Страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

192 a) На участке железнодорожного пути старые 8-метровые рельсы меняют на новые 12-метровые. Снято 180 старых рельсов. На сколько меньше потребуется новых рельсов, чтобы заменить старые?

б) Двигаясь со скоростью 50 км/ч, электропоезд прошёл перегон за 12 мин. На сколько надо увеличить скорость, чтобы сократить время прохождения этого перегона на 2 мин?

а)

1. Сначала найдем общую длину участка железнодорожного пути, на котором меняют рельсы. Для этого умножим количество старых рельсов на их длину:

$180 \text{ рельсов} * 8 \text{ м/рельс} = 1440 \text{ м}$

2. Теперь рассчитаем, сколько новых 12-метровых рельсов потребуется, чтобы покрыть эту же длину. Для этого разделим общую длину участка на длину одного нового рельса:

$1440 \text{ м} / 12 \text{ м/рельс} = 120 \text{ рельсов}$

3. Наконец, найдем, на сколько меньше потребуется новых рельсов, чем было старых. Для этого вычтем количество новых рельсов из количества старых:

$180 \text{ рельсов} - 120 \text{ рельсов} = 60 \text{ рельсов}$

Ответ: Потребуется на 60 новых рельсов меньше.

б)

1. Сначала определим длину перегона. Для этого нужно скорость умножить на время. Переведем время из минут в часы:

$12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5} \text{ ч} = 0.2 \text{ ч}$

Теперь найдем расстояние (длину перегона) $S$ по формуле $S = v \cdot t$:

$S = 50 \text{ км/ч} \cdot 0.2 \text{ ч} = 10 \text{ км}$

2. Теперь найдем новое время, за которое электропоезд должен пройти этот перегон. Оно должно быть на 2 минуты короче:

$12 \text{ мин} - 2 \text{ мин} = 10 \text{ мин}$

Переведем новое время в часы:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

3. Рассчитаем новую скорость $v_{новая}$, необходимую для прохождения того же расстояния за новое время:

$v_{новая} = \frac{S}{t_{новое}} = \frac{10 \text{ км}}{1/6 \text{ ч}} = 10 \cdot 6 = 60 \text{ км/ч}$

4. Найдем, на сколько нужно увеличить скорость. Для этого вычтем из новой скорости первоначальную:

$60 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$

Ответ: Скорость надо увеличить на 10 км/ч.

193 Чтобы связать шарф размером $20 \times 100 \text{ см}$, потребуется 125 г шерсти. Сколько такой же шерсти нужно, чтобы связать шарф размером $12 \times 80 \text{ см}$? $24 \times 120 \text{ см}$?

Для решения задачи будем исходить из того, что количество необходимой шерсти прямо пропорционально площади шарфа. Сначала найдем площадь исходного шарфа и на основе этих данных рассчитаем необходимое количество шерсти для других размеров.

Площадь первого шарфа ($S_1$) размером $20 \times 100$ см составляет:

$S_1 = 20 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 2000 \text{ см}^2$

На эту площадь требуется 125 г шерсти. Теперь решим задачу для каждого случая.

12×80 см?

1. Найдем площадь второго шарфа ($S_2$):

$S_2 = 12 \text{ см} \times 80 \text{ см} = 960 \text{ см}^2$

2. Составим пропорцию, чтобы найти необходимое количество шерсти ($M_2$):

$\frac{125 \text{ г}}{2000 \text{ см}^2} = \frac{M_2}{960 \text{ см}^2}$

3. Выразим и вычислим $M_2$:

$M_2 = \frac{125 \text{ г} \times 960 \text{ см}^2}{2000 \text{ см}^2} = \frac{120000}{2000} \text{ г} = 60 \text{ г}$

Ответ: 60 г.

24×120 см?

1. Найдем площадь третьего шарфа ($S_3$):

$S_3 = 24 \text{ см} \times 120 \text{ см} = 2880 \text{ см}^2$

2. Составим аналогичную пропорцию для нахождения массы шерсти ($M_3$):

$\frac{125 \text{ г}}{2000 \text{ см}^2} = \frac{M_3}{2880 \text{ см}^2}$

3. Выразим и вычислим $M_3$:

$M_3 = \frac{125 \text{ г} \times 2880 \text{ см}^2}{2000 \text{ см}^2} = \frac{360000}{2000} \text{ г} = 180 \text{ г}$

Ответ: 180 г.

194 Проехав $40\%$ всего пути за 2,4 ч, водитель автомобиля сделал остановку. Следующую остановку он планирует сделать в пункте, после которого ему останется проехать $\frac{1}{4}$ всего пути. Через какое время он сделает вторую остановку, если будет ехать с той же скоростью?

1. Определим, какую долю пути составляет участок между первой и второй остановками.
Примем весь путь за 1.
До первой остановки водитель проехал 40% пути, что составляет $40\% \div 100\% = 0,4$ от всего пути.
Вторая остановка запланирована в точке, после которой останется проехать четверть, то есть $\frac{1}{4} = 0,25$ всего пути.
Это означает, что к моменту второй остановки будет пройдено $1 - 0,25 = 0,75$ всего пути.
Следовательно, расстояние между первой и второй остановками составляет разницу между этими долями: $0,75 - 0,4 = 0,35$ всего пути.

2. Рассчитаем время, необходимое для проезда этого участка.
Так как по условию автомобиль будет ехать с той же скоростью, время движения прямо пропорционально пройденному расстоянию.
Мы знаем, что на первую часть пути (доля $0,4$) было затрачено $t_1 = 2,4$ часа.
Нам нужно найти время $t_2$ для прохождения второй части пути (доля $0,35$).
Составим пропорцию:
$\frac{\text{Время}_1}{\text{Доля пути}_1} = \frac{\text{Время}_2}{\text{Доля пути}_2}$
$\frac{2,4}{0,4} = \frac{t_2}{0,35}$

Выразим из пропорции искомое время $t_2$: $t_2 = \frac{2,4 \cdot 0,35}{0,4}$
Выполним вычисления: $t_2 = 6 \cdot 0,35 = 2,1$ часа.

Ответ: он сделает вторую остановку через 2,1 часа.

195 a) Девять рабочих, работая с одинаковой производительностью, могут выполнить работу за 10 ч. Сколько ещё нужно рабочих, чтобы эта работа была выполнена за 6 ч?

б) Через две трубы вода из бассейна выливается за 3 ч. Сколько ещё надо подключить труб, чтобы вода вылилась за 2 ч?

а) Эта задача решается с помощью понятия обратной пропорциональности. Общий объем работы постоянен. Его можно выразить в "человеко-часах" — это произведение количества рабочих на время работы.
1. Найдем общий объем работы:
$A = 9 \text{ рабочих} \times 10 \text{ часов} = 90 \text{ человеко-часов}$.
2. Теперь нам нужно выполнить этот же объем работы за 6 часов. Пусть $x$ — это новое, искомое количество рабочих. Составим уравнение:
$x \times 6 \text{ часов} = 90 \text{ человеко-часов}$.
3. Найдем $x$:
$x = \frac{90}{6} = 15 \text{ рабочих}$.
4. Это общее количество рабочих, необходимое для выполнения работы за 6 часов. В задаче спрашивается, сколько ещё нужно рабочих. Изначально было 9 рабочих, значит, дополнительно требуется:
$15 - 9 = 6 \text{ рабочих}$.
Ответ: 6 рабочих.

б) Эта задача также на обратную пропорциональность. Объем воды в бассейне, который нужно вылить, постоянен. "Работа" по осушению бассейна равна произведению количества труб на время.
1. Найдем условный объем "работы" в "трубо-часах":
$V = 2 \text{ трубы} \times 3 \text{ часа} = 6 \text{ трубо-часов}$.
2. Теперь этот же объем воды нужно вылить за 2 часа. Пусть $y$ — новое количество труб. Составим уравнение:
$y \times 2 \text{ часа} = 6 \text{ трубо-часов}$.
3. Найдем $y$:
$y = \frac{6}{2} = 3 \text{ трубы}$.
4. Это общее количество труб, необходимое для осушения бассейна за 2 часа. Вопрос задачи — сколько ещё надо подключить труб. Изначально было 2 трубы, следовательно, добавить нужно:
$3 - 2 = 1 \text{ труба}$.
Ответ: 1 трубу.

196 а) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 15 ч, а другая эту же рукопись — за 25 ч. Они вместе отпечатали рукопись, одновременно начав и закончив работу. Первая отпечатала 150 страниц. Сколько страниц отпечатала вторая машинистка и сколько страниц в рукописи?

б) Одно и то же расстояние один пешеход проходит за 2 ч, а другой — за 3 ч. Они одновременно вышли навстречу друг другу, первый из пункта А, второй из пункта В, и встретились в 3,6 км от пункта А. Чему равно расстояние между пунктами?

а)

Обозначим всю работу (перепечатывание рукописи) за 1.

1. Найдем производительность каждой машинистки. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

Производительность первой машинистки: $P_1 = \frac{1}{15}$ рукописи в час.

Производительность второй машинистки: $P_2 = \frac{1}{25}$ рукописи в час.

2. Машинистки работали вместе, то есть они работали одинаковое количество времени $t$. Объем выполненной работы каждой из них прямо пропорционален их производительности.

Найдем отношение их производительностей:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{1/15}{1/25} = \frac{1}{15} \cdot \frac{25}{1} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$

Это означает, что отношение количества страниц, напечатанных первой машинкой ($N_1$), к количеству страниц, напечатанных второй ($N_2$), также равно $5/3$.

$\frac{N_1}{N_2} = \frac{5}{3}$

3. По условию, первая машинистка отпечатала 150 страниц ($N_1 = 150$). Подставим это значение в пропорцию, чтобы найти, сколько страниц отпечатала вторая машинистка ($N_2$):

$\frac{150}{N_2} = \frac{5}{3}$

$5 \cdot N_2 = 150 \cdot 3$

$N_2 = \frac{450}{5} = 90$ страниц.

4. Чтобы найти общее количество страниц в рукописи, сложим количество страниц, напечатанных каждой машинкой:

$N_{общ} = N_1 + N_2 = 150 + 90 = 240$ страниц.

Ответ: вторая машинистка отпечатала 90 страниц, всего в рукописи 240 страниц.

б)

Обозначим все расстояние между пунктами А и В за $S$.

1. Найдем скорости каждого пешехода. Скорость — это расстояние, деленное на время.

Скорость первого пешехода: $v_1 = \frac{S}{2}$ км/ч.

Скорость второго пешехода: $v_2 = \frac{S}{3}$ км/ч.

2. Пешеходы вышли одновременно и встретились через некоторое время $t$. Это значит, что до момента встречи они шли одинаковое количество времени. Расстояние, которое проходит каждый объект за одно и то же время, прямо пропорционально его скорости.

Найдем отношение скоростей пешеходов:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{S/2}{S/3} = \frac{S}{2} \cdot \frac{3}{S} = \frac{3}{2}$

3. Отношение расстояний, пройденных пешеходами до встречи ($S_1$ и $S_2$), равно отношению их скоростей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$

По условию, первый пешеход (вышедший из пункта А) прошел до встречи 3,6 км. Это расстояние $S_1$.

$S_1 = 3.6$ км.

4. Подставим известное значение в пропорцию и найдем расстояние $S_2$, которое прошел второй пешеход до встречи:

$\frac{3.6}{S_2} = \frac{3}{2}$

$3 \cdot S_2 = 3.6 \cdot 2$

$S_2 = \frac{7.2}{3} = 2.4$ км.

5. Общее расстояние $S$ между пунктами А и В равно сумме расстояний, пройденных обоими пешеходами до встречи:

$S = S_1 + S_2 = 3.6 + 2.4 = 6$ км.

Ответ: расстояние между пунктами равно 6 км.

197 ИССЛЕДУЕМ

а) Дана пропорция 16 : 10 = 24 : 15. Убедитесь, что вы вновь получите пропорцию, если:

поменяете местами крайние члены;

поменяете местами средние члены;

замените каждое отношение обратным.

б) Используя пропорцию $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, запишите три новые пропорции. (Убедитесь в том, что полученные равенства действительно являются пропорциями.) Сформулируйте соответствующие свойства пропорции.

в) Чему равно отношение a к b, если известно, что

$ a : 1,2 = b : 1,5 $

$ 0,9 : b = 2,7 : a? $

а) Исходная пропорция: $16 : 10 = 24 : 15$. Проверим её, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). Крайние члены — это 16 и 15, средние — 10 и 24.
$16 \times 15 = 240$
$10 \times 24 = 240$
Поскольку $240 = 240$, пропорция верна. Теперь выполним преобразования:

- поменяете местами крайние члены:
Меняем местами 16 и 15, получаем новую пропорцию: $15 : 10 = 24 : 16$.
Проверяем: $15 \times 16 = 240$ и $10 \times 24 = 240$. Равенство $240 = 240$ верно, значит, это тоже верная пропорция.

- поменяете местами средние члены:
Меняем местами 10 и 24, получаем: $16 : 24 = 10 : 15$.
Проверяем: $16 \times 15 = 240$ и $24 \times 10 = 240$. Равенство $240 = 240$ верно, значит, это тоже верная пропорция.

- замените каждое отношение обратным:
Заменяем отношение $16 : 10$ на $10 : 16$ и отношение $24 : 15$ на $15 : 24$. Получаем: $10 : 16 = 15 : 24$.
Проверяем: $10 \times 24 = 240$ и $16 \times 15 = 240$. Равенство $240 = 240$ верно, значит, это тоже верная пропорция.

Ответ: Да, во всех трех случаях вновь получается верная пропорция.

б) Дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Её основное свойство: $ad = bc$. На основе этого свойства можно вывести новые пропорции.

1. Перестановка крайних членов ($a$ и $d$):
Получаем равенство $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$. Проверяем его, перемножив крайние и средние члены: $d \times a = b \times c$. Равенство $da = bc$ верно, так как это основное свойство исходной пропорции.
Свойство 1: Если в верной пропорции поменять местами крайние члены, то получится верная пропорция.

2. Перестановка средних членов ($b$ и $c$):
Получаем равенство $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Проверяем: $a \times d = c \times b$. Равенство $ad = cb$ верно.
Свойство 2: Если в верной пропорции поменять местами средние члены, то получится верная пропорция.

3. Замена каждого отношения обратным:
Получаем равенство $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$. Проверяем: $b \times c = a \times d$. Равенство $bc = ad$ верно.
Свойство 3: Если в верной пропорции каждое отношение заменить обратным, то получится верная пропорция.

Ответ: Три новые пропорции: $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$, $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$, $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$. Соответствующие свойства сформулированы выше.

в)

- Для пропорции $a : 1,2 = b : 1,5$ найдем отношение $a$ к $b$.
Запишем пропорцию в виде $\frac{a}{1,2} = \frac{b}{1,5}$.
Используя свойство перестановки средних членов (1,2 и $b$), получаем:
$\frac{a}{b} = \frac{1,2}{1,5}$
Упростим дробь: $\frac{1,2}{1,5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.
Отношение $a$ к $b$ равно $\frac{4}{5}$ или $0,8$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

- Для пропорции $0,9 : b = 2,7 : a$ найдем отношение $a$ к $b$.
Запишем пропорцию в виде $\frac{0,9}{b} = \frac{2,7}{a}$.
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$0,9 \times a = 2,7 \times b$
Чтобы найти $\frac{a}{b}$, разделим обе части равенства на $b$ и на $0,9$:
$\frac{a}{b} = \frac{2,7}{0,9} = \frac{27}{9} = 3$.
Отношение $a$ к $b$ равно $3$.
Ответ: $3$.