Ответ: 60 минут.

174 После специального ухода за кустами садовод с 6 кустов смородины получил такой же урожай, как прежде с 8 кустов. На сколько процентов повысилась урожайность кустов? (Ответ округлите до единиц.)

Для решения задачи введем переменные. Пусть у₁ – это первоначальная урожайность одного куста смородины (до специального ухода), а у₂ – новая урожайность одного куста (после ухода).

Согласно условию, общий урожай, полученный с 8 кустов до ухода, равен урожаю, полученному с 6 кустов после ухода. Это можно записать в виде уравнения, так как общий урожай в обоих случаях одинаков:

$8 \cdot у_1 = 6 \cdot у_2$

Из этого равенства можно найти соотношение между новой и старой урожайностью. Выразим у₂ через у₁:

$у_2 = \frac{8}{6} \cdot у_1 = \frac{4}{3} \cdot у_1$

Теперь, чтобы определить, на сколько процентов повысилась урожайность, воспользуемся формулой для нахождения процентного изменения:

Процентное увеличение = $\frac{\text{Новая урожайность} - \text{Старая урожайность}}{\text{Старая урожайность}} \cdot 100\%$

Подставим в эту формулу наши переменные:

Процентное увеличение = $\frac{у_2 - у_1}{у_1} \cdot 100\%$

Теперь заменим у₂ на выражение $\frac{4}{3} у_1$:

$\frac{\frac{4}{3}у_1 - у_1}{у_1} \cdot 100\% = \frac{(\frac{4}{3} - 1)у_1}{у_1} \cdot 100\%$

Сократив у₁ в числителе и знаменателе, получим:

$(\frac{4}{3} - \frac{3}{3}) \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% \approx 33.333...\%$

По условию задачи требуется округлить ответ до единиц (до целого числа).

$33.333...\% \approx 33\%$

Ответ: 33

175 Пряники стали продавать в новой упаковке, при этом масса пряников была увеличена на 25% по сравнению с массой в старой упаковке. На сколько процентов подешевели пряники, если стоимость упаковки осталась прежней?

Для решения этой задачи нам необходимо сравнить удельную стоимость пряников (цену за единицу массы) до и после изменения упаковки.

Обозначим начальные величины:

• $M_1$ — масса пряников в старой упаковке.
• $P$ — стоимость упаковки (по условию она не изменилась).

Удельная стоимость пряников в старой упаковке ($C_1$) рассчитывается как отношение стоимости к массе: $C_1 = \frac{P}{M_1}$

Теперь рассмотрим новую упаковку. Масса пряников была увеличена на 25%. Это значит, что новая масса ($M_2$) составляет 125% от старой: $M_2 = M_1 + 0.25 \cdot M_1 = 1.25 \cdot M_1$

Стоимость новой упаковки осталась прежней, то есть $P$.

Удельная стоимость пряников в новой упаковке ($C_2$) будет равна: $C_2 = \frac{P}{M_2} = \frac{P}{1.25 \cdot M_1}$

Чтобы найти, на сколько процентов подешевели пряники, нужно найти процентное изменение удельной стоимости. Формула для процентного изменения: $\frac{C_1 - C_2}{C_1} \cdot 100\%$

Подставим в формулу выражения для $C_1$ и $C_2$: $\frac{\frac{P}{M_1} - \frac{P}{1.25 \cdot M_1}}{\frac{P}{M_1}} \cdot 100\%$

Можно вынести общий множитель $\frac{P}{M_1}$ за скобки в числителе и сократить его со знаменателем: $\frac{\frac{P}{M_1} \cdot (1 - \frac{1}{1.25})}{\frac{P}{M_1}} \cdot 100\% = (1 - \frac{1}{1.25}) \cdot 100\%$

Вычислим значение в скобках. Удобно представить 1.25 в виде обыкновенной дроби: $1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. Тогда $\frac{1}{1.25} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} = 0.8$.

Подставляем это значение обратно в наше выражение: $(1 - 0.8) \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$

Таким образом, удельная стоимость пряников снизилась на 20%.

Ответ: на 20%.

176 а) В связи с увеличением числа учащихся школьная столовая стала закупать в 1,2 раза больше муки для пирожков. Как изменились расходы столовой на муку, если она подорожала с 20 до 30 р. за килограмм?

б) Из-за неурожая какао-бобов, используемых в производстве шоколада, страна-поставщик увеличила их цену в 1,5 раза. В связи с этим кондитерская фабрика «Шоколад» вместо 20 т какао-бобов в день стала перерабатывать 16 т. Как изменились ежедневные затраты фабрики на закупку какао-бобов?

в) Стоимость минуты телефонного разговора по мобильной связи была снижена на 20%. Как при этом изменятся расходы Николая на телефон, если он сократит время разговоров в 2 раза?

а)

Чтобы определить, как изменились расходы столовой на муку, нужно найти отношение новых расходов к старым. Расходы равны произведению количества муки на ее цену.

Пусть $V_1$ – начальное количество закупаемой муки, а $P_1$ – начальная цена за килограмм.

Начальные расходы: $C_1 = V_1 \times P_1$.

По условию, столовая стала закупать в 1,2 раза больше муки, значит, новое количество муки $V_2 = 1.2 \times V_1$.

Цена муки подорожала с 20 до 30 рублей за килограмм. Найдем, во сколько раз изменилась цена:

$k_P = \frac{30}{20} = 1.5$ раза.

Новая цена $P_2 = 1.5 \times P_1$.

Новые расходы: $C_2 = V_2 \times P_2 = (1.2 \times V_1) \times (1.5 \times P_1) = (1.2 \times 1.5) \times (V_1 \times P_1) = 1.8 \times C_1$.

Таким образом, новые расходы в 1,8 раза больше старых.

Ответ: расходы столовой на муку увеличились в 1,8 раза.

б)

Найдем, как изменились ежедневные затраты фабрики, определив отношение новых затрат к старым. Затраты равны произведению количества какао-бобов на их цену.

Пусть $P_1$ – начальная цена какао-бобов за тонну.

Начальное количество: $V_1 = 20$ т.

Начальные затраты: $C_1 = V_1 \times P_1 = 20 \times P_1$.

По условию, цена увеличилась в 1,5 раза, значит, новая цена $P_2 = 1.5 \times P_1$.

Фабрика стала перерабатывать $V_2 = 16$ т в день.

Новые затраты: $C_2 = V_2 \times P_2 = 16 \times (1.5 \times P_1) = 24 \times P_1$.

Найдем отношение новых затрат к старым:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{24 \times P_1}{20 \times P_1} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1.2$.

Это означает, что ежедневные затраты увеличились в 1,2 раза.

Ответ: ежедневные затраты фабрики увеличились в 1,2 раза.

в)

Определим, как изменятся расходы Николая на телефон. Расходы равны произведению стоимости минуты на общее время разговоров.

Пусть $P_1$ – начальная стоимость минуты, а $T_1$ – начальное время разговоров.

Начальные расходы: $E_1 = P_1 \times T_1$.

Стоимость минуты была снижена на 20%. Это значит, что новая стоимость составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от старой. Новая стоимость $P_2 = 0.8 \times P_1$.

Николай сократил время разговоров в 2 раза. Новое время разговоров $T_2 = \frac{T_1}{2} = 0.5 \times T_1$.

Новые расходы: $E_2 = P_2 \times T_2 = (0.8 \times P_1) \times (0.5 \times T_1) = (0.8 \times 0.5) \times (P_1 \times T_1) = 0.4 \times E_1$.

Новые расходы составляют 0,4 от старых. Чтобы узнать, во сколько раз расходы уменьшились, найдем обратную величину:

$\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{0.4} = \frac{10}{4} = 2.5$.

Следовательно, расходы Николая на телефон уменьшились в 2,5 раза.

Ответ: расходы Николая на телефон уменьшатся в 2,5 раза.