Страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

205 Всего имеется 350 г семян. Их надо насыпать в три пакета так, чтобы масса семян в первом пакете составила $50\%$ массы семян во втором, а масса семян во втором пакете составила $50\%$ массы семян в третьем. Сколько семян будет в каждом пакете?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это масса семян в третьем пакете в граммах.

Согласно условию, масса семян во втором пакете составляет 50% от массы семян в третьем. Поскольку 50% — это половина (десятичная дробь 0.5), масса семян во втором пакете равна:

$0.5 \cdot x$

Масса семян в первом пакете составляет 50% от массы семян во втором. Значит, масса семян в первом пакете равна:

$0.5 \cdot (0.5 \cdot x) = 0.25 \cdot x$

Общая масса семян во всех трех пакетах равна 350 г. Мы можем составить уравнение, сложив массы семян в каждом пакете:

$m_{первый} + m_{второй} + m_{третий} = 350$

$0.25x + 0.5x + x = 350$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(0.25 + 0.5 + 1)x = 350$

$1.75x = 350$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 1.75:

$x = \frac{350}{1.75}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

$x = \frac{350 \cdot 100}{1.75 \cdot 100} = \frac{35000}{175}$

Выполним деление:

$x = 200$

Таким образом, масса семян в третьем пакете составляет 200 г.

Теперь, зная массу в третьем пакете, найдем массу семян в остальных:

• Масса во втором пакете: $0.5 \cdot x = 0.5 \cdot 200 = 100$ г.
• Масса в первом пакете: $0.25 \cdot x = 0.25 \cdot 200 = 50$ г.

Для проверки сложим массы во всех пакетах: $50 \text{ г} + 100 \text{ г} + 200 \text{ г} = 350 \text{ г}$. Сумма совпадает с исходным условием.

Ответ: масса семян в первом пакете — 50 г, во втором пакете — 100 г, в третьем пакете — 200 г.

206 Фермер купил три газонокосилки, заплатив за них 32000 р. За каждую из них он дал продавцу одно и то же количество купюр, причём за первую газонокосилку он заплатил купюрами достоинством в 1000 р., за вторую — в 500 р., за третью — в 100 р. Сколько стоит каждая газонокосилка?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $N$ — это количество купюр, которое фермер отдал за каждую газонокосилку. По условию, это количество было одинаковым для всех трех покупок.

Исходя из этого, стоимость каждой газонокосилки можно выразить через $N$:

Стоимость первой газонокосилки, оплаченной купюрами достоинством в 1000 р., составляет: $1000 \times N$ рублей.

Стоимость второй газонокосилки, оплаченной купюрами в 500 р., составляет: $500 \times N$ рублей.

Стоимость третьей газонокосилки, оплаченной купюрами в 100 р., составляет: $100 \times N$ рублей.

Общая стоимость всех трех газонокосилок равна 32 000 р. Мы можем составить уравнение, сложив стоимости всех газонокосилок:

$1000 \times N + 500 \times N + 100 \times N = 32000$

Теперь решим это уравнение. Сначала вынесем общий множитель $N$ за скобки:

$N \times (1000 + 500 + 100) = 32000$

$N \times 1600 = 32000$

Чтобы найти $N$, разделим общую сумму на 1600:

$N = \frac{32000}{1600} = 20$

Таким образом, фермер использовал по 20 купюр для оплаты каждой газонокосилки. Теперь мы можем рассчитать точную стоимость каждой из них.

Стоимость первой газонокосилки

Фермер заплатил 20 купюр достоинством 1000 рублей. Ее стоимость равна: $20 \times 1000 = 20000$ рублей.

Ответ: 20 000 рублей.

Стоимость второй газонокосилки

Фермер заплатил 20 купюр достоинством 500 рублей. Ее стоимость равна: $20 \times 500 = 10000$ рублей.

Ответ: 10 000 рублей.

Стоимость третьей газонокосилки

Фермер заплатил 20 купюр достоинством 100 рублей. Ее стоимость равна: $20 \times 100 = 2000$ рублей.

Ответ: 2 000 рублей.

207 Фирмам А, В и С принадлежит 75% акций некоторого предприятия, которые распределены между ними в отношении $4:12:9$. Остальными 350 000 акций владеют работники этого предприятия. Сколько акций имеет каждая из фирм?

Сначала определим, какая доля акций принадлежит работникам предприятия. Поскольку фирмам А, B и С принадлежит 75% акций, на долю работников приходится оставшаяся часть:

$100\% - 75\% = 25\%$

Из условия известно, что эти 25% составляют 350 000 акций. Зная это, мы можем найти общее количество акций ($X$) предприятия. Если 25% — это 350 000, то 100% — это в четыре раза больше:

$X = \frac{350\;000}{0.25} = 350\;000 \times 4 = 1\;400\;000$ акций.

Следовательно, общее количество акций предприятия составляет 1 400 000.

Далее вычислим количество акций, которое принадлежит трем фирмам вместе. Это 75% от общего количества, или, что то же самое, общее количество акций минус акции работников:

$1\;400\;000 - 350\;000 = 1\;050\;000$ акций.

Эти 1 050 000 акций распределены между фирмами А, B и С в отношении 4:12:9. Для распределения акций найдем сначала общее количество частей в этом отношении:

$4 + 12 + 9 = 25$ частей.

Теперь определим, сколько акций приходится на одну часть, разделив общее количество акций фирм на общее число частей:

$\frac{1\;050\;000}{25} = 42\;000$ акций.

Наконец, рассчитаем количество акций для каждой фирмы:

Фирма А (4 части): $4 \times 42\;000 = 168\;000$ акций.

Фирма B (12 частей): $12 \times 42\;000 = 504\;000$ акций.

Фирма С (9 частей): $9 \times 42\;000 = 378\;000$ акций.

Ответ: фирма А имеет 168 000 акций, фирма B – 504 000 акций, фирма С – 378 000 акций.

208 Периметр треугольника $ABC$ равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника, если $AB$ относится к $BC$ как 3 к 5, а $BC$ относится к $AC$ как 2 к 3.

По условию задачи периметр треугольника $ABC$ равен 15,5 см. Периметр — это сумма длин всех сторон треугольника: $P_{ABC} = AB + BC + AC = 15,5$ см.

Также нам даны отношения длин сторон: $AB : BC = 3 : 5$ $BC : AC = 2 : 3$

Чтобы найти единое отношение для всех трех сторон $AB : BC : AC$, нам нужно привести оба данных отношения к общему члену для стороны $BC$. Найдем наименьшее общее кратное для чисел, представляющих сторону $BC$ в этих отношениях, то есть для 5 и 2. Наименьшее общее кратное для 5 и 2 равно 10.

Приведем первое отношение к новому виду, умножив обе его части на 2: $AB : BC = (3 \times 2) : (5 \times 2) = 6 : 10$

Приведем второе отношение к новому виду, умножив обе его части на 5: $BC : AC = (2 \times 5) : (3 \times 5) = 10 : 15$

Теперь, когда часть, соответствующая стороне $BC$, в обоих отношениях равна 10, мы можем составить единое отношение для всех трех сторон: $AB : BC : AC = 6 : 10 : 15$

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, то есть длина одной части в этом отношении. Тогда длины сторон треугольника можно выразить так: $AB = 6x$ $BC = 10x$ $AC = 15x$

Подставим эти выражения в формулу периметра и составим уравнение: $6x + 10x + 15x = 15,5$ $31x = 15,5$

Решим уравнение относительно $x$: $x = \frac{15,5}{31} = 0,5$ см

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины каждой стороны: $AB = 6 \times 0,5 = 3$ см $BC = 10 \times 0,5 = 5$ см $AC = 15 \times 0,5 = 7,5$ см

Ответ: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $AC = 7,5$ см.

209 Призы на сумму 12 400 р. были присуждены трём призёрам соревнования так, что сумма, полученная вторым, составила $\frac{2}{3}$ от суммы, полученной первым. В то же время сумма, полученная вторым, относится к сумме, полученной третьим, как $1\frac{1}{3} : \frac{4}{5}$. Сколько рублей получил каждый призёр?

Для решения задачи введём переменные. Пусть $x$ – сумма, которую получил первый призёр, $y$ – сумма, которую получил второй призёр, и $z$ – сумма, которую получил третий призёр.

Общая сумма призов составляет 12 400 рублей. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $x + y + z = 12400$

Из условия известно, что сумма, полученная вторым призёром, составила $\frac{2}{3}$ от суммы, полученной первым. Это даёт нам второе уравнение: $y = \frac{2}{3}x$

Также нам дано отношение суммы, полученной вторым призёром, к сумме, полученной третьим: $\frac{y}{z} = 1\frac{1}{3} : \frac{4}{5}$. Упростим это отношение. Сначала переведём смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$. Теперь выполним деление дробей: $\frac{y}{z} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ Из этого соотношения выразим $z$ через $y$: $z = \frac{3}{5}y$

Теперь у нас есть система из трёх уравнений. Чтобы её решить, выразим все переменные через одну, например, через $x$. Мы уже знаем, что $y = \frac{2}{3}x$. Подставим это выражение в формулу для $z$: $z = \frac{3}{5}y = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3}x) = \frac{6}{15}x = \frac{2}{5}x$

Теперь, когда $y$ и $z$ выражены через $x$, подставим их в первое уравнение: $x + \frac{2}{3}x + \frac{2}{5}x = 12400$

Для решения этого уравнения приведём все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 равен 15. $\frac{15x}{15} + \frac{10x}{15} + \frac{6x}{15} = 12400$ $\frac{15x + 10x + 6x}{15} = 12400$ $\frac{31x}{15} = 12400$

Найдём значение $x$: $x = 12400 \cdot \frac{15}{31}$ Разделим 12400 на 31: $12400 \div 31 = 400$. $x = 400 \cdot 15 = 6000$ Таким образом, сумма, полученная первым призёром, составляет 6000 рублей.

Теперь вычислим суммы для второго и третьего призёров: Сумма второго призёра: $y = \frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 6000 = 2 \cdot 2000 = 4000$ рублей. Сумма третьего призёра: $z = \frac{2}{5}x = \frac{2}{5} \cdot 6000 = 2 \cdot 1200 = 2400$ рублей.

Проверка: $6000 + 4000 + 2400 = 12400$ рублей. Все условия выполнены.

Ответ: первый призёр получил 6000 рублей, второй – 4000 рублей, а третий – 2400 рублей.